Máquinas Elétricas · 1.º ano (indicativo)

Como resolver um circuito magnético passo a passo?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para resolver um circuito magnético, trate-o como um circuito elétrico: a força magnetomotriz F = N·I faz o papel da tensão, o fluxo Φ o da corrente e a relutância R = l/(μ₀·μr·A) o da resistência. Some as relutâncias em série, aplique F = Φ·R e obtenha o fluxo e a densidade de fluxo B = Φ/A.

Quando se aplica

Circuitos magnéticos aparecem em transformadores, eletroímanes, relés e no núcleo das máquinas elétricas. O método aplica-se quando o material é aproximadamente linear (permeabilidade relativa constante), o fluxo está concentrado no núcleo e a densidade de fluxo é bem inferior à saturação (valores abaixo de cerca de 1,5 T para ferro-silício, a confirmar nos dados do material).

Analogia com o circuito elétrico

Circuito elétricoCircuito magnético
Tensão U (V)Força magnetomotriz F = N·I (A·espira)
Corrente I (A)Fluxo Φ (Wb)
Resistência R (Ω)Relutância R (A·e/Wb)
Resistividade ρInverso da permeabilidade 1/μ
U = R·IF = R·Φ

Grandezas do circuito magnético

F = N·I F = R·Φ R = l / (μ₀·μr·A) B = Φ / A μ₀ = 4π × 10-7 H/m Indutância: L = N² / R

Legenda: N = número de espiras; I = corrente (A); l = comprimento médio do caminho do fluxo (m); A = área da secção (m²); μr = permeabilidade relativa do material.

Método passo a passo

  1. Desenhe o circuito e marque o caminho médio do fluxo, identificando troços com material ou secção diferentes (núcleo, entreferro).
  2. Converta as unidades: cm² em m² (1 cm² = 10-4 m²) e mm ou cm em metros.
  3. Calcule a relutância de cada troço: R = l/(μ₀·μr·A). O ar tem μr = 1.
  4. Some as relutâncias em série (ou combine as de ramos em paralelo como resistências).
  5. Aplique F = N·I = Φ·R: se conhece I, obtenha Φ; se conhece Φ (ou B), obtenha I.
  6. Calcule B = Φ/A em cada troço e confirme que não passa o limite de saturação.
  7. Verifique recalculando N·I = Φ·R_total.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Núcleo toroidal sem entreferro

Enunciado: Um núcleo toroidal tem l = 0,4 m, A = 4 cm² e μr = 2 000. Tem N = 200 espiras percorridas por I = 0,5 A. Calcule a relutância, o fluxo e B.

Resolução:

  1. A = 4 cm² = 4 × 10-4 m².
  2. μ₀·μr = 4π × 10-7 × 2 000 ≈ 2,513 × 10-3 H/m.
  3. R = 0,4 / (2,513 × 10-3 × 4 × 10-4) = 0,4 / (1,005 × 10-6) ≈ 3,98 × 105 A·e/Wb.
  4. F = N·I = 200 × 0,5 = 100 A·e.
  5. Φ = F/R = 100 / (3,98 × 105) ≈ 2,51 × 10-4 Wb.
  6. B = Φ/A = 2,51 × 10-4 / 4 × 10-4 ≈ 0,63 T.

Resposta: R ≈ 3,98 × 105 A·e/Wb, Φ ≈ 2,51 × 10-4 Wb, B ≈ 0,63 T. Verificação: B = μ₀·μr·N·I/l = 2,513 × 10-3 × 100 / 0,4 ≈ 0,63 T. ✓

Exemplo 2 — Com entreferro

Enunciado: O núcleo do Exemplo 1 é cortado e fica com um entreferro de 1 mm (ignore o espalhamento do fluxo). Com I = 2 A e N = 200, calcule o fluxo e B.

Resolução:

  1. R do núcleo (mantém-se): ≈ 3,98 × 105 A·e/Wb.
  2. R do entreferro (μr = 1): 10-3 / (4π × 10-7 × 4 × 10-4) = 10-3 / (5,027 × 10-10) ≈ 1,99 × 106 A·e/Wb.
  3. R_total = 3,98 × 105 + 1,99 × 106 ≈ 2,39 × 106 A·e/Wb.
  4. F = 200 × 2 = 400 A·e.
  5. Φ = 400 / (2,39 × 106) ≈ 1,68 × 10-4 Wb.
  6. B = 1,68 × 10-4 / 4 × 10-4 ≈ 0,42 T.

Resposta: Φ ≈ 1,68 × 10-4 Wb e B ≈ 0,42 T. Verificação: o entreferro tem apenas 1 mm mas contribui com cerca de 83% da relutância total (1,99/2,39).

Exemplo 3 — Que corrente para um B desejado

Enunciado: No circuito do Exemplo 2, qual deve ser a corrente para obter B = 0,5 T?

Resolução:

  1. Φ = B·A = 0,5 × 4 × 10-4 = 2 × 10-4 Wb.
  2. F = R_total·Φ = 2,39 × 106 × 2 × 10-4 ≈ 477 A·e.
  3. I = F/N = 477/200 ≈ 2,39 A.

