Estatística Inferencial · 1.º ano (indicativo)

Como encontrar o estimador de máxima verosimilhança?

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Resposta curta

Escreva a função de verosimilhança L(θ) = produto das densidades (ou probabilidades) de cada observação, tome o logaritmo, derive em ordem a θ, iguale a zero e resolva. A solução θ̂ é o valor do parâmetro que torna os dados observados mais prováveis. Confirme que é um máximo.

Quando se aplica

O método da máxima verosimilhança (MV) serve para estimar parâmetros de um modelo (p numa Bernoulli, λ numa exponencial ou de Poisson, μ e σ2 numa normal) a partir de uma amostra x₁, …, xₙ. A ideia: entre todos os valores possíveis de θ, escolhe-se aquele sob o qual a amostra observada tinha maior probabilidade (ou densidade) de ocorrer.

Pré-requisitos

  • Amostra aleatória simples: observações independentes e com a mesma distribuição, de forma conhecida e parâmetro desconhecido.
  • Propriedades de logaritmos: ln(ab) = ln a + ln b, ln(ab) = b·ln a.
  • Derivação de funções simples e resolução de equações.

Verosimilhança e log-verosimilhança

L(θ) = f(x₁;θ) · f(x₂;θ) · … · f(xₙ;θ) ℓ(θ) = ln L(θ) = Σ ln f(xᵢ;θ) Estimador: θ̂ tal que ℓ'(θ̂) = 0 e ℓ''(θ̂) < 0

Método passo a passo

  1. Identifique o modelo e a densidade ou função de probabilidade f(x;θ).
  2. Escreva L(θ) como produto, pela independência.
  3. Tome o logaritmo natural ℓ(θ): transforma o produto em soma e simplifica a derivada. O máximo de ℓ é o mesmo de L, porque ln é crescente.
  4. Derive ℓ em ordem a θ e iguale a zero (equação de verosimilhança).
  5. Resolva em ordem a θ: obtém-se θ̂ em função dos dados.
  6. Verifique que é máximo (ℓ'' < 0, ou a função cresce antes e decresce depois). Com mais de um parâmetro, resolva o sistema das derivadas parciais.
  7. Se a derivada não se anula (como no caso uniforme), analise L diretamente.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Proporção (Bernoulli)

Enunciado: Em n ensaios independentes de Bernoulli com probabilidade de sucesso p, observam-se s sucessos. Encontre o EMV de p. Aplicação: em 20 estudantes inquiridos, 7 usam o candongueiro todos os dias.

Resolução:

  1. Cada xᵢ ∈ {0,1}, com f(x;p) = px(1−p)1−x.
  2. L(p) = ps(1−p)n−s, com s = Σxᵢ.
  3. ℓ(p) = s·ln p + (n−s)·ln(1−p).
  4. ℓ'(p) = s/p − (n−s)/(1−p) = 0, logo s(1−p) = p(n−s), isto é, s = np.
  5. p̂ = s/n.

Resposta: p̂ = s/n (a proporção amostral). No caso numérico: p̂ = 7/20 = 0,35. Verificação: ℓ''(p) = −s/p2 − (n−s)/(1−p)2 < 0, logo é máximo.

Exemplo 2 — Taxa de uma exponencial

Enunciado: Os tempos de espera x₁, …, xₙ têm densidade f(x;λ) = λe−λx, x > 0. Encontre o EMV de λ. Dados: 2, 4, 3, 1 e 5 minutos.

Resolução:

  1. L(λ) = λn e−λΣxᵢ.
  2. ℓ(λ) = n·ln λ − λ·Σxᵢ.
  3. ℓ'(λ) = n/λ − Σxᵢ = 0.
  4. λ̂ = n/Σxᵢ = 1/x̄.
  5. Numericamente: n = 5, Σxᵢ = 15, logo λ̂ = 5/15.

Resposta: λ̂ = 1/x̄ = 1/3 por minuto (tempo médio de espera estimado: 3 minutos). Verificação: ℓ'' = −n/λ2 < 0.

Exemplo 3 — Média e variância de uma normal

Enunciado: Para uma amostra normal N(μ, σ2), encontre os EMV de μ e σ2. Aplique a 2, 4, 6, 8.

Resolução:

  1. ℓ(μ,σ2) = −(n/2)·ln(2π) − (n/2)·ln σ2 − Σ(xᵢ−μ)2 / (2σ2).
  2. ∂ℓ/∂μ = Σ(xᵢ−μ)/σ2 = 0, logo μ̂ = x̄.
  3. ∂ℓ/∂σ2 = −n/(2σ2) + Σ(xᵢ−μ)2/(2σ4) = 0, logo σ̂2 = Σ(xᵢ−x̄)2/n.
  4. Numericamente: x̄ = 20/4 = 5; desvios −3, −1, 1, 3, com quadrados 9, 1, 1, 9, soma 20.

Resposta: μ̂ = 5 e σ̂2 = 20/4 = 5. Verificação: σ̂2 divide por n e não por n − 1; por isso é ligeiramente enviesado (a variância amostral usual daria 20/3 ≈ 6,67).

Exemplo 4 — Nível de exame: uniforme em (0, θ)

Enunciado: Uma amostra de X ~ Uniforme(0, θ) deu 3, 7 e 5. Encontre o EMV de θ.

