Eletrónica Digital · 1.º ano (indicativo)
Como calcular a expressão booleana de uma tabela de verdade?
Resposta curta
Para obter a expressão booleana de uma tabela de verdade, escolha as linhas onde a saída é 1, escreva para cada uma um produto (AND) em que as variáveis com valor 0 aparecem negadas e as com valor 1 aparecem diretas, e some (OR) esses produtos. É a forma de soma de produtos, também chamada soma de mini-termos.
Quando se aplica
Em projeto lógico, quase sempre se começa pelo comportamento desejado (uma tabela de verdade) e só depois se procura o circuito. Passar da tabela para a expressão é o passo que permite desenhar as portas lógicas, simplificar com álgebra de Boole ou com mapas de Karnaugh e, por fim, implementar o circuito.
Notação usada neste artigo
A' lê-se «A negado» (NOT A). O produto AB significa A AND B e a soma A + B significa A OR B.
Mini-termos e maxi-termos
Um mini-termo é um produto que contém todas as variáveis e vale 1 numa única combinação de entradas. Um maxi-termo é uma soma que contém todas as variáveis e vale 0 numa única combinação.
Regras de construção
Mini-termo (linhas com saída 1): variável = 1 → A ; variável = 0 → A' Maxi-termo (linhas com saída 0): variável = 0 → A ; variável = 1 → A' SOP: F = soma dos mini-termos POS: F = produto dos maxi-termos
Repare que no maxi-termo as regras de negação são o inverso das do mini-termo.
Método passo a passo
- Numere as linhas da tabela (000 = linha 0, 001 = linha 1, ...) e identifique as variáveis de entrada.
- Marque as linhas com saída F = 1 (se for mais curto, marque as com F = 0 e use a forma POS).
- Escreva o mini-termo de cada linha marcada: coloque a variável direta se vale 1 e negada se vale 0, ligando-as com AND.
- Some os mini-termos com OR para obter a expressão SOP canónica.
- Simplifique, se pedido, com as leis da álgebra de Boole (por exemplo, XY + XY' = X) ou com um mapa de Karnaugh.
- Verifique substituindo as combinações de entrada na expressão final e comparando com a tabela.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Duas variáveis (ou exclusivo)
Enunciado: A saída F é 1 quando A e B são diferentes. A tabela é: 00 → 0; 01 → 1; 10 → 1; 11 → 0. Escreva F.
Resolução:
- Linhas com F = 1: A = 0, B = 1 e A = 1, B = 0.
- Mini-termo de 01: A'B. Mini-termo de 10: AB'.
- Soma: F = A'B + AB'.
Resposta: F = A'B + AB' (o OU exclusivo, A ⊕ B). Verificação: em 00 dá 0 + 0 = 0; em 11 dá 0 + 0 = 0; em 01 dá 1; em 10 dá 1.
Exemplo 2 — Três variáveis, com simplificação
Enunciado: Uma tabela de três variáveis A, B, C tem F = 1 nas linhas 1 (001), 3 (011) e 7 (111), e F = 0 nas restantes. Obtenha F e simplifique.
Resolução:
- Mini-termos: 001 → A'B'C; 011 → A'BC; 111 → ABC.
- F = A'B'C + A'BC + ABC.
- Agrupe os dois primeiros: A'C(B' + B) = A'C, porque B' + B = 1.
- F = A'C + ABC. Agora, ABC e A'C partilham C: F = C(A' + AB).
- Como A' + AB = A' + B, resulta F = C(A' + B) = A'C + BC.
Resposta: F = A'C + BC. Verificação: linha 5 (101): A'C = 0 e BC = 0, logo F = 0, como na tabela. Linha 7 (111): BC = 1, logo F = 1.
Exemplo 3 — Forma de produto de somas
Enunciado: Uma porta tem saída 0 apenas quando A = 1 e B = 1 (nas outras três linhas a saída é 1). Escreva F na forma POS e na forma SOP.
Resolução:
- Linha com F = 0: A = 1, B = 1. Maxi-termo: como ambas valem 1, aparecem negadas: (A' + B').
- Forma POS: F = A' + B'.
- Forma SOP: mini-termos das linhas 00, 01 e 10: A'B' + A'B + AB'.
- Simplificando: A'B' + A'B = A'; então F = A' + AB' = A' + B'.
Resposta: F = A' + B' (a porta NAND). Verificação: com A = B = 1, A' + B' = 0 + 0 = 0; em todas as outras linhas pelo menos uma variável vale 0, logo F = 1.
Exemplo 4 — Nível de exame: circuito de maioria
Enunciado: Um sistema de alarme de um armazém em Luanda tem três sensores (A, B, C). O alarme (F) dispara quando pelo menos dois sensores estão ativos. Escreva a tabela e obtenha a expressão simplificada.
Resolução:
- F = 1 nas linhas 011, 101, 110 e 111 (nas outras há zero ou um sensor ativo).
