Resistência dos Materiais · 1.º ano (indicativo)

Como determinar os esforços internos pelo método das secções?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Corte mentalmente o corpo na secção que lhe interessa, escolha uma das duas partes e aplique-lhe o equilíbrio estático. As incógnitas são os esforços que a parte retirada exerce na face cortada: esforço normal N, esforço transverso V e momento fletor M. As três equações de equilíbrio dão o valor de cada um.

Quando se aplica

O método das secções serve para descobrir o que se passa dentro de uma peça carregada. Um corpo em equilíbrio tem as suas partes também em equilíbrio, por isso, se o cortar numa secção, a parte que fica tem de continuar em equilíbrio com a ajuda das forças internas que a parte removida lhe fazia. Essas forças internas são os esforços internos.

Usa-se em vigas, barras, pilares, eixos e estruturas planas. É o primeiro passo antes de calcular tensões, dimensionar uma secção ou traçar os diagramas de esforços.

Pré-requisitos

  • Saber calcular as reações de apoio de uma viga (equilíbrio global).
  • Dominar o equilíbrio no plano: soma das forças horizontais = 0, soma das forças verticais = 0 e soma dos momentos = 0.
  • Saber substituir uma carga distribuída pela sua resultante (carga × comprimento, aplicada no centro do troço).

O que representa cada esforço (problema plano)

EsforçoSímboloO que faz à peça
NormalNEstica (tração, positivo) ou comprime a peça ao longo do eixo
TransversoVTenta deslizar uma face em relação à outra
Momento fletorMTenta curvar a peça

Nota

Convenção usada neste artigo: N positivo é tração; V positivo quando, na face esquerda de um corte, aponta para cima (e na face direita, para baixo); M positivo quando faz a viga ficar côncava para cima (fibras de baixo tracionadas). Outros livros usam sinais diferentes, por isso confirme sempre a convenção do seu manual.

Método passo a passo

  1. Calcule as reações de apoio com o equilíbrio da estrutura inteira. Numa consola (viga encastrada numa ponta e livre na outra) pode saltar este passo se escolher a parte livre.
  2. Marque a posição da secção e corte a peça nesse ponto. Fique com uma só das duas partes, a mais simples (a que tem menos cargas).
  3. Desenhe o diagrama de corpo livre da parte escolhida: todas as cargas e reações que lá estão, mais N, V e M na face cortada, desenhados no sentido positivo da convenção.
  4. Escreva o equilíbrio: soma das forças segundo o eixo da peça = 0 (dá N); soma das forças perpendiculares = 0 (dá V); soma dos momentos em relação ao centro da secção cortada = 0 (dá M).
  5. Resolva. Um resultado negativo quer dizer que o esforço tem o sentido contrário ao desenhado.
  6. Verifique repetindo o cálculo com a outra parte da peça. O resultado tem de coincidir.

Dica

Tomar momentos no ponto da própria secção faz desaparecer N e V da equação de momentos, e M sai direto.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Viga apoiada com carga a meio

Enunciado: Uma viga simplesmente apoiada tem 6 m de vão e suporta uma carga pontual de 12 kN a meio. Determine V e M na secção a 2 m do apoio esquerdo A.

Resolução:

  1. Reações: por simetria, RA = RB = 12 ÷ 2 = 6 kN.
  2. Corte a 2 m de A e fique com a parte esquerda (só tem RA).
  3. Equilíbrio vertical: 6 − V = 0, logo V = 6 kN.
  4. Momentos em relação ao corte: M = 6 × 2 = 12 kN·m.

Resposta: V = +6 kN e M = +12 kN·m. Verificação: pela parte direita, tomando momentos no corte: RB × 4 − 12 × 1 = 24 − 12 = 12 kN·m. Coincide.

Exemplo 2 — Consola com carga distribuída

Enunciado: Uma consola de 4 m está encastrada em A e livre em B. Suporta uma carga uniforme de 5 kN/m em todo o comprimento. Determine V e M numa secção a 1 m da extremidade livre B.

