Estatística Inferencial · 1.º ano (indicativo)

Como calcular o tamanho da amostra necessário para estimar uma média?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para estimar uma média populacional com margem de erro E e confiança dada, use n = (z·σ / E)2, onde z é o valor crítico da distribuição normal e σ o desvio padrão da população. Arredonde sempre para cima ao inteiro seguinte. Exemplo: z = 1,96, σ = 15, E = 3 dá n = 96,04, logo 97.

Fórmula e significado de cada termo

Quando se estima a média μ por uma média amostral x̄, o erro máximo provável é E = z·σ/√n. Resolvendo em ordem a n:

Tamanho da amostra para estimar uma média

n = ( z · σ / E )2

  • n: tamanho mínimo da amostra.
  • z: valor crítico para o nível de confiança escolhido. Valores habituais: 90% → 1,645; 95% → 1,96; 99% → 2,576.
  • σ: desvio padrão da população (conhecido, ou estimado por um estudo-piloto ou por dados anteriores).
  • E: margem de erro desejada, na mesma unidade de σ.

Condições de aplicação

  • A população é grande ou a amostragem é com reposição. Se a população for pequena e finita (de dimensão N), faz-se a correção do Exemplo 4.
  • A amostra é aleatória simples.
  • A distribuição da média amostral é aproximadamente normal (população normal ou amostra suficientemente grande).
  • σ é conhecido ou razoavelmente estimado.

Passo a passo

  1. Fixe o nível de confiança (90%, 95%, 99%) e encontre z.
  2. Decida a margem de erro E que aceita, na unidade da variável (kg, Kz, cm, anos…).
  3. Obtenha σ: valor conhecido, estimativa de um estudo-piloto (s) ou, em último caso, (máximo − mínimo)/4 como aproximação.
  4. Calcule z·σ/E, depois eleve ao quadrado.
  5. Arredonde para cima ao inteiro seguinte (mesmo que dê 96,04: a resposta é 97).
  6. Verifique: com o n obtido, E = z·σ/√n deve ser menor ou igual à margem desejada.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Altura dos estudantes

Enunciado: Quer estimar-se a altura média dos estudantes de uma universidade de Luanda, com 95% de confiança e erro máximo de 3 cm. Sabe-se que σ = 15 cm. Que tamanho de amostra é necessário?

Resolução:

  1. z = 1,96; σ = 15; E = 3.
  2. z·σ/E = 1,96 × 15 / 3 = 29,4 / 3 = 9,8.
  3. n = 9,82 = 96,04.
  4. Arredondando para cima: n = 97.

Resposta: são precisos 97 estudantes. Verificação: com n = 97, E = 1,96 × 15/√97 ≈ 29,4/9,85 ≈ 2,99 cm, que não excede 3 cm.

Exemplo 2 — Maior confiança

Enunciado: Repita para estimar o peso médio de sacos de fuba, com 99% de confiança, erro máximo de 5 kg e σ = 20 kg.

Resolução:

  1. z = 2,576; σ = 20; E = 5.
  2. z·σ/E = 2,576 × 20 / 5 = 2,576 × 4 = 10,304.
  3. n = 10,3042 ≈ 106,17.
  4. Arredondando para cima: n = 107.

Resposta: 107 sacos. Verificação: com 99% em vez de 95% e a mesma razão σ/E = 4, a amostra seria 62 (z = 1,96, 7,842 = 61,47); subir a confiança obriga a uma amostra maior.

Exemplo 3 — Salário médio

Enunciado: Pretende estimar-se o salário mensal médio de operários de uma fábrica, com 90% de confiança e erro máximo de 2 000 Kz. Estudos anteriores indicam σ = 12 000 Kz. Qual é o tamanho de amostra?

Resolução:

  1. z = 1,645; σ = 12 000; E = 2 000.
  2. σ/E = 6 e z·σ/E = 1,645 × 6 = 9,87.
  3. n = 9,872 ≈ 97,42.
  4. Arredondando para cima: n = 98.

Resposta: 98 operários. Verificação: com n = 98, E = 1,645 × 12 000/√98 ≈ 19 740/9,90 ≈ 1 994 Kz, menor que 2 000.

Exemplo 4 — Nível de exame: população finita

Enunciado: Numa escola com N = 400 alunos, um cálculo inicial com a fórmula acima deu n₀ = 100. Qual é o tamanho de amostra corrigido para a população finita?

