Matemática Financeira · 1.º ano (indicativo)
Como calcular o montante a juros simples?
Resposta curta
O montante a juros simples é o capital mais os juros: M = C × (1 + i × n). Exemplo: 100 000 Kz a 3% ao mês durante 5 meses dão M = 100 000 × (1 + 0,03 × 5) = 100 000 × 1,15 = 115 000 Kz. A taxa (i) e o prazo (n) têm de estar na mesma unidade de tempo.
Fórmula e significado de cada termo
Montante a juros simples
J = C × i × n · M = C + J = C × (1 + i × n)
- M: montante, o valor final (capital mais juros).
- C: capital inicial aplicado ou emprestado.
- i: taxa de juro por período, em decimal (3% = 0,03).
- n: número de períodos, na mesma unidade da taxa.
- J: juros, a parte ganha ou paga pelo uso do dinheiro.
Nos juros simples, os juros incidem sempre sobre o capital inicial, por isso o montante cresce em linha reta: cada período acrescenta o mesmo valor, C × i.
Condições de aplicação
- Regime de juros simples (os juros não são somados ao capital para render).
- Taxa constante durante todo o prazo.
- Em prazos em dias, indique se a convenção é ano comercial (360 dias) ou civil (365); em exercícios, use a que o enunciado indicar, e, na falta dela, o ano comercial costuma ser a convenção usada.
Passo a passo
- Identifique C, i, n e o que se pede (M, J, C, i ou n).
- Alinhe as unidades: se i é mensal, n em meses; se i é anual e n em meses, divida n por 12 (ou converta i para taxa mensal proporcional).
- Passe a taxa para decimal (divida por 100).
- Calcule o fator (1 + i × n).
- Multiplique C pelo fator para obter M.
- Verifique: M − C = J e J = C × i × n; M tem de ser maior do que C.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Montante simples
Enunciado: Qual é o montante de 100 000 Kz aplicados durante 5 meses a 3% ao mês, juros simples?
Resolução:
- C = 100 000; i = 0,03; n = 5.
- Fator = 1 + 0,03 × 5 = 1,15.
- M = 100 000 × 1,15 = 115 000 Kz.
Resposta: 115 000 Kz. Verificação: J = 100 000 × 0,03 × 5 = 15 000 e 100 000 + 15 000 = 115 000.
Exemplo 2 — Taxa anual, prazo em meses
Enunciado: Um comerciante do Huambo pede 250 000 Kz emprestados a 18% ao ano, juros simples, por 8 meses. Quanto deve pagar no fim?
Resolução:
- Taxa mensal proporcional = 18% ÷ 12 = 1,5% = 0,015.
- Fator = 1 + 0,015 × 8 = 1 + 0,12 = 1,12.
- M = 250 000 × 1,12 = 280 000 Kz.
Resposta: 280 000 Kz. Verificação: J = 250 000 × 0,18 × (8/12) = 30 000 e 250 000 + 30 000 = 280 000.
Exemplo 3 — Prazo em dias
Enunciado: Aplicam-se 500 000 Kz durante 90 dias a 24% ao ano, juros simples, com ano comercial de 360 dias. Calcule o montante.
Resolução:
- n = 90 ÷ 360 = 0,25 ano.
- i × n = 0,24 × 0,25 = 0,06.
- M = 500 000 × (1 + 0,06) = 500 000 × 1,06 = 530 000 Kz.
Resposta: 530 000 Kz. Verificação: 90 dias são 3 meses a 2% ao mês: 6%, o mesmo resultado.
Exemplo 4 — Nível de exame: encontrar o capital ou a taxa
Enunciado: (a) Que capital, aplicado 6 meses a 2% ao mês em juros simples, dá um montante de 336 000 Kz? (b) Um capital de 80 000 Kz transformou-se em 92 000 Kz em 5 meses. Qual foi a taxa mensal?
Resolução:
(a)
- Fator = 1 + 0,02 × 6 = 1,12.
- C = M ÷ fator = 336 000 ÷ 1,12 = 300 000 Kz.