Resolução:

  1. Escolha a parte livre (1 m junto a B). Assim não precisa das reações no encastramento.
  2. A carga sobre esse troço é 5 × 1 = 5 kN, aplicada a 0,5 m do corte.
  3. Equilíbrio vertical: V = 5 kN (em módulo; o sinal depende da convenção, e aqui a carga para baixo à direita do corte dá V positivo).
  4. Momentos no corte: a carga de 5 kN, a 0,5 m, tenta curvar a peça para baixo, logo M = −5 × 0,5 = −2,5 kN·m.

Resposta: V = 5 kN e M = −2,5 kN·m (tração nas fibras de cima). Verificação: no encastramento, V = 5 × 4 = 20 kN e M = −5 × 4 × 2 = −40 kN·m, valores que crescem para o encastramento, como esperado.

Exemplo 3 — Barra com cargas axiais

Enunciado: Uma barra horizontal ABCD está fixa em A. Em B atua uma força de 40 kN para a direita, em C uma força de 15 kN para a esquerda e em D (extremidade livre) uma força de 10 kN para a direita. Determine o esforço normal em cada troço.

Resolução:

  1. Troço CD: corte entre C e D e fique com a parte direita (só a força em D). N = +10 kN (tração).
  2. Troço BC: a parte direita tem agora 15 kN para a esquerda em C e 10 kN para a direita em D. Equilíbrio: −N − 15 + 10 = 0, logo N = −5 kN.
  3. Troço AB: a parte direita tem 40 → , 15 ← e 10 →. Equilíbrio: −N + 40 − 15 + 10 = 0, logo N = +35 kN.

Resposta: NCD = +10 kN (tração), NBC = −5 kN (compressão), NAB = +35 kN (tração). Verificação: a reação em A tem de ser 40 − 15 + 10 = 35 kN, igual ao esforço normal em AB.

Exemplo 4 — Nível de exame: viga com carga distribuída

Enunciado: Uma viga simplesmente apoiada tem 5 m de vão e carga uniforme de 8 kN/m. Calcule V e M na secção a 2 m do apoio A.

Resolução:

  1. Carga total: 8 × 5 = 40 kN; reações RA = RB = 20 kN.
  2. Parte esquerda (2 m): carga 8 × 2 = 16 kN, aplicada a 1 m do corte.
  3. Forças verticais: 20 − 16 − V = 0, logo V = 4 kN.
  4. Momentos no corte: M = 20 × 2 − 16 × 1 = 40 − 16 = 24 kN·m.

Resposta: V = +4 kN e M = +24 kN·m. Verificação: pela parte direita (3 m), a carga é 8 × 3 = 24 kN a 1,5 m do corte e M = 20 × 3 − 24 × 1,5 = 60 − 36 = 24 kN·m. Coincide.

Erros frequentes

  • Esquecer as reações de apoio quando a parte escolhida inclui um apoio. Calcule-as primeiro ou escolha a parte que não os tem.
  • Tomar momentos num ponto qualquer e não no centro da secção cortada, o que obriga a incluir V na equação e complica as contas.
  • Pôr a carga distribuída completa quando só uma parte dela está na porção escolhida. Use apenas a carga do troço que ficou.
  • Trocar o braço da resultante: a resultante de uma carga uniforme atua a meio do troço carregado, não na extremidade.
  • Misturar convenções de sinais a meio do problema. Fixe a convenção no início e respeite-a.
  • Não verificar com a outra parte. Se os dois lados não dão o mesmo valor, há um erro nas reações ou nas distâncias.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Uma viga simplesmente apoiada de 4 m tem uma carga de 10 kN a meio. Calcule V e M na secção a 1 m do apoio esquerdo.

Ver solução

RA = 10 ÷ 2 = 5 kN. Parte esquerda (1 m): V = 5 kN e M = 5 × 1 = 5 kN·m.

