Equações Diferenciais · 2.º ano (indicativo)

Como calcular uma aproximação com o método de Euler passo a passo?

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Resposta curta

O método de Euler aproxima a solução de y' = f(x, y), y(x0) = y0, avançando em passos de tamanho h com a fórmula y(n+1) = yn + h·f(xn, yn) e x(n+1) = xn + h. Em cada passo segue-se a reta tangente. Quanto menor o passo h, melhor costuma ser a aproximação.

Fórmula e significado de cada termo

Método de Euler

x(n+1) = xn + h y(n+1) = yn + h·f(xn, yn)

Legenda: h é o passo; (xn, yn) é o ponto atual; f(xn, yn) é o declive da solução nesse ponto (o valor de y'); y(n+1) é a estimativa de y em x(n+1).

Condições de aplicação

  • A equação tem de estar na forma y' = f(x, y), com condição inicial y(x0) = y0.
  • O número de passos é n = (x_final − x0)/h.
  • O método é de primeira ordem: o erro global é aproximadamente proporcional a h.
  • Pode acumular erro; é útil quando a solução exata é difícil ou impossível de obter, ou para verificar resultados.

Passo a passo

  1. Identifique f(x, y), x0, y0, h e o ponto final onde quer a estimativa.
  2. Calcule o número de passos: n = (x_final − x0)/h.
  3. Construa uma tabela com colunas n, xn, yn, f(xn, yn).
  4. Calcule y(n+1) = yn + h·f(xn, yn).
  5. Avance x(n+1) = xn + h e repita até chegar ao ponto final.
  6. Compare, se tiver a solução exata, para estimar o erro; ou repita com h menor e veja se o resultado estabiliza.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Dois passos

Enunciado: Seja y' = x + y, y(0) = 1. Com h = 0,1, estime y(0,2).

Resolução:

  1. n = (0,2 − 0)/0,1 = 2 passos. Ponto inicial: (0; 1).
  2. Passo 1: f(0; 1) = 0 + 1 = 1. y1 = 1 + 0,1 × 1 = 1,1 (em x = 0,1).
  3. Passo 2: f(0,1; 1,1) = 1,2. y2 = 1,1 + 0,1 × 1,2 = 1,22 (em x = 0,2).

Resposta: y(0,2) ≈ 1,22. Verificação: a solução exata é y = 2ex − x − 1, que dá y(0,2) ≈ 1,2428. O erro é cerca de 0,023.

Exemplo 2 — Efeito do passo em y' = y

Enunciado: Seja y' = y, y(0) = 1. Estime y(1) com h = 0,5 e com h = 0,25. Compare com e ≈ 2,718.

Resolução:

  1. h = 0,5: y1 = 1 + 0,5 × 1 = 1,5; y2 = 1,5 + 0,5 × 1,5 = 2,25.
  2. h = 0,25: multiplica-se por 1,25 em cada passo: 1,25; 1,5625; 1,953125; 2,44140625.
  3. Erros: 2,718 − 2,25 = 0,468 e 2,718 − 2,441 = 0,277.

Resposta: y(1) ≈ 2,25 (h = 0,5) e ≈ 2,441 (h = 0,25). Verificação: a aproximação melhora ao diminuir h, aproximando-se de e ≈ 2,718. Aqui yn = (1 + h)n.

Exemplo 3 — Arrefecimento de uma bebida

Enunciado: A temperatura T (°C) de uma bebida satisfaz dT/dt = −0,1(T − 20), com T(0) = 90 e t em minutos. Com h = 5 min, estime T(10).

Resolução:

  1. f(t, T) = −0,1(T − 20). Dois passos.
  2. Passo 1: f(0; 90) = −0,1 × 70 = −7. T1 = 90 + 5 × (−7) = 55 (em t = 5).
  3. Passo 2: f(5; 55) = −0,1 × 35 = −3,5. T2 = 55 + 5 × (−3,5) = 37,5 (em t = 10).

Resposta: T(10) ≈ 37,5 °C. Verificação: a solução exata é T = 20 + 70e(−0,1t), e T(10) = 20 + 70/e ≈ 45,75 °C. O erro é grande porque h = 5 é um passo grande; com passos menores a estimativa melhora.

Exemplo 4 — Nível de exame: tabela de três passos

Enunciado: Seja y' = y − x, y(0) = 2. Com h = 0,2, estime y(0,6) e compare com a solução exata y = x + 1 + ex.

