Geotecnia · 1.º ano (indicativo)

Como calcular as relações entre fases do solo?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para calcular as relações entre fases do solo, represente o solo num diagrama com sólidos, água e ar, e use as definições: índice de vazios e = Vv/Vs, porosidade n = Vv/V, grau de saturação S = Vw/Vv e teor em água w = Ww/Ws. A relação central é S × e = w × Gs. A partir dela obtêm-se todos os pesos volúmicos.

O que é

O solo é um material de três fases: partículas sólidas, água e ar. Quase todas as propriedades de engenharia (compressibilidade, resistência, permeabilidade) dependem das proporções entre elas. Por isso a Geotecnia define índices que relacionam volumes e pesos, e calculam-se uns a partir dos outros.

Grandezas do diagrama de fases

SímboloSignificado
Vs, Vw, Vavolume de sólidos, de água e de ar
Vv = Vw + Vavolume de vazios
V = Vs + Vvvolume total
Ws, Wwpeso dos sólidos e da água
Gsdensidade relativa das partículas (em geral 2,6 a 2,8)
γwpeso volúmico da água (9,81 kN/m3; usa-se 10 para simplificar)

Relações entre fases

e = Vv ÷ Vs · n = Vv ÷ V · S = Vw ÷ Vv · w = Ww ÷ Ws n = e ÷ (1 + e) · e = n ÷ (1 − n) · S × e = w × Gs γ = Gs × γw × (1 + w) ÷ (1 + e) · γd = Gs × γw ÷ (1 + e) · γd = γ ÷ (1 + w) γsat = (Gs + e) × γw ÷ (1 + e)

Método passo a passo

  1. Desenhe o diagrama de fases e escreva os dados nele.
  2. Escolha uma base conveniente: Vs = 1, ou V = 1, ou Ws = 1.
  3. Calcule os volumes e pesos em falta, usando as definições.
  4. Obtenha e, n, S, w e os pesos volúmicos pelas fórmulas.
  5. Confira com a relação S × e = w × Gs e com os limites físicos: 0 ≤ S ≤ 1; w ≥ 0; e > 0; n entre 0 e 1.

Atenção

Use a mesma unidade de peso volúmico ao longo do exercício e diga qual o valor de γw adotado (9,81 ou 10 kN/m3).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Dados de laboratório

Enunciado: Uma amostra tem 100 cm3 e massa 180 g. Depois de seca em estufa pesa 150 g. Sabe-se que Gs = 2,65. Calcule w, γ, γd, e, n e S (use g = 10 m/s2).

Resolução:

  1. Massa de água: 180 − 150 = 30 g, logo Vw = 30 cm3.
  2. w = 30 ÷ 150 = 0,20 = 20 %.
  3. γ = 1,8 g/cm3 = 18 kN/m3; γd = 150 ÷ 100 = 1,5 g/cm3 = 15 kN/m3.
  4. Vs = 150 ÷ 2,65 ≈ 56,6 cm3; Vv = 100 − 56,6 = 43,4 cm3.
  5. e = 43,4 ÷ 56,6 ≈ 0,767; n = 43,4 ÷ 100 = 0,434.
  6. S = 30 ÷ 43,4 ≈ 0,691 = 69 %.

Resposta: w = 20 %; γ = 18 kN/m3; γd = 15 kN/m3; e ≈ 0,77; n ≈ 43 %; S ≈ 69 %. Verificação: S × e = 0,691 × 0,767 ≈ 0,530 e w × Gs = 0,20 × 2,65 = 0,53.

Exemplo 2 — A partir de e, Gs e w

Enunciado: Um solo tem e = 0,80, Gs = 2,70 e w = 12 %. Calcule S, γ, γd e γsat (γw = 10 kN/m3).

Resolução:

  1. S = w × Gs ÷ e = 0,12 × 2,70 ÷ 0,80 = 0,405.
  2. γ = 2,70 × 10 × 1,12 ÷ 1,80 = 30,24 ÷ 1,80 = 16,8 kN/m3.
  3. γd = 2,70 × 10 ÷ 1,80 = 15 kN/m3.
  4. γsat = (2,70 + 0,80) × 10 ÷ 1,80 ≈ 19,4 kN/m3.

Resposta: S = 40,5 %; γ = 16,8; γd = 15; γsat ≈ 19,4 kN/m3. Verificação: γd = γ ÷ (1 + w) = 16,8 ÷ 1,12 = 15.

Exemplo 3 — Nível de exame: solo saturado com Vs = 1

Enunciado: Um solo saturado tem w = 30 % e Gs = 2,70. Calcule e, n, γsat e γd (γw = 10 kN/m3).