- Mini-termos: A'BC, AB'C, ABC', ABC.
- F = A'BC + AB'C + ABC' + ABC.
- Use ABC três vezes (a lei X + X = X permite repetir um termo): ABC + A'BC = BC; ABC + AB'C = AC; ABC + ABC' = AB.
- F = AB + AC + BC.
Resposta: F = AB + AC + BC. Verificação: com A = 1, B = 1, C = 0: AB = 1, logo F = 1 (dois sensores). Com A = 1 e B = C = 0: tudo 0, logo F = 0.
Erros frequentes
- Trocar a regra de negação: no mini-termo, o bit 0 dá a variável negada; no maxi-termo é o bit 1 que dá a variável negada. Confundir as duas regras inverte a expressão.
- Esquecer uma linha com F = 1: confira o número de mini-termos contando os 1 da coluna de saída.
- Omitir variáveis num mini-termo: na forma canónica todos os termos têm todas as variáveis. A simplificação só vem depois.
- Misturar SOP com POS: some produtos (SOP) ou multiplique somas (POS); não troque os operadores dentro do mesmo termo.
- Negar mal ao simplificar: (AB)' não é A'B', mas A' + B' (lei de De Morgan).
- Não testar a expressão final: substitua pelo menos as linhas onde esperava F = 1 e duas onde esperava F = 0.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Uma tabela de duas variáveis tem F = 1 apenas em A = 1, B = 1. Escreva F.
Ver solução
Só há um mini-termo: F = AB (porta AND).
2Exercício 2
Duas variáveis: F = 1 nas linhas 00 e 11. Escreva F em SOP.
Ver solução
Mini-termos: 00 → A'B'; 11 → AB. F = A'B' + AB (coincidência, XNOR).
3Exercício 3
Três variáveis: F = 1 apenas nas linhas 010 e 100. Escreva e simplifique F.
Ver dica
Agrupe os termos que partilham C'.
Ver solução
Mini-termos: 010 → A'BC'; 100 → AB'C'. F = A'BC' + AB'C' = C'(A'B + AB') = C'(A ⊕ B). Verificação: em 110, A ⊕ B = 0 e F = 0; em 011, C' = 0 e F = 0.
4Exercício 4
Três variáveis: F = 1 nas linhas 000 e 001. Simplifique.
Ver solução
F = A'B'C' + A'B'C = A'B'(C' + C) = A'B'. Verificação: F só depende de A e B e é 1 quando ambas valem 0.
5Exercício 5
Duas variáveis: F = 0 nas linhas 01 e 10 e F = 1 nas outras. Escreva F na forma POS e confirme que coincide com a SOP.
Ver solução
Maxi-termos: 01 (A = 0, B = 1) → (A + B'); 10 (A = 1, B = 0) → (A' + B). POS: F = (A + B')(A' + B). Expandindo: AA' + AB + A'B' + BB' = 0 + AB + A'B' + 0 = AB + A'B'. A SOP das linhas 00 e 11 dá o mesmo resultado, logo as formas coincidem.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre SOP e POS?
SOP (soma de produtos) usa as linhas com saída 1 e liga mini-termos com OR. POS (produto de somas) usa as linhas com saída 0 e liga maxi-termos com AND. As duas dão a mesma função; escolha a que tiver menos linhas.
Como verificar se a expressão está correta?
Percorra todas as combinações de entrada, calcule a expressão e compare com a coluna F da tabela. Se alguma linha não coincidir, procure uma negação trocada ou um mini-termo em falta.
A expressão obtida é a mais simples?
Não necessariamente. A forma canónica contém um mini-termo por cada 1 da tabela e raramente é mínima. Para a reduzir use as leis da álgebra de Boole ou um mapa de Karnaugh, que agrupa visualmente os 1 vizinhos.
Quando prefiro POS em vez de SOP?
Quando a saída tem muito mais 1 do que 0. Se a tabela só tem dois zeros em oito linhas, escrever dois maxi-termos é mais rápido do que seis mini-termos.
Resumo
- A expressão lê-se da tabela linha a linha: cada linha com F = 1 gera um mini-termo.
- Mini-termo: variável a 1 aparece direta, a 0 aparece negada; somam-se com OR.
- Maxi-termo (linhas com F = 0): a regra de negação é a oposta; multiplicam-se com AND.
- A forma canónica deve ser simplificada com álgebra de Boole ou mapa de Karnaugh.
- Verifique sempre a expressão final contra a tabela completa.
Onde aprofundar
- O programa oficial e os manuais de Eletrónica Digital da sua instituição (confirme a edição em vigor).
- Tocci, Widmer e Moss, Sistemas Digitais: Princípios e Aplicações, capítulos sobre portas lógicas e álgebra booleana.
- Mano e Ciletti, Digital Design, secção sobre formas canónicas e padrão.
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