Equações Diferenciais · 2.º ano (indicativo)
Como resolver uma equação de variáveis separáveis passo a passo?
Resposta curta
Uma equação diferencial de primeira ordem é de variáveis separáveis se puder escrever-se como dy/dx = g(x)·h(y). Passos: separe as variáveis (dy/h(y) = g(x) dx), integre os dois lados, junte as constantes numa só e, se possível, isole y. Use a condição inicial para calcular a constante.
Quando se aplica
Aplica-se quando o segundo membro de dy/dx = F(x, y) é um produto de uma função só de x por uma função só de y. Casos típicos: dy/dx = 2xy, dy/dx = x/y, dy/dx = ky (crescimento e decaimento exponencial) e dy/dx = e(x−y), pois e(x−y) = ex·e(−y).
Forma geral
dy/dx = g(x)·h(y) ⇒ ∫ dy/h(y) = ∫ g(x) dx + C
Pré-requisitos
Primitivas imediatas (potências, 1/x, exponencial), propriedades dos logaritmos e das exponenciais, e noção de condição inicial y(x0) = y0.
Método passo a passo
- Verifique se a equação é separável: consegue escrever o segundo membro como g(x)·h(y)?
- Procure soluções constantes: valores de y para os quais h(y) = 0 são soluções (y = constante).
- Separe as variáveis: passe tudo o que tem y para o lado de dy e tudo o que tem x para o lado de dx.
- Integre ambos os lados (uma constante C basta).
- Isole y, se possível (solução explícita); caso contrário, deixe a solução implícita.
- Se houver condição inicial, substitua x0 e y0 para obter C.
- Verifique derivando a solução e substituindo na equação.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Solução geral
Enunciado: Resolva dy/dx = 2xy.
Resolução:
- É separável: g(x) = 2x e h(y) = y. A solução y = 0 é constante.
- Para y ≠ 0: dy/y = 2x dx.
- Integrando: ln|y| = x2 + C1.
- Exponenciando: |y| = e(C1)·e(x²), logo y = C·e(x²), com C constante qualquer (C = 0 dá a solução y = 0).
Resposta: y = C·e(x²). Verificação: y' = C·e(x²)·2x = 2x·y ✓.
Exemplo 2 — Problema de valor inicial
Enunciado: Resolva dy/dx = x/y com y(0) = 2.
Resolução:
- Separe: y dy = x dx.
- Integre: y2/2 = x2/2 + C, ou seja, y2 = x2 + K (K = 2C).
- Condição inicial: 22 = 0 + K, logo K = 4.
- y2 = x2 + 4. Como y(0) = 2 é positivo, escolhe-se a raiz positiva: y = √(x2 + 4).
Resposta: y = √(x2 + 4). Verificação: y(0) = √4 = 2 ✓; y' = x/√(x2 + 4) = x/y ✓.
Exemplo 3 — Com exponenciais
Enunciado: Resolva dy/dx = e(x−y) com y(0) = 0.
Resolução:
- e(x−y) = ex·e(−y). Separe: ey dy = ex dx.
- Integre: ey = ex + C.
- Com y(0) = 0: e0 = e0 + C, logo 1 = 1 + C e C = 0.
- ey = ex e, aplicando ln, y = x.
Resposta: y = x. Verificação: y' = 1 e e(x−x) = e0 = 1 ✓.
Exemplo 4 — Nível de exame: crescimento de bactérias
Enunciado: Numa cultura, o número de bactérias P(t) cresce a uma taxa proporcional ao seu valor: dP/dt = kP. Em t = 0 há 1 000 bactérias e, após 2 horas, 4 000. Quantas bactérias haverá às 3 horas?
Resolução:
- Separe: dP/P = k dt. Integre: ln P = kt + C, logo P(t) = P0·e(kt).
- P(0) = 1 000: P(t) = 1 000·e(kt).
- P(2) = 4 000: e(2k) = 4, logo ek = 2 (tomando a raiz positiva).
- P(t) = 1 000·2t. Para t = 3: P(3) = 1 000 × 8 = 8 000.
