Mecânica dos Fluidos · 1.º ano (indicativo)
Como aplicar a equação de Bernoulli a um problema?
Resposta curta
Escolha dois pontos na mesma linha de corrente, confirme as condições (escoamento permanente, incompressível, sem atrito, sem bombas nem turbinas) e escreva p1 + ½ρv12 + ρgz1 = p2 + ½ρv22 + ρgz2. Use a equação da continuidade para ligar as velocidades e resolva a incógnita.
Quando se aplica
A equação de Bernoulli é a conservação da energia mecânica por unidade de volume de um fluido em movimento. Cada termo é uma pressão: p é a pressão estática, ½ρv2 a pressão dinâmica e ρgz a pressão de elevação. Ao longo de uma linha de corrente a soma mantém-se constante.
Equação de Bernoulli
p1 + ½ ρ v12 + ρ g z1 = p2 + ½ ρ v22 + ρ g z2 Continuidade: A1 v1 = A2 v2 (Q = A v)
Pré-requisitos e condições de aplicação
- Escoamento permanente (nada muda no tempo) e incompressível (líquidos, ou gases a velocidades baixas).
- Sem atrito (viscosidade desprezável) e sem trocas de energia com o exterior: sem bomba, turbina ou perdas de carga significativas.
- Os dois pontos estão na mesma linha de corrente.
- Saber que a pressão num jato livre que sai para a atmosfera é a pressão atmosférica, e que num tanque largo a velocidade da superfície é praticamente nula.
- Pressões todas absolutas ou todas manométricas, sem misturar.
Método passo a passo
- Desenhe o esquema e escolha o ponto 1 e o ponto 2 de forma a conhecer o máximo de dados em cada um (superfície livre, saída, secção com pressão medida).
- Fixe o nível de referência z = 0 (por exemplo, o ponto mais baixo) e determine z1 e z2.
- Liste o que sabe e o que não sabe em cada ponto: p, v, z. Na superfície de um reservatório largo, v ≈ 0; num jato livre, p = patm (p manométrica = 0).
- Escreva Bernoulli e elimine os termos que se anulam.
- Use a continuidade A1v1 = A2v2 quando tiver duas velocidades desconhecidas.
- Resolva e verifique as unidades (Pa) e se o sentido físico faz sentido: onde a velocidade aumenta, a pressão desce (a mesma altura).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Velocidade de saída de um tanque (Torricelli)
Enunciado: Um tanque largo, aberto, tem a superfície da água 5 m acima de um orifício lateral. Qual é a velocidade de saída da água?
Resolução:
- Ponto 1: superfície (p manométrica = 0, v ≈ 0, z = 5 m). Ponto 2: orifício (p manométrica = 0, z = 0, v desconhecida).
- Bernoulli: ρgz1 = ½ρv22, logo v2 = √(2gz1).
- v2 = √(2 × 9,8 × 5) = √98 ≈ 9,9 m/s.
Resposta: ≈ 9,9 m/s. Verificação: é a velocidade de uma queda livre de 5 m, v = √(2gh), como previsto.
Exemplo 2 — Contração numa tubagem horizontal
Enunciado: Água escoa numa tubagem horizontal que passa de 20 cm para 10 cm de diâmetro. Na secção larga, v1 = 2 m/s e p1 = 200 kPa (manométrica). Calcule v2 e p2.
Resolução:
- Continuidade: v2 = v1 × (d1 ÷ d2)2 = 2 × 22 = 8 m/s.
- Mesma altura, logo p2 = p1 + ½ρ(v12 − v22).
- ½ρ = 500, e v12 − v22 = 4 − 64 = −60.
- p2 = 200 000 + 500 × (−60) = 200 000 − 30 000 = 170 000 Pa.
Resposta: v2 = 8 m/s e p2 = 170 kPa. Verificação: a velocidade aumentou e a pressão diminuiu, como esperado.
Exemplo 3 — Conduta que sobe
Enunciado: Numa conduta de diâmetro constante, a água tem p1 = 250 kPa no ponto 1 (z = 0). No ponto 2, 10 m mais acima, qual é a pressão? Despreze o atrito.
Resolução:
- Diâmetro constante: v1 = v2, os termos cinéticos cancelam-se.
- p2 = p1 − ρg(z2 − z1).
- p2 = 250 000 − 1 000 × 9,8 × 10 = 250 000 − 98 000 = 152 000 Pa.
Resposta: 152 kPa. Verificação: a queda de 98 kPa é a pressão de 10 m de coluna de água.
Exemplo 4 — Nível de exame: caudal de um reservatório
Enunciado: Um reservatório aberto alimenta uma conduta que termina num bocal de 5 cm de diâmetro, 20 m abaixo da superfície da água. Calcule a velocidade de saída e o caudal ideal.
Resolução:
- Como no exemplo 1: v = √(2 × 9,8 × 20) = √392 ≈ 19,8 m/s.
- Área do bocal: A = π × 0,0252 ≈ 1,963 × 10-3 m2.