Resolução:

  1. S = 1, logo e = w × Gs = 0,30 × 2,70 = 0,81.
  2. n = e ÷ (1 + e) = 0,81 ÷ 1,81 ≈ 0,448.
  3. γsat = (2,70 + 0,81) × 10 ÷ 1,81 = 35,1 ÷ 1,81 ≈ 19,4 kN/m3.
  4. γd = 27 ÷ 1,81 ≈ 14,9 kN/m3.

Resposta: e = 0,81; n ≈ 44,8 %; γsat ≈ 19,4; γd ≈ 14,9 kN/m3. Verificação: γd × (1 + w) = 14,92 × 1,3 ≈ 19,4.

Exemplo 4 — Índice de vazios a partir do peso volúmico seco

Enunciado: Um aterro tem γd = 16 kN/m3 e Gs = 2,65. Calcule e e n.

Resolução:

  1. De γd = Gs γw ÷ (1 + e): 1 + e = 26,5 ÷ 16 = 1,656.
  2. e = 0,656.
  3. n = 0,656 ÷ 1,656 ≈ 0,396.

Resposta: e ≈ 0,66; n ≈ 39,6 %. Verificação: com e = 0,656, γd = 26,5 ÷ 1,656 = 16.

Erros frequentes

  • Confundir e com n. O índice de vazios divide por Vs; a porosidade divide por V. Podem passar de 1 só no caso de e.
  • Dividir w por Vw em vez de Ws: o teor em água refere-se ao solo seco.
  • Esquecer o (1 + e) nas fórmulas de γ.
  • Misturar massas (g, kg) com pesos (kN) sem multiplicar pela aceleração da gravidade.
  • Aceitar S > 1 ou n > 1: são impossíveis e indicam erro.
  • Usar Gs = 1 por engano ou γw diferente do declarado.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Um solo tem e = 0,6. Calcule a porosidade.

Ver solução

n = e ÷ (1 + e) = 0,6 ÷ 1,6 = 0,375 = 37,5 %.

2Exercício 2

Um solo tem n = 0,40. Calcule e.

Ver solução

e = n ÷ (1 − n) = 0,40 ÷ 0,60 ≈ 0,667.

3Exercício 3

Uma amostra húmida pesa 220 g e, seca em estufa, 190 g. Calcule o teor em água.

Ver solução

Ww = 30 g; w = 30 ÷ 190 ≈ 0,158 = 15,8 %.

4Exercício 4

Um solo saturado tem Gs = 2,65 e e = 0,70. Calcule w e γsat (γw = 10 kN/m3).

Ver dica

Com S = 1, e = w × Gs.

Ver solução

w = e ÷ Gs = 0,70 ÷ 2,65 ≈ 26,4 %. γsat = (2,65 + 0,70) × 10 ÷ 1,70 = 33,5 ÷ 1,70 ≈ 19,7 kN/m3.

5Exercício 5

Uma amostra de 1 L (0,001 m3) tem massa 1,95 kg, w = 10 % e Gs = 2,70. Calcule γ, γd, e e S (g = 10 m/s2, γw = 10 kN/m3).

Ver solução

Peso 19,5 N em 0,001 m3: γ = 19,5 kN/m3. γd = 19,5 ÷ 1,10 ≈ 17,7 kN/m3. e = Gs γw ÷ γd − 1 = 27 ÷ 17,73 − 1 ≈ 0,52. S = w Gs ÷ e = 0,27 ÷ 0,523 ≈ 0,52 = 52 %.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula central das relações entre fases?

S × e = w × Gs. Liga o grau de saturação, o índice de vazios, o teor em água e a densidade das partículas, e permite calcular qualquer um deles conhecendo os outros três.

Porque se usa Vs = 1 nos exercícios?

Porque simplifica: Vv = e, V = 1 + e e Ws = Gs γw. Como as relações são entre proporções, o resultado não depende do volume escolhido.

O índice de vazios pode ser maior que 1?

Pode, em solos muito fofos ou orgânicos, porque os vazios podem ocupar mais volume que as partículas. A porosidade, essa, é sempre menor que 1.

Como verificar se o resultado está correto?

Confirme S × e = w × Gs, veja se 0 ≤ S ≤ 1 e se γd < γ < γsat. Confirme também que γd = γ ÷ (1 + w).

Resumo

  • O solo tem três fases: sólidos, água e ar.
  • e = Vv/Vs, n = Vv/V, S = Vw/Vv, w = Ww/Ws.
  • S × e = w × Gs; n = e/(1 + e).
  • γd = Gs γw/(1 + e) = γ/(1 + w).
  • Resolva com o diagrama de fases e uma base conveniente (Vs = 1).
  • Valide sempre os limites físicos.

Onde aprofundar

  • O programa e o manual da disciplina de Geotecnia da sua instituição — confirme a edição em vigor.
  • Das, B. M., Fundamentos de Engenharia Geotécnica.
  • Terzaghi, Peck e Mesri, Soil Mechanics in Engineering Practice.

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