Sistemas Elétricos de Potência · 2.º ano (indicativo)
Como calcular a impedância em p.u.?
Resposta curta
A impedância em p.u. (por unidade) obtém-se dividindo a impedância em ohms pela impedância base: Z(p.u.) = Z(Ω) / Z_base, com Z_base = U_base² / S_base. Escolhe-se S_base (potência trifásica) e U_base (tensão composta) para cada zona do sistema e converte-se tudo para a mesma base.
Quando se aplica
O sistema por unidade é usado em estudos de fluxo de carga e de curto-circuito de redes com vários níveis de tensão. Ao exprimir as grandezas como fração de valores base, os transformadores ideais desaparecem das contas (os valores em p.u. são iguais dos dois lados) e os resultados ficam numa gama pequena e fácil de comparar (tensões perto de 1,0 p.u.).
Fórmulas e significado de cada termo
Grandezas base e valores p.u.
Z_base = U_base² / S_base I_base = S_base / (√3 · U_base) Z(p.u.) = Z(Ω) / Z_base Z(Ω) = Z(p.u.) × Z_base Mudança de base: Z_novo = Z_dado × (U_dado / U_novo)² × (S_novo / S_dado)
- S_base: potência aparente trifásica escolhida (MVA), igual em todo o sistema.
- U_base: tensão composta (entre fases) escolhida (kV); muda em cada zona segundo a relação dos transformadores.
- Z_base: impedância de referência (Ω). Com U em kV e S em MVA, Z_base vem diretamente em Ω.
- Z(p.u.): número sem unidades.
Método passo a passo
- Escolha S_base (por exemplo 100 MVA), comum a todo o sistema.
- Escolha U_base de uma zona (normalmente a tensão nominal) e obtenha as outras pelas relações dos transformadores.
- Calcule Z_base de cada zona: Z_base = U_base²/S_base (kV² / MVA = Ω).
- Converta cada impedância em ohms: Z(p.u.) = Z(Ω)/Z_base da zona onde ela está.
- Se a impedância já vem em p.u. numa base própria (típico de geradores e transformadores), mude de base com a fórmula de mudança de base.
- Verifique que os valores p.u. são razoáveis (transformadores com 0,05 a 0,15 p.u. na sua base, por exemplo) e que recalcular em ohms dá o valor inicial.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Linha em ohms para p.u.
Enunciado: Com S_base = 100 MVA e U_base = 110 kV, exprima em p.u. uma linha de impedância Z = j24,2 Ω.
Resolução:
- Z_base = 110² / 100 = 12 100 / 100 = 121 Ω.
- Z(p.u.) = j24,2 / 121 = j0,2.
Resposta: Z = j0,2 p.u. Verificação: 0,2 × 121 = 24,2 Ω. ✓
Exemplo 2 — Transformador numa nova potência base
Enunciado: Um transformador de 50 MVA, 11/110 kV tem reatância de 10% (0,10 p.u.) na sua base. Converta para S_base = 100 MVA, mantendo as tensões base iguais às nominais.
Resolução:
- As tensões base coincidem com as nominais: o fator (U_dado/U_novo)² = 1.
- Z_novo = 0,10 × (100/50) = 0,20.
Resposta: X = 0,20 p.u. na base de 100 MVA. Verificação: a reatância em ohms do lado de 110 kV é 0,10 × (110²/50) = 24,2 Ω; e 0,20 × 121 = 24,2 Ω. ✓
Exemplo 3 — Mudança de tensão e de potência
Enunciado: Um gerador de 20 MVA, 11 kV tem X = 0,20 p.u. na sua base. Converta-o para a base do sistema: 100 MVA e 10,5 kV na zona do gerador.
Resolução:
- Z_novo = 0,20 × (11/10,5)² × (100/20).
- (11/10,5)² = 1,0476² ≈ 1,0975.
- Z_novo = 0,20 × 1,0975 × 5 ≈ 1,0975.
Resposta: X ≈ 1,10 p.u. Verificação: em ohms, o gerador tem 0,20 × 11²/20 = 1,21 Ω; a nova base dá Z_base = 10,5²/100 = 1,1025 Ω e 1,21/1,1025 ≈ 1,0975. ✓
Exemplo 4 — Nível de exame: três zonas e corrente
Enunciado: Um sistema radial tem gerador 11 kV → transformador 11/110 kV → linha 110 kV, com S_base = 100 MVA e U_base = 11 kV na zona do gerador. (a) Qual é a U_base na linha? (b) Calcule Z_base e I_base na linha. (c) Uma linha com Z = j12,1 Ω transporta 50 MVA: exprima-os em p.u. e a corrente em p.u.
Resolução:
- (a) U_base da linha = 11 × (110/11) = 110 kV.