2Exercício 2

Uma consola de 3 m, encastrada numa ponta, tem uma carga de 8 kN na extremidade livre. Calcule V e M na secção do encastramento e na secção a 1 m do encastramento.

Ver dica

Escolha sempre a parte livre.

Ver solução

No encastramento: V = 8 kN e M = −8 × 3 = −24 kN·m. A 1 m do encastramento a carga fica a 2 m do corte: V = 8 kN e M = −8 × 2 = −16 kN·m.

3Exercício 3

Uma barra ABC está fixa em A. Em B atua 25 kN para a direita e em C (extremidade livre) 10 kN para a esquerda. Determine N em AB e em BC.

Ver solução

Troço BC: parte direita só tem 10 kN para a esquerda, logo −N − 10 = 0 e N = −10 kN (compressão). Troço AB: −N + 25 − 10 = 0, logo N = +15 kN (tração). A reação em A é 15 kN.

4Exercício 4

Uma viga apoiada de 6 m tem carga uniforme de 4 kN/m. Calcule V e M na secção a 2 m do apoio esquerdo.

Ver solução

Carga total 4 × 6 = 24 kN, logo RA = 12 kN. Parte esquerda: carga 4 × 2 = 8 kN a 1 m do corte. V = 12 − 8 = 4 kN; M = 12 × 2 − 8 × 1 = 16 kN·m.

5Exercício 5

Uma viga apoiada de 8 m tem uma carga pontual de 16 kN a 2 m do apoio A. Calcule V e M na secção a 5 m de A e confirme com a parte direita.

Ver dica

Calcule RB por momentos em A; a secção está depois da carga.

Ver solução

RB = 16 × 2 ÷ 8 = 4 kN e RA = 12 kN. Parte esquerda (5 m) inclui a carga de 16 kN a 3 m do corte: V = 12 − 16 = −4 kN; M = 12 × 5 − 16 × 3 = 60 − 48 = 12 kN·m. Pela parte direita (3 m): M = RB × 3 = 12 kN·m e |V| = 4 kN. Coincide.

Perguntas frequentes

Quando se usa o método das secções?

Sempre que precisar do valor de N, V ou M numa posição concreta, por exemplo para verificar a resistência da secção mais carregada. Se precisar do andamento ao longo de toda a peça, use o método para vários cortes e desenhe os diagramas.

Existe um método mais rápido?

Em vigas com muitos troços, as relações entre carga, esforço transverso e momento (dV/dx = −w e dM/dx = V) permitem traçar os diagramas sem cortar em todo o lado. O método das secções continua a ser a base e serve para confirmar.

Porque é que se pode escolher qualquer das duas partes?

Porque o corpo inteiro está em equilíbrio, por isso as duas partes exercem forças iguais e opostas uma na outra na face de corte. O resultado é o mesmo; escolha a parte com menos cargas.

Que sinal devo dar a V e M?

Siga a convenção do seu manual e do seu professor e mantenha-a. O importante é a consistência: um M negativo numa consola, por exemplo, indica que as fibras superiores estão tracionadas.

Resumo

  • Cortar, isolar uma parte, desenhar o corpo livre com N, V e M na face cortada e aplicar o equilíbrio.
  • Momentos tomam-se no centro da secção para eliminar N e V da equação.
  • Escolha a parte do corpo com menos cargas; numa consola, a parte livre dispensa as reações.
  • Cargas distribuídas entram como resultante do troço que ficou, aplicada no seu centro.
  • Um valor negativo significa sentido contrário ao desenhado.
  • Confirme sempre com a outra parte do corpo.

Onde aprofundar

  • O programa e o manual da disciplina na sua instituição, e, no ensino geral, o programa oficial do INIDE / Ministério da Educação de Angola (confirme a edição em vigor).
  • R. C. Hibbeler, Resistência dos Materiais, capítulo sobre cargas internas resultantes.
  • F. P. Beer e E. R. Johnston, Mecânica dos Materiais, capítulos sobre esforços em vigas.

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