Matemática Financeira · 1.º ano (indicativo)
Como calcular o prazo em juros compostos (com logaritmos)?
Resposta curta
Para achar o prazo a juros compostos, isola-se n na fórmula M = C × (1 + i)n. Divide-se M por C e aplicam-se logaritmos: n = ln(M ÷ C) ÷ ln(1 + i). O resultado vem na mesma unidade da taxa. Exemplo: 100 000 Kz a 10% ao ano chegam a 121 000 Kz em n = ln(1,21) ÷ ln(1,1) = 2 anos.
Fórmula e significado de cada termo
Prazo a juros compostos
n = ln(M ÷ C) ÷ ln(1 + i) (também vale com log de base 10 no numerador e no denominador)
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| n | número de períodos (a incógnita) |
| M | montante que se pretende atingir |
| C | capital inicial |
| i | taxa por período, em decimal |
| ln | logaritmo natural (tecla «ln» da calculadora) |
Porque se usam logaritmos
Em M = C × (1 + i)n, a incógnita n está no expoente. Para a trazer para baixo usa-se a propriedade log(an) = n × log(a). Passos:
- M ÷ C = (1 + i)n
- ln(M ÷ C) = n × ln(1 + i)
- n = ln(M ÷ C) ÷ ln(1 + i)
Pode usar o logaritmo de base 10 (tecla «log») ou natural (tecla «ln»): o quociente é igual desde que use o mesmo nos dois termos.
Condições de aplicação
- Regime de juros compostos com taxa constante.
- M > C e i > 0 (senão o logaritmo não dá um prazo positivo).
- A unidade de n é a da taxa: taxa mensal dá meses; taxa anual dá anos.
Passo a passo
- Identifique C, M e i (taxa em decimal).
- Calcule o quociente M ÷ C.
- Calcule ln(M ÷ C) na calculadora.
- Calcule 1 + i e depois ln(1 + i).
- Divida: n = ln(M ÷ C) ÷ ln(1 + i).
- Interprete a unidade e o arredondamento. Se o enunciado pedir prazo inteiro, a convenção mais comum para atingir pelo menos M é arredondar para cima, mas confirme a regra do seu manual ou do contrato.
- Verifique calculando C × (1 + i)n e vendo se dá M.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Prazo exato
Enunciado: Em quanto tempo 100 000 Kz, a 10% ao ano, se transformam em 121 000 Kz?
Resolução:
- M ÷ C = 121 000 ÷ 100 000 = 1,21.
- ln(1,21) ≈ 0,190620; ln(1,1) ≈ 0,095310.
- n = 0,190620 ÷ 0,095310 = 2.
Resposta: 2 anos. Verificação: 100 000 × 1,12 = 121 000.
Exemplo 2 — Prazo não inteiro
Enunciado: Quanto tempo é necessário para 50 000 Kz, a 5% ao mês, atingirem 80 000 Kz?
Resolução:
- M ÷ C = 80 000 ÷ 50 000 = 1,6.
- ln(1,6) ≈ 0,470004; ln(1,05) ≈ 0,048790.
- n = 0,470004 ÷ 0,048790 ≈ 9,63 meses.
- Teste de inteiros: em 9 meses, 50 000 × 1,059 ≈ 77 566,41 (insuficiente); em 10 meses, 50 000 × 1,0510 ≈ 81 444,73 (suficiente).
Resposta: cerca de 9,63 meses; para atingir pelo menos 80 000 Kz, são precisos 10 meses completos. Verificação: os valores dos meses 9 e 10 enquadram 80 000.
Exemplo 3 — Duplicar o capital
Enunciado: Em quanto tempo um capital duplica a 4% ao mês?
Resolução:
- M ÷ C = 2.
- ln(2) ≈ 0,693147; ln(1,04) ≈ 0,039221.
- n = 0,693147 ÷ 0,039221 ≈ 17,67.
Resposta: cerca de 17,67 meses, ou seja, 18 meses para ter pelo menos o dobro. Verificação: 1,0417 ≈ 1,95 (menos de 2) e 1,0418 ≈ 2,03 (mais de 2).
Exemplo 4 — Nível de exame
Enunciado: Uma empresa investe 200 000 Kz a 8% ao ano e quer chegar a 500 000 Kz. Em quantos anos?
Resolução:
- M ÷ C = 500 000 ÷ 200 000 = 2,5.
- ln(2,5) ≈ 0,916291; ln(1,08) ≈ 0,076961.
- n = 0,916291 ÷ 0,076961 ≈ 11,91.