Resolução:

  1. Fórmula de correção: n = n₀ / [1 + (n₀ − 1)/N].
  2. n = 100 / [1 + 99/400] = 100 / 1,2475 ≈ 80,16.
  3. Arredondando para cima: n = 81.

Resposta: 81 alunos. Verificação: a amostra corrigida é menor que n₀, como se espera, e menor que N = 400. Se N fosse muito grande, o fator tenderia para 1 e n ≈ n₀.

Erros frequentes

  • Arredondar para baixo ou ao mais próximo. Se n = 96,04, usar 96 deixa a margem de erro ligeiramente acima da desejada. Arredonde sempre para cima.
  • Esquecer de elevar ao quadrado (ficar em z·σ/E).
  • Misturar unidades: σ em metros e E em centímetros. Converta antes de dividir.
  • Usar o valor de z errado: 1,96 é para 95% (bilateral), não para 90%.
  • Confundir E (margem de erro) com σ. E é a precisão que se exige; σ é a variabilidade da população.
  • Pensar que n depende do tamanho da população. Para populações grandes, n praticamente não depende de N.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule o tamanho de amostra para estimar uma média com 95% de confiança, σ = 8 e E = 2.

Ver solução

n = (1,96 × 8 / 2)2 = 7,842 = 61,47, logo n = 62.

2Exercício 2

Calcule n para 99% de confiança, σ = 50 e E = 10.

Ver solução

n = (2,576 × 50 / 10)2 = 12,882 ≈ 165,89, logo n = 166.

3Exercício 3

Com 95% de confiança e σ = 10, calcule n para E = 1 e para E = 0,5. O que acontece quando a margem de erro é reduzida a metade?

Ver solução

Para E = 1: n = 19,62 = 384,16, logo 385. Para E = 0,5: n = 39,22 = 1 536,64, logo 1 537. Reduzir E a metade multiplica n por 4 (porque E aparece ao quadrado no denominador).

4Exercício 4

Num estudo-piloto obteve-se s = 6,5 anos de idade. Calcule o tamanho de amostra para estimar a idade média com 90% de confiança e E = 1,3 anos, usando s no lugar de σ.

Ver dica

σ/E = 6,5/1,3 = 5.

Ver solução

n = (1,645 × 5)2 = 8,2252 ≈ 67,65, logo n = 68.

5Exercício 5

Numa população de N = 250 pessoas, o cálculo inicial dá n₀ = 60. Aplique a correção para população finita.

Ver solução

n = 60 / [1 + 59/250] = 60 / 1,236 ≈ 48,54, logo n = 49.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula para o tamanho da amostra de uma média?

É n = (z·σ/E)2, com z o valor crítico do nível de confiança, σ o desvio padrão populacional e E a margem de erro. O resultado arredonda-se sempre para cima.

O que fazer quando não se conhece σ?

Use o desvio padrão de um estudo-piloto ou de estudos anteriores semelhantes. Na falta de dados, uma aproximação é (máximo − mínimo)/4. Se σ for subestimado, a amostra pode ficar pequena; quando há dúvida, use um valor ligeiramente maior.

Como verificar se o resultado está correto?

Substitua o n obtido em E = z·σ/√n: o resultado deve ser menor ou igual à margem de erro pedida e, com n − 1, a margem já costuma exceder o pedido (por isso se arredonda para cima).

Porque é que mais confiança exige mais amostra?

Porque um nível de confiança maior corresponde a um z maior (2,576 em vez de 1,96), o que alarga o intervalo; para o manter com a mesma margem de erro, é preciso reduzir o erro padrão σ/√n, isto é, aumentar n.

Resumo

  • n = (z·σ/E)2, arredondado para cima ao inteiro seguinte.
  • z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%).
  • σ e E têm de estar na mesma unidade.
  • Reduzir E a metade quadruplica n; aumentar a confiança também aumenta n.
  • Em populações finitas pequenas, aplique n = n₀ / [1 + (n₀ − 1)/N].
  • Confirme com E = z·σ/√n.

Onde aprofundar

  • O programa da disciplina de Estatística da sua instituição e, no secundário, o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • Douglas Montgomery e George Runger, Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, capítulo sobre intervalos de confiança.
  • Mario Triola, Introdução à Estatística; e o manual aberto OpenStax Introductory Statistics.

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