(b)
- J = 92 000 − 80 000 = 12 000 Kz.
- i = J ÷ (C × n) = 12 000 ÷ (80 000 × 5) = 12 000 ÷ 400 000 = 0,03.
Resposta: (a) 300 000 Kz; (b) 3% ao mês. Verificação: (a) 300 000 × 1,12 = 336 000; (b) 80 000 × (1 + 0,03 × 5) = 80 000 × 1,15 = 92 000.
Erros frequentes no cálculo
- Taxa e prazo em unidades diferentes: usar 18% ao ano com n = 8 sem converter os meses.
- Usar a taxa em percentagem (3 em vez de 0,03), o que dá um montante enorme.
- Calcular só os juros e apresentá-los como montante. O montante inclui o capital.
- Aplicar a fórmula composta M = C(1 + i)n num exercício de juros simples.
- Esquecer a convenção de dias (360 ou 365) nos prazos em dias.
- Multiplicar (1 + i) por n em vez de calcular 1 + (i × n).
Exercícios propostos
1Exercício 1
40 000 Kz a 5% ao mês, juros simples, durante 4 meses. Calcule o montante.
Ver solução
Fator = 1 + 0,05 × 4 = 1,20. M = 40 000 × 1,20 = 48 000 Kz.
2Exercício 2
600 000 Kz a 10% ao ano, juros simples, durante 2 anos. Calcule o montante.
Ver solução
Fator = 1 + 0,10 × 2 = 1,20. M = 600 000 × 1,20 = 720 000 Kz.
3Exercício 3
150 000 Kz a 12% ao ano, juros simples, durante 45 dias (ano comercial). Calcule o montante.
Ver solução
n = 45 ÷ 360 = 0,125. i × n = 0,12 × 0,125 = 0,015. M = 150 000 × 1,015 = 152 250 Kz.
4Exercício 4
Que capital, a 2,5% ao mês, juros simples, produz 220 000 Kz em 4 meses?
Ver dica
Calcule primeiro o fator 1 + i × n.
Ver solução
Fator = 1 + 0,025 × 4 = 1,10. C = 220 000 ÷ 1,10 = 200 000 Kz.
5Exercício 5
100 000 Kz transformaram-se em 118 000 Kz em 9 meses, a juros simples. Qual foi a taxa mensal e qual a taxa anual proporcional?
Ver solução
J = 18 000. i = 18 000 ÷ (100 000 × 9) = 0,02 = 2% ao mês. Taxa anual proporcional = 2% × 12 = 24% ao ano. Verificação: 100 000 × (1 + 0,02 × 9) = 118 000.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular o montante a juros simples?
M = C × (1 + i × n), em que C é o capital, i a taxa por período em decimal e n o número de períodos na mesma unidade da taxa.
Como verificar se o resultado está correto?
Calcule os juros J = C × i × n e confirme que C + J dá M. Verifique também que o montante é maior do que o capital e que cada período acrescenta o mesmo valor.
Que erros se cometem ao calcular o montante a juros simples?
Usar taxa e prazo em unidades diferentes, escrever a taxa em percentagem e confundir montante com juros.
Qual é a diferença para os juros compostos?
Nos simples, os juros incidem sempre sobre o capital inicial; nos compostos, incidem também sobre os juros já formados. Por isso, a partir do segundo período, o montante composto é superior.
Resumo
- M = C × (1 + i × n) e J = C × i × n.
- Taxa e prazo têm de estar na mesma unidade de tempo.
- Use a taxa em decimal.
- O montante inclui o capital; os juros são só a diferença.
- Para achar C, divida M pelo fator (1 + i × n); para achar i, use J ÷ (C × n).
Onde aprofundar
- O programa da cadeira e a bibliografia da sua instituição; confirme a edição em vigor.
- Puccini, Matemática Financeira e Análise de Investimentos (em português; confirme a edição).
- Brigham e Houston, Fundamentals of Financial Management (em inglês; confirme a edição); para taxas de referência, as publicações do banco central do seu país.
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