- Em anos completos: 12 anos. Confirmação: 200 000 × 1,0812 ≈ 503 634 (acima de 500 000), ao passo que com 11 anos fica abaixo (200 000 × 1,0811 ≈ 466 328).
Resposta: cerca de 11,91 anos, ou 12 anos completos. Verificação: 1,0811,91 ≈ 2,5.
Erros frequentes no cálculo
- Esquecer o quociente M ÷ C: aplicar o logaritmo a M em vez de M ÷ C dá resultado absurdo.
- Usar um logaritmo no numerador e outro no denominador: misture ln com log e o resultado muda. Use a mesma tecla nos dois.
- Esquecer de somar 1 à taxa: calcular ln(i) em vez de ln(1 + i).
- Taxa em percentagem: use 0,05 e não 5 dentro de (1 + i).
- Ler a unidade errada: o resultado está na unidade da taxa; 9,63 com taxa mensal são meses, não anos.
- Arredondar sem critério: verifique sempre com C × (1 + i)n se o prazo inteiro escolhido atinge o montante.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Em quanto tempo 1 000 Kz a 10% ao ano se tornam 1 331 Kz?
Ver dica
M ÷ C = 1,331 = 1,13.
Ver solução
n = ln(1,331) ÷ ln(1,1) = 0,285931 ÷ 0,095310 = 3 anos. Confirma-se: 1 000 × 1,13 = 1 331.
2Exercício 2
Em quantos anos um capital triplica a 10% ao ano?
Ver solução
M ÷ C = 3. n = ln(3) ÷ ln(1,1) = 1,098612 ÷ 0,095310 ≈ 11,53 anos, ou seja, 12 anos completos para ter pelo menos o triplo.
3Exercício 3
Um capital de 10 000 Kz a 20% ao ano tornou-se 14 400 Kz. Calcule o prazo.
Ver solução
M ÷ C = 1,44 = 1,22. n = ln(1,44) ÷ ln(1,2) = 2 anos. Verificação: 10 000 × 1,22 = 14 400.
4Exercício 4
Em quantos meses 100 000 Kz, a 3% ao mês, chegam a 150 000 Kz?
Ver dica
M ÷ C = 1,5.
Ver solução
n = ln(1,5) ÷ ln(1,03) = 0,405465 ÷ 0,029559 ≈ 13,72 meses; para atingir 150 000 Kz, 14 meses completos. Verificação: 1,0313 ≈ 1,47 e 1,0314 ≈ 1,51.
5Exercício 5
Um capital de 8 000 Kz cresce a 50% ao ano e chega a 27 000 Kz. Qual é o prazo?
Ver dica
Procure uma potência de 1,5 igual a 27 000 ÷ 8 000.
Ver solução
M ÷ C = 27 000 ÷ 8 000 = 3,375 = 1,53. Então n = 3 anos. Pela fórmula: ln(3,375) ÷ ln(1,5) = 1,216395 ÷ 0,405465 = 3.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular o prazo em juros compostos?
É n = ln(M ÷ C) ÷ ln(1 + i). Resulta de isolar n em M = C × (1 + i)n aplicando logaritmos aos dois membros.
Como verificar se o resultado está correto?
Substitua n na fórmula do montante: C × (1 + i)n deve dar M (ou ficar ligeiramente acima, se arredondou para cima). Deve também fazer sentido: se M é o dobro de C e a taxa é pequena, o prazo tem de ser longo.
Que erros se cometem ao calcular o prazo?
Aplicar o logaritmo apenas ao montante, esquecer o «1 +» na taxa, misturar logaritmos de bases diferentes e interpretar mal a unidade do resultado.
Posso resolver sem logaritmos?
Sim, por tentativas: calcule (1 + i)n para n = 1, 2, 3… até chegar a M ÷ C. Funciona bem para prazos pequenos e serve de verificação, mas os logaritmos são o método geral.
Resumo
- O prazo obtém-se com n = ln(M ÷ C) ÷ ln(1 + i).
- Os logaritmos servem para trazer o expoente n para baixo.
- Use o mesmo tipo de logaritmo no numerador e no denominador.
- A unidade de n é a da taxa (meses com taxa mensal, anos com taxa anual).
- Confirme o arredondamento e verifique com C × (1 + i)n.
Onde aprofundar
- Manual e programa de Matemática Financeira da sua instituição (confirme a edição em vigor).
- Puccini, A. L., Matemática Financeira e Análise de Investimentos (confirme a edição).
- Brigham, E. F. e Houston, J. F., Fundamentals of Financial Management, capítulo sobre valor do dinheiro no tempo (confirme a edição).
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