- (b) Z_base = 110²/100 = 121 Ω. I_base = 100 × 106 / (1,732 × 110 × 103) = 100 000 000 / 190 526 ≈ 525 A.
- (c) Z = j12,1/121 = j0,1 p.u. A potência é 50/100 = 0,5 p.u. A corrente da carga é 50 × 106/(1,732 × 110 000) ≈ 262,4 A, e 262,4/525 = 0,5 p.u. (porque, com U = 1,0 p.u., I(p.u.) = S(p.u.)).
Resposta: U_base = 110 kV; Z_base = 121 Ω; I_base ≈ 525 A; Z = j0,1 p.u.; S = 0,5 p.u.; I = 0,5 p.u. Verificação: a tensão base muda pela relação do transformador e S_base mantém-se.
Erros frequentes
- Usar a mesma U_base em todo o sistema. A U_base muda de zona para zona segundo a relação dos transformadores.
- Esquecer de elevar a razão de tensões ao quadrado na mudança de base.
- Trocar S_novo/S_dado por S_dado/S_novo. Passando a uma base maior em MVA, o valor p.u. aumenta.
- Usar a tensão de fase com a potência trifásica (ou o inverso). Z_base = U²/S exige U composta e S trifásica.
- Misturar kV com V ou MVA com VA: kV²/MVA já dá ohms; V²/VA também, mas não misture.
- Aplicar a conversão de base a valores já em ohms. A mudança de base é para valores em p.u. numa base antiga; os ohms convertem-se diretamente por Z/Z_base.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule Z_base para U_base = 33 kV e S_base = 100 MVA.
Ver solução
Z_base = 33² / 100 = 1 089/100 = 10,89 Ω.
2Exercício 2
Com a base do exercício anterior, converta Z = 5,445 Ω para p.u.
Ver solução
Z(p.u.) = 5,445 / 10,89 = 0,5 p.u.
3Exercício 3
Um transformador de 25 MVA tem X = 8% (0,08 p.u.). Converta para S_base = 100 MVA, com as mesmas tensões base.
Ver solução
X_novo = 0,08 × (100/25) = 0,32 p.u.
4Exercício 4
Uma reatância de 0,1 p.u. na base de 10 MVA e 6,6 kV passa para a base de 100 MVA e 6,9 kV. Calcule o novo valor.
Ver dica
Use a fórmula de mudança de base com os dois fatores.
Ver solução
Z_novo = 0,1 × (6,6/6,9)² × (100/10) = 0,1 × 0,9150 × 10 ≈ 0,915 p.u. (porque (6,6/6,9)² = 0,9565² ≈ 0,9150).
5Exercício 5
Na base de 100 MVA e 33 kV, uma impedância é 0,35 p.u. Qual é o seu valor em ohms? E se a linha transportar 50 MVA a 33 kV, qual é a corrente em ampères?
Ver solução
Z = 0,35 × 10,89 ≈ 3,81 Ω. A corrente: I = 50 × 106 / (1,732 × 33 000) = 50 000 000 / 57 156 ≈ 875 A.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular a impedância em p.u.?
É Z(p.u.) = Z(Ω)/Z_base, com Z_base = U_base²/S_base. Se a impedância já estiver em p.u. noutra base, usa-se a fórmula de mudança de base: multiplica-se pelo quadrado da razão das tensões e pela razão das potências.
Como verificar se o resultado está correto?
Reconverta para ohms multiplicando pelo Z_base: deve obter o valor inicial. Veja também a ordem de grandeza: transformadores e geradores costumam ter reatâncias entre 0,05 e 0,3 p.u. na sua própria base.
Porque é que os transformadores «desaparecem» no sistema p.u.?
Porque a tensão base de cada zona segue a relação de transformação. Assim, a tensão em p.u. no primário e no secundário é a mesma, e a impedância em p.u. do transformador é a mesma vista de qualquer lado.
Que erros se cometem ao calcular a impedância em p.u.?
Usar a mesma tensão base em todas as zonas, esquecer o quadrado na mudança de base e trocar numerador com denominador na razão de potências. Veja a secção de erros frequentes.
Resumo
- Z(p.u.) = Z(Ω)/Z_base, com Z_base = U_base²/S_base.
- S_base é única; U_base muda em cada zona segundo os transformadores.
- Mudança de base: Z_novo = Z_dado × (U_dado/U_novo)² × (S_novo/S_dado).
- Com kV e MVA, Z_base obtém-se diretamente em ohms.
- Verifique sempre reconvertendo para ohms.
Onde aprofundar
- O programa oficial da disciplina e os manuais adotados pela sua instituição (confirme a edição em vigor).
- Grainger e Stevenson, Power System Analysis, capítulo sobre o sistema por unidade e modelos de componentes.
- Normas IEC aplicáveis às grandezas nominais de transformadores e geradores (confirme a versão em vigor).
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