Resposta: 8 000 bactérias. Verificação: P(2) = 1 000 × 4 = 4 000 ✓ e a população duplica a cada hora.
Erros frequentes
- Não separar completamente: deixar y do lado de dx. Cada lado só pode ter uma variável.
- Esquecer a constante de integração, ou pô-la nos dois lados em vez de uma só vez.
- Perder a solução constante y = 0 (ou outras raízes de h(y)) ao dividir por h(y).
- Mal exponenciar: de ln|y| = x2 + C não resulta y = x2 + eC, mas |y| = eC·e(x²).
- Aplicar a condição inicial antes de integrar ou depois de errar a forma da solução. Substitua depois de obter a solução geral.
- Não verificar o ramo (±) ao tirar uma raiz: a condição inicial indica o sinal correto.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Resolva dy/dx = 3y.
Ver solução
dy/y = 3 dx ⇒ ln|y| = 3x + C1 ⇒ y = C·e(3x).
2Exercício 2
Resolva dy/dx = −x/y e descreva as soluções.
Ver solução
y dy = −x dx ⇒ y2/2 = −x2/2 + C ⇒ x2 + y2 = K (K maior que 0). As soluções são circunferências centradas na origem.
3Exercício 3
Resolva dy/dx = x·e(−y) com y(0) = 0.
Ver dica
e(−y) = 1/ey; multiplique ambos os lados por ey.
Ver solução
ey dy = x dx ⇒ ey = x2/2 + C. Com y(0) = 0: 1 = C. Logo y = ln(x2/2 + 1). Verificação: y' = x/(x2/2 + 1) = x·e(−y) ✓.
4Exercício 4
Resolva dy/dx = x·y2 com y(0) = 1. Qual é o domínio da solução?
Ver solução
dy/y2 = x dx ⇒ −1/y = x2/2 + C. Com y(0) = 1: −1 = C. Então −1/y = x2/2 − 1 e y = 1/(1 − x2/2) = 2/(2 − x2). Está definida e contém x = 0 para |x| menor que √2: domínio −√2 menor que x menor que √2. (A solução constante y = 0 perdeu-se ao dividir por y2, mas não satisfaz y(0) = 1.)
5Exercício 5
Uma chávena de café a 80 °C é deixada numa sala a 20 °C. Pela lei do arrefecimento de Newton, dT/dt = −k(T − 20). Após 10 minutos, a temperatura é 50 °C. Qual será a temperatura aos 20 minutos?
Ver dica
Separe as variáveis com u = T − 20: du/u = −k dt.
Ver solução
T − 20 = Ce(−kt). Em t = 0: 60 = C. Em t = 10: 30 = 60e(−10k) ⇒ e(−10k) = 1/2. Em t = 20: T − 20 = 60 × (1/2)2 = 15. T = 35 °C.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Quando o segundo membro de dy/dx se pode escrever como produto de uma função de x por uma função de y. Muitos modelos de crescimento, decaimento e arrefecimento são deste tipo.
Existe um método mais rápido?
Para dy/dx = ky a solução é diretamente y = Ce(kx), sem refazer a separação. Para equações lineares de primeira ordem, o fator integrante pode ser mais eficaz, mas as equações separáveis são normalmente as mais diretas.
Posso dividir por h(y) sem cuidado?
Não. Dividir por h(y) assume h(y) ≠ 0. Verifique à parte se as raízes de h(y) são soluções constantes e inclua-as se forem.
Que erros são mais comuns?
Esquecer a constante, perder soluções constantes e exponenciar mal. Veja a secção de erros.
Resumo
- Equação separável: dy/dx = g(x)h(y); separe, integre, isole y.
- Verifique as soluções constantes dadas por h(y) = 0.
- Uma constante de integração é suficiente; a condição inicial fixa o seu valor.
- Cuidado com a exponenciação de logaritmos e com o sinal ao tirar raízes.
- Verifique sempre derivando e substituindo na equação.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática/Análise do seu curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Boyce e DiPrima, Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno.
- Dennis Zill, Equações Diferenciais; e MIT OpenCourseWare 18.03.
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