Resolução:

  1. n = 0,6/0,2 = 3 passos.
  2. Passo 1: f(0; 2) = 2 − 0 = 2. y1 = 2 + 0,2 × 2 = 2,4 (x = 0,2).
  3. Passo 2: f(0,2; 2,4) = 2,2. y2 = 2,4 + 0,2 × 2,2 = 2,84 (x = 0,4).
  4. Passo 3: f(0,4; 2,84) = 2,44. y3 = 2,84 + 0,2 × 2,44 = 3,328 (x = 0,6).
  5. Exata: y(0,6) = 0,6 + 1 + e0,6 ≈ 1,6 + 1,8221 = 3,4221.

Resposta: y(0,6) ≈ 3,328. Verificação: erro ≈ 3,422 − 3,328 = 0,094, aceitável para h = 0,2; a exata satisfaz y(0) = 0 + 1 + 1 = 2 ✓.

Erros frequentes no cálculo

  • Usar o valor de x errado em f: em cada passo use (xn, yn) do início do passo, não do fim.
  • Esquecer de multiplicar por h: a fórmula é yn + h·f, não yn + f.
  • Contar mal os passos: de 0 a 0,6 com h = 0,2 são 3 passos, não 4.
  • Arredondar cedo demais e acumular erros; guarde casas decimais até ao fim.
  • Confundir o erro de um passo com o erro global, ou esperar o valor exato com h grande.
  • Atualizar x e y em ordem trocada na tabela, usando um y novo com um x antigo.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Seja y' = 2x, y(0) = 0. Com h = 0,5, estime y(1) e compare com o valor exato.

Ver solução

y1 = 0 + 0,5 × f(0; 0) = 0 + 0,5 × 0 = 0 (em x = 0,5). y2 = 0 + 0,5 × f(0,5; 0) = 0,5 × 1 = 0,5 (em x = 1). y(1) ≈ 0,5. A solução exata é y = x2, logo y(1) = 1; o erro é 0,5.

2Exercício 2

Seja y' = −y, y(0) = 1. Com h = 0,1, estime y(0,2) e compare com e(−0,2) ≈ 0,8187.

Ver solução

y1 = 1 + 0,1 × (−1) = 0,9; y2 = 0,9 + 0,1 × (−0,9) = 0,81. y(0,2) ≈ 0,81; erro ≈ 0,0087.

3Exercício 3

Seja y' = y + 1, y(0) = 0. Com h = 0,5, estime y(1). A solução exata é y = ex − 1.

Ver solução

y1 = 0 + 0,5 × (0 + 1) = 0,5; y2 = 0,5 + 0,5 × (0,5 + 1) = 1,25. y(1) ≈ 1,25; exato: e − 1 ≈ 1,718; erro ≈ 0,468.

4Exercício 4

Seja y' = x·y, y(0) = 1. Com h = 0,5, estime y(1). Valor exato: e(0,5) ≈ 1,6487.

Ver dica

No primeiro passo, x = 0 e f = 0.

Ver solução

y1 = 1 + 0,5 × (0 × 1) = 1; y2 = 1 + 0,5 × (0,5 × 1) = 1,25. y(1) ≈ 1,25; o erro é ≈ 0,40, devido ao passo grande.

5Exercício 5

Para y' = y, y(0) = 1, mostre que o método de Euler com h = 0,1 dá y(0,5) = (1,1)5, calcule-o e compare com e0,5 ≈ 1,6487.

Ver solução

Cada passo multiplica por (1 + 0,1) = 1,1; após 5 passos, y = (1,1)5. 1,12 = 1,21; 1,13 = 1,331; 1,14 = 1,4641; 1,15 = 1,61051. Erro ≈ 1,6487 − 1,6105 = 0,038.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula do método de Euler?

y(n+1) = yn + h·f(xn, yn), com x(n+1) = xn + h. Em cada passo avança-se pela reta tangente ao ponto atual.

Como verificar se o resultado está correto?

Repita o cálculo com h metade e veja se o valor se aproxima do anterior e de uma solução exata, se existir. Pode também verificar se o sinal e a ordem de grandeza são coerentes com f.

Porque é que o método de Euler comete erro?

Porque assume que o declive se mantém constante ao longo de cada passo, quando na realidade varia. Em funções curvas como ex, o método subestima, e o erro acumula-se.

Que erros se cometem ao calcular uma aproximação com o método de Euler?

Usar o ponto errado em f, esquecer h e contar mal o número de passos. Veja a secção de erros.

Resumo

  • Euler: y(n+1) = yn + h·f(xn, yn); x(n+1) = xn + h.
  • Número de passos: (x_final − x0)/h.
  • Organize os cálculos numa tabela e guarde as casas decimais.
  • O erro global é aproximadamente proporcional a h; diminuir h melhora o resultado.
  • Compare com a solução exata, quando existir, para avaliar o erro.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática/Análise Numérica do seu curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • Boyce e DiPrima, Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno (capítulo do método de Euler).
  • Dennis Zill, Equações Diferenciais; e MIT OpenCourseWare 18.03.

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