- Caudal: Q = A v ≈ 1,963 × 10-3 × 19,8 ≈ 0,0389 m3/s.
Resposta: v ≈ 19,8 m/s e Q ≈ 0,039 m3/s (cerca de 39 litros por segundo). Verificação: 0,039 m3/s = 39 L/s. Num caso real o atrito reduz este valor.
Erros frequentes
- Aplicar Bernoulli com bombas, turbinas ou grandes perdas sem acrescentar os termos correspondentes (carga da bomba, perdas).
- Misturar pressão absoluta e manométrica nos dois membros da equação.
- Esquecer que a velocidade da superfície de um tanque largo é quase zero, e portanto ficar com duas incógnitas sem necessidade.
- Esquecer a continuidade quando as áreas mudam: sem ela há duas velocidades e uma só equação.
- Medir z de forma inconsistente: a referência tem de ser a mesma nos dois pontos.
- Trabalhar em unidades mistas (cm, kPa, L/s) sem converter para SI antes de calcular.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Um tanque aberto tem a água 1,8 m acima de um orifício. Calcule a velocidade de saída.
Ver solução
v = √(2 × 9,8 × 1,8) = √35,28 ≈ 5,94 m/s.
2Exercício 2
Uma tubagem horizontal passa de 10 cm para 5 cm de diâmetro. Na secção larga v1 = 1,5 m/s. Calcule v2 e a diminuição de pressão.
Ver solução
v2 = 1,5 × (10 ÷ 5)2 = 6 m/s. Δp = ½ρ(v22 − v12) = 500 × (36 − 2,25) = 500 × 33,75 = 16 875 Pa ≈ 16,9 kPa de queda.
3Exercício 3
Numa tubagem horizontal, p1 = 150 kPa, v1 = 2 m/s e v2 = 6 m/s. Calcule p2.
Ver solução
p2 = 150 000 + 500 × (4 − 36) = 150 000 − 16 000 = 134 000 Pa = 134 kPa.
4Exercício 4
Água num tubo de diâmetro constante tem p1 = 300 kPa. Qual é a pressão num ponto 15 m mais alto?
Ver dica
Com diâmetro constante, só contam a pressão e a altura.
Ver solução
p2 = 300 000 − 1 000 × 9,8 × 15 = 300 000 − 147 000 = 153 000 Pa = 153 kPa.
5Exercício 5
Um caudal de 6 L/s de água passa de um tubo de 8 cm para outro de 4 cm de diâmetro, na horizontal. Calcule as velocidades e a diferença de pressão entre as duas secções.
Ver dica
Q = 6 L/s = 0,006 m3/s. Calcule v = Q ÷ A em cada secção.
Ver solução
A1 = π × 0,042 ≈ 5,027 × 10-3 m2, logo v1 ≈ 1,19 m/s. A2 = π × 0,022 ≈ 1,257 × 10-3 m2, logo v2 ≈ 4,77 m/s. Δp = ½ρ(v22 − v12) ≈ 500 × (22,8 − 1,42) ≈ 10,7 kPa (a pressão é menor na secção estreita).
Perguntas frequentes
Quando se usa a equação de Bernoulli?
Quando tem um escoamento de líquido aproximadamente ideal, sem bombas nem perdas importantes, e pretende relacionar pressão, velocidade e altura entre dois pontos: bocais, venturis, saídas de tanques e sifões, por exemplo.
Existe um método mais rápido?
Em casos especiais sim: a velocidade de saída de um tanque é √(2gh) (Torricelli) e, em tubos horizontais, Δp = ½ρ(v22 − v12). São a mesma equação com termos que se anulam.
O que fazer se houver uma bomba ou atrito?
Acrescente à equação o trabalho da bomba (ou turbina) e as perdas de carga, na forma de energia por unidade de peso (altura). A equação simples dá então um valor ideal, que o real nunca supera.
Que erros são mais comuns?
Esquecer a continuidade, misturar pressões absolutas e manométricas e esquecer que a velocidade na superfície de um tanque largo é praticamente nula.
Resumo
- Bernoulli: p + ½ρv2 + ρgz é constante ao longo de uma linha de corrente.
- Aplica-se a escoamentos permanentes, incompressíveis e sem atrito, sem bombas nem turbinas.
- Combine com a continuidade A1v1 = A2v2 para resolver duas velocidades.
- Num jato livre a pressão manométrica é zero; na superfície de um tanque largo, v ≈ 0.
- Onde a velocidade aumenta (a mesma altura), a pressão diminui.
- Trabalhe em SI e use pressões do mesmo tipo nos dois pontos.
Onde aprofundar
- O programa e o manual da disciplina na sua instituição (confirme a edição em vigor).
- Y. A. Çengel e J. M. Cimbala, Mecânica dos Fluidos, capítulo sobre a equação de Bernoulli e a energia mecânica.
- F. M. White, Fluid Mechanics, capítulo sobre as relações integrais e a equação de Bernoulli.
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