Matemática Discreta · 1.º ano (indicativo)
Como calcular a tabela de verdade de uma proposição composta?
Resposta curta
Liste todas as combinações de valores de verdade das proposições simples (2n linhas para n proposições), acrescente uma coluna por cada subexpressão, da mais interna para a mais externa, e calcule cada coluna a partir das anteriores com as tabelas dos conectivos. A última coluna é o resultado.
O que é uma tabela de verdade
Uma proposição é uma frase que é verdadeira (V) ou falsa (F), mas não ambas. Ligando proposições simples com conectivos obtém-se uma proposição composta. A tabela de verdade mostra o valor da proposição composta para todas as atribuições possíveis de V e F às proposições simples.
Os conectivos básicos
Tabelas dos conectivos
p q | ¬p | p ∧ q | p ∨ q | p → q | p ↔ q V V | F | V | V | V | V V F | F | F | V | F | F F V | V | F | V | V | F F F | V | F | F | V | V
- ¬p (negação): troca o valor de p.
- p ∧ q (conjunção, «e»): só é verdadeira se ambas forem verdadeiras.
- p ∨ q (disjunção, «ou» inclusivo): só é falsa se ambas forem falsas.
- p → q (condicional, «se p então q»): só é falsa quando p é V e q é F.
- p ↔ q (bicondicional): é verdadeira quando p e q têm o mesmo valor.
Número de linhas e ordem de cálculo
Com n proposições simples há 2n linhas: 2 variáveis dão 4 linhas, 3 dão 8, 4 dão 16. Na ordem de prioridade usual, calcula-se primeiro ¬, depois ∧ e ∨, e por fim → e ↔. Em caso de dúvida, os parênteses mandam: resolva sempre o mais interno primeiro.
Método passo a passo
- Identifique as proposições simples (p, q, r…) e conte-as: serão 2n linhas.
- Escreva as combinações sem falhar nenhuma. Truque: na primeira variável, metade V e metade F; na segunda, alterne em blocos de metade do tamanho; na última, alterne V, F, V, F…
- Decomponha a fórmula em subexpressões, da mais interna para a mais externa, e dê uma coluna a cada uma.
- Preencha coluna a coluna, olhando apenas para as colunas já calculadas e para a tabela do conectivo em causa.
- Leia a última coluna: se for toda V, é uma tautologia; se for toda F, é uma contradição; se tiver V e F, é uma contingência.
- Verifique contando as linhas (2n) e testando uma linha ao acaso, substituindo os valores diretamente na fórmula.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Duas variáveis: ¬p ∨ q
Enunciado: Construa a tabela de verdade de ¬p ∨ q.
Resolução:
- Há 2 proposições, logo 4 linhas.
- Colunas: p, q, ¬p, ¬p ∨ q.
- Linha V V: ¬p = F; F ∨ V = V.
- Linha V F: ¬p = F; F ∨ F = F.
- Linha F V: ¬p = V; V ∨ V = V.
- Linha F F: ¬p = V; V ∨ F = V.
Resposta: a última coluna é V, F, V, V. É uma contingência. Verificação: coincide com a coluna de p → q (V, F, V, V), pelo que ¬p ∨ q ≡ p → q.
Exemplo 2 — Três variáveis: (p ∧ q) → r
Enunciado: Construa a tabela de verdade de (p ∧ q) → r.
Resolução:
- Há 3 proposições, logo 8 linhas.
- Calcule primeiro a coluna p ∧ q, depois o condicional com r.
| p | q | r | p ∧ q | (p ∧ q) → r |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F |
| V | F | V | F | V |
| V | F | F | F | V |
| F | V | V | F | V |
| F | V | F | F | V |
| F | F | V | F | V |
| F | F | F | F | V |
Resposta: a proposição só é falsa na linha p = V, q = V, r = F. Verificação: um condicional só é falso com antecedente V e consequente F; o antecedente p ∧ q só é V na 1.ª e 2.ª linhas, e r só é F na 2.ª.
Exemplo 3 — Uma tautologia: ((p → q) ∧ p) → q
Enunciado: Mostre que ((p → q) ∧ p) → q é uma tautologia.
Resolução:
| p | q | p → q | (p → q) ∧ p | ((p → q) ∧ p) → q |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | F | F | F | V |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | F | V |
Resposta: a última coluna é toda V, logo é uma tautologia (é a regra de dedução modus ponens). Verificação: a única forma de o condicional final ser falso seria q = F com (p → q) ∧ p = V, mas se p = V e q = F então p → q é F.
Exemplo 4 — Nível de exame: equivalência de De Morgan
Enunciado: Verifique se ¬(p ∧ q) e ¬p ∨ ¬q são logicamente equivalentes.