Resolução:

  1. f(x;θ) = 1/θ para 0 ≤ x ≤ θ, e 0 fora disso.
  2. L(θ) = θ−n se θ ≥ máx(xᵢ), e L(θ) = 0 se θ < máx(xᵢ) (algum dado ficaria fora do intervalo).
  3. Para θ ≥ máx(xᵢ), L = θ−n é decrescente em θ, e a derivada nunca se anula.
  4. O máximo está, portanto, no menor valor admissível: θ̂ = máx(xᵢ).

Resposta: θ̂ = 7. Verificação: com θ < 7 o dado 7 seria impossível; com θ > 7 a verosimilhança diminui. Aqui o método da derivada falha, e analisa-se L diretamente.

Erros frequentes

  • Não tomar o logaritmo e derivar o produto: o trabalho cresce desnecessariamente.
  • Esquecer-se de que L é uma função de θ, com os dados fixos; não derive em ordem a x.
  • Escrever mal o produto (por exemplo, somar as densidades em vez de as multiplicar).
  • Não verificar o máximo: uma derivada nula pode ser um mínimo. Confirme ℓ'' < 0.
  • Aplicar a derivada quando o suporte depende de θ (uniforme em (0, θ)): o máximo pode estar na fronteira.
  • Dividir por n − 1 na variância normal: o EMV usa n.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Para uma Poisson com parâmetro λ, deduza o EMV e calcule-o para a amostra 2, 0, 3, 1, 4. (Função de probabilidade: P(X=x) = e−λλx/x!.)

Ver dica

O termo x! não depende de λ e desaparece ao derivar.

Ver solução

ℓ(λ) = −nλ + (Σxᵢ)·ln λ − Σ ln(xᵢ!). ℓ'(λ) = −n + Σxᵢ/λ = 0, logo λ̂ = x̄. Numericamente: Σxᵢ = 10, n = 5, λ̂ = 2.

2Exercício 2

Oito lâmpadas, com tempos de vida exponenciais, duraram ao todo 40 horas. Estime a taxa λ e o tempo médio de vida.

Ver solução

λ̂ = n/Σxᵢ = 8/40 = 0,2 por hora. O tempo médio é 1/λ, estimado por 1/0,2 = 5 horas (que é x̄ = 40/8).

3Exercício 3

Numa amostra de 120 estudantes, 30 chumbaram numa disciplina. Estime por MV a probabilidade de chumbar.

Ver solução

p̂ = 30/120 = 0,25.

4Exercício 4

Calcule o EMV da variância de uma normal para a amostra 1, 3, 5, 7, 9.

Ver solução

x̄ = 25/5 = 5. Desvios: −4, −2, 0, 2, 4; quadrados 16, 4, 0, 4, 16, soma 40. σ̂2 = 40/5 = 8.

5Exercício 5

Seja f(x;θ) = θxθ−1, 0 < x < 1, θ > 0. Deduza o EMV de θ.

Ver dica

ln f = ln θ + (θ − 1)·ln x.

Ver solução

L = θn·Π xᵢθ−1. ℓ(θ) = n·ln θ + (θ − 1)·Σ ln xᵢ. ℓ'(θ) = n/θ + Σ ln xᵢ = 0, logo θ̂ = −n / Σ ln xᵢ. Como 0 < xᵢ < 1, os ln xᵢ são negativos e θ̂ > 0. ℓ'' = −n/θ2 < 0, é máximo.

Perguntas frequentes

Quando se usa o método da máxima verosimilhança?

Quando se conhece a família de distribuições dos dados, mas não o valor dos parâmetros. É o método padrão de estimação em estatística, por ter boas propriedades (consistência, e eficiência em amostras grandes).

Existe um método mais rápido?

Para alguns modelos, o EMV coincide com o método dos momentos e com a média amostral (Bernoulli, Poisson, exponencial, média normal), pelo que o resultado pode ser reconhecido de imediato. Mesmo assim, em exame deve apresentar a dedução.

O estimador de máxima verosimilhança é sempre centrado (não enviesado)?

Não. O EMV de σ2 na normal (dividindo por n) é enviesado, e o da uniforme (máximo da amostra) também. O viés desaparece quando n cresce.

Que erros são mais comuns?

Esquecer o logaritmo, não verificar o máximo e usar a derivada quando o suporte depende de θ. Veja a secção «Erros frequentes».

Resumo

  • EMV: valor de θ que maximiza L(θ) = Π f(xᵢ;θ).
  • Passos: L → ℓ = ln L → ℓ' = 0 → resolver → confirmar máximo.
  • Resultados a reter: p̂ = x̄ (Bernoulli), λ̂ = x̄ (Poisson), λ̂ = 1/x̄ (exponencial), μ̂ = x̄ e σ̂2 = Σ(x−x̄)2/n (normal).
  • Se o suporte depende de θ, analise L diretamente (uniforme: θ̂ = máximo).
  • O EMV pode ser enviesado, mas é consistente em condições gerais.

Onde aprofundar

  • O programa da disciplina de Estatística da sua instituição — confirme a edição do manual em vigor.
  • Douglas Montgomery e George Runger, Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, capítulo sobre estimação pontual.
  • Mario Triola, Introdução à Estatística; e o manual aberto OpenStax Introductory Statistics para revisão de conceitos.

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