Resposta: I ≈ 2,39 A. Verificação: com 2 A obtinha-se 0,42 T; com 2,39 A, 0,42 × 2,39/2 ≈ 0,50 T. ✓

Exemplo 4 — Nível de exame: indutância

Enunciado: Calcule a indutância da bobina do Exemplo 2 e o fluxo ligado λ com I = 2 A.

Resolução:

  1. L = N²/R_total = 200² / (2,39 × 106) = 40 000 / 2,39 × 106 ≈ 0,0168 H.
  2. λ = N·Φ = 200 × 1,68 × 10-4 ≈ 0,0336 Wb·e.
  3. Confirmação: L = λ/I = 0,0336/2 = 0,0168 H.

Resposta: L ≈ 16,8 mH. Verificação: os dois caminhos de cálculo dão o mesmo valor. Sem o entreferro, L seria 40 000 / 3,98 × 105 ≈ 0,10 H, seis vezes maior.

Erros frequentes

  • Não converter as unidades: usar cm² em vez de m² altera a relutância por um fator de 10 000.
  • Esquecer o entreferro, ou desprezá-lo: mesmo com 1 mm domina a relutância.
  • Usar μr = 1 no núcleo ou μr do ferro no ar. O ar tem sempre μr = 1.
  • Confundir F com Φ: F é causa (A·espira) e Φ é efeito (Wb).
  • Esquecer o fator N em F = N·I.
  • Ignorar a saturação: se o B calculado passar de cerca de 1,5 T, o modelo linear já não vale e é preciso a curva B-H.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule a relutância de um núcleo com l = 0,5 m, A = 5 cm² e μr = 1 000.

Ver solução

A = 5 × 10-4 m². R = 0,5 / (4π × 10-7 × 1 000 × 5 × 10-4) = 0,5 / (6,28 × 10-7) ≈ 7,96 × 105 A·e/Wb.

2Exercício 2

Uma bobina de 500 espiras percorrida por 0,2 A está num circuito com R = 2 × 105 A·e/Wb. Calcule o fluxo.

Ver solução

F = 500 × 0,2 = 100 A·e. Φ = 100/(2 × 105) = 5 × 10-4 Wb.

3Exercício 3

Calcule a relutância de um entreferro de 2 mm com secção de 10 cm².

Ver solução

A = 10-3 m²; l = 2 × 10-3 m. R = 2 × 10-3 / (4π × 10-7 × 10-3) = 2 × 10-3 / (1,257 × 10-9) ≈ 1,59 × 106 A·e/Wb.

4Exercício 4

Um toroide tem μr = 1 500, N = 300, I = 0,4 A e l = 0,5 m. Calcule B.

Ver dica

Use B = μ₀·μr·N·I/l.

Ver solução

μ₀·μr = 1,885 × 10-3; N·I = 120 A·e. B = 1,885 × 10-3 × 120 / 0,5 ≈ 0,45 T.

5Exercício 5

No circuito do Exemplo 3 o entreferro passa a 0,5 mm (núcleo igual, N = 200). Que corrente dá B = 0,5 T?

Ver solução

R_entreferro = 5 × 10-4 / (5,027 × 10-10) ≈ 9,95 × 105. R_total = 3,98 × 105 + 9,95 × 105 ≈ 1,39 × 106. Φ = 2 × 10-4 Wb, F = 1,39 × 106 × 2 × 10-4 ≈ 278 A·e. I = 278/200 ≈ 1,39 A.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Sempre que o fluxo está confinado a um núcleo magnético e o material está longe da saturação: eletroímanes, núcleos de transformadores, relés, circuitos de máquinas. Não é adequado quando o núcleo satura, nem quando há muito fluxo de fuga.

Existe um método mais rápido?

Para um núcleo uniforme sem entreferro, a fórmula direta B = μ₀·μr·N·I/l dá B em um passo. Com entreferro, use a regra aproximada de que a relutância do ar domina, mas confirme com o cálculo completo.

Porque é que o entreferro influencia tanto?

Porque o ar tem permeabilidade muito menor do que o ferro. Um milímetro de ar equivale, em relutância, a centenas de milímetros de ferro com μr da ordem de milhares, e por isso consome a maior parte da força magnetomotriz.

Que erros são mais comuns?

Esquecer a conversão de unidades, desprezar o entreferro e trocar F por Φ. Consulte a secção de erros frequentes.

Resumo

  • Analogia: F (tensão), Φ (corrente), R (resistência).
  • F = N·I = R·Φ e R = l/(μ₀·μr·A).
  • Relutâncias em série somam-se; B = Φ/A.
  • O entreferro tem relutância elevada e domina o circuito.
  • L = N²/R liga o circuito magnético à indutância da bobina.
  • O modelo linear só é válido longe da saturação.

Onde aprofundar

  • O programa oficial da disciplina e os manuais adotados pela sua instituição (confirme a edição em vigor).
  • Chapman, Fundamentos de Máquinas Elétricas, capítulo de introdução aos princípios das máquinas e circuitos magnéticos.
  • Fitzgerald, Kingsley e Umans, Máquinas Elétricas, capítulo sobre circuitos magnéticos e materiais.

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