Resolução:
| p | q | p ∧ q | ¬(p ∧ q) | ¬p | ¬q | ¬p ∨ ¬q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | F | F | F | F |
| V | F | F | V | F | V | V |
| F | V | F | V | V | F | V |
| F | F | F | V | V | V | V |
Resposta: as colunas de ¬(p ∧ q) e de ¬p ∨ ¬q são iguais (F, V, V, V), logo as proposições são equivalentes. Verificação: a bicondicional entre as duas seria V em todas as linhas, isto é, uma tautologia.
Erros frequentes
- Esquecer linhas ou repeti-las. Conte sempre: 2n linhas. Uma tabela com 3 variáveis e 6 linhas está incompleta.
- Ordenar as combinações ao acaso. Siga o padrão (metade V/metade F, blocos cada vez mais curtos) para não falhar nenhuma.
- Ler «ou» como exclusivo. Em lógica, p ∨ q é verdadeira também quando ambas são V.
- Dar V ao condicional com antecedente V e consequente F. É o único caso em que p → q é falso; com antecedente F é sempre V.
- Ignorar a prioridade dos conectivos ou omitir parênteses: ¬p ∨ q não é o mesmo que ¬(p ∨ q).
- Calcular tudo numa só coluna. Subexpressões em colunas separadas reduzem os erros e facilitam a correção.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Construa a tabela de verdade de p ∧ ¬q.
Ver dica
Acrescente uma coluna para ¬q antes da conjunção.
Ver solução
Ordem das linhas: VV, VF, FV, FF. ¬q: F, V, F, V. p ∧ ¬q: V∧F = F; V∧V = V; F∧F = F; F∧V = F. Resultado: F, V, F, F (só é V quando p = V e q = F).
2Exercício 2
Determine a coluna final de ¬(p ∨ q).
Ver solução
p ∨ q: V, V, V, F (linhas VV, VF, FV, FF). Negando: F, F, F, V. Só é verdadeira quando p e q são ambas falsas.
3Exercício 3
Mostre que (p → q) ∧ (q → p) é equivalente a p ↔ q.
Ver solução
p → q: V, F, V, V. q → p: V, V, F, V. A conjunção: V, F, F, V. A coluna de p ↔ q é V, F, F, V. As colunas coincidem, logo são equivalentes.
4Exercício 4
Calcule a tabela de (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) e descreva em palavras o que a proposição exprime.
Ver solução
p ∨ q: V, V, V, F. p ∧ q: V, F, F, F; a negação: F, V, V, V. Conjunção: V∧F = F; V∧V = V; V∧V = V; F∧V = F. Resultado: F, V, V, F. É o «ou exclusivo»: verdadeira quando exatamente uma das duas é verdadeira.
5Exercício 5
Construa a tabela de (p → q) → r (8 linhas, na ordem VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) e classifique-a.
Ver solução
p → q: V, V, F, F, V, V, V, V. Agora (p → q) → r: VVV → V; VVF: V → F = F; VFV: F → V = V; VFF: F → F = V; FVV: V → V = V; FVF: V → F = F; FFV: V → V = V; FFF: V → F = F. Resultado: V, F, V, V, V, F, V, F. Tem V e F, logo é uma contingência.
Perguntas frequentes
Quantas linhas tem a tabela de verdade com 4 proposições simples?
Tem 24 = 16 linhas. Cada nova proposição simples duplica o número de linhas, porque cada linha anterior aparece uma vez com V e outra com F na nova variável.
Como saber se duas proposições são equivalentes?
Construa as tabelas de ambas com as mesmas colunas de partida e compare as colunas finais. Se forem iguais em todas as linhas, as proposições são logicamente equivalentes; equivalentemente, a bicondicional entre elas é uma tautologia.
Porque é que p → q é verdadeira quando p é falsa?
Porque o condicional só afirma algo quando o antecedente se verifica. Se p é falsa, a promessa «se p então q» não foi violada, e em lógica diz-se que é verdadeira por vacuidade. Só é desmentida quando p é V e q é F.
Posso evitar a tabela inteira para verificar uma tautologia?
Sim, pelo método do absurdo: suponha que a proposição é falsa e tente atribuir valores às variáveis. Se chegar a uma contradição, é tautologia. Para poucas variáveis, a tabela completa continua a ser a forma mais segura.
Resumo
- Com n proposições simples, a tabela tem 2n linhas.
- Calcule uma coluna por subexpressão, da mais interna para a mais externa.
- Condicional: só é falso com V → F; conjunção: só é V se ambas forem V; disjunção: só é F se ambas forem F.
- A última coluna classifica a proposição: tautologia (toda V), contradição (toda F) ou contingência.
- Duas proposições são equivalentes se as colunas finais forem iguais em todas as linhas.
Onde aprofundar
- O programa e o manual da disciplina da sua faculdade ou instituto; no ensino secundário, o manual de Matemática da classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Kenneth Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, capítulo de lógica proposicional.
- Seymour Lipschutz, Matemática Discreta (coleção Schaum), com muitos exercícios de tabelas de verdade.
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