Sistemas de Controlo · 2.º ano (indicativo)
Como calcular a função de transferência em malha fechada?
Resposta curta
A função de transferência em malha fechada com realimentação negativa é T(s) = G(s) / (1 + G(s)·H(s)), onde G é o ganho do caminho direto e H o da realimentação. Para realimentação unitária (H = 1) fica T = G/(1 + G). Substitua G e H, multiplique numeradores e denominadores e simplifique.
Quando se aplica
Aplica-se a sistemas lineares e invariantes no tempo, escritos como funções de transferência (transformada de Laplace com condições iniciais nulas), quando a saída é medida e devolvida à entrada. O resultado T(s) = C(s)/R(s) dá a relação entre saída e referência e é o ponto de partida para estudar estabilidade, resposta transitória e erro.
Fórmula e significado de cada termo
Realimentação negativa
T(s) = C(s)/R(s) = G(s) / (1 + G(s)·H(s)) Realimentação positiva: T(s) = G(s) / (1 − G(s)·H(s))
- R(s): referência (entrada).
- C(s): saída controlada.
- G(s): função de transferência do caminho direto (controlador, atuador e processo em série).
- H(s): função de transferência do caminho de realimentação (sensor).
- G(s)·H(s): função de transferência de malha aberta.
- 1 + G(s)·H(s): o seu zero dá a equação característica; as raízes são os polos da malha fechada.
Porque é que a fórmula é assim
O erro é E = R − H·C e a saída é C = G·E. Substituindo: C = G(R − H·C), logo C(1 + G·H) = G·R, e daqui sai C/R = G/(1 + G·H).
Método passo a passo
- Identifique o caminho direto e multiplique as funções que estão em série para obter G(s).
- Identifique H(s) no caminho de realimentação (se não houver sensor com dinâmica, H = 1).
- Confirme o sinal da realimentação: negativa (sinal «−» no comparador) ou positiva.
- Escreva G e H como frações de polinómios: G = N_G/D_G e H = N_H/D_H.
- Substitua na fórmula e multiplique cima e baixo pelo denominador comum: T = N_G·D_H / (D_G·D_H + N_G·N_H) para realimentação negativa.
- Simplifique e escreva o denominador em potências decrescentes de s.
- Verifique com o ganho estático: T(0) = G(0)/(1 + G(0)·H(0)).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Realimentação unitária
Enunciado: G(s) = 10/(s + 2) e H(s) = 1. Calcule T(s).
Resolução:
- T = G/(1 + G) = [10/(s + 2)] / [1 + 10/(s + 2)].
- Multiplique cima e baixo por (s + 2): T = 10 / [(s + 2) + 10].
- T = 10/(s + 12).
Resposta: T(s) = 10/(s + 12). Verificação: T(0) = 10/12 ≈ 0,833, e G(0)/(1 + G(0)) = 5/(1 + 5) = 5/6 ≈ 0,833.
Exemplo 2 — Sistema de segunda ordem com ganho K
Enunciado: G(s) = K/[s(s + 2)] e H(s) = 1. Obtenha T(s) e substitua K = 5.
Resolução:
- T = G/(1 + G) = [K/(s² + 2s)] / [1 + K/(s² + 2s)].
- Multiplique cima e baixo por (s² + 2s): T = K / (s² + 2s + K).
- Com K = 5: T = 5/(s² + 2s + 5).
Resposta: T(s) = K/(s² + 2s + K), e 5/(s² + 2s + 5) para K = 5. Verificação: T(0) = K/K = 1, o que faz sentido porque o integrador em G dá erro estacionário nulo a degrau.
Exemplo 3 — Realimentação com ganho H diferente de 1
Enunciado: G(s) = 4/(s + 1) e H(s) = 2. Calcule T(s).
Resolução:
- G·H = 8/(s + 1).
- T = G/(1 + GH) = [4/(s + 1)] / [1 + 8/(s + 1)].
- Multiplique cima e baixo por (s + 1): T = 4/[(s + 1) + 8] = 4/(s + 9).
Resposta: T(s) = 4/(s + 9). Verificação: T(0) = 4/9; com a fórmula G(0)/(1 + G(0)H(0)) = 4/(1 + 8) = 4/9.
Exemplo 4 — Nível de exame: dois blocos em série
Enunciado: Um controlador G₁(s) = 2/(s + 1) e um processo G₂(s) = 3/(s + 4) estão em série, com realimentação unitária negativa. Calcule T(s), o ganho estático e a equação característica.
Resolução:
- G = G₁·G₂ = 6/[(s + 1)(s + 4)] = 6/(s² + 5s + 4).
- T = G/(1 + G) = 6 / (s² + 5s + 4 + 6) = 6/(s² + 5s + 10).
- Ganho estático: T(0) = 6/10 = 0,6.
- Equação característica: s² + 5s + 10 = 0.
Resposta: T(s) = 6/(s² + 5s + 10), T(0) = 0,6. Verificação: G(0) = 6/4 = 1,5 e 1,5/(1 + 1,5) = 0,6.
Erros frequentes
- Usar G/(1 − GH) com realimentação negativa. O sinal «+» no denominador corresponde à realimentação negativa; o «−» é para a positiva.
- Esquecer o H quando o sensor tem ganho diferente de 1: o denominador passa a 1 + G·H e não 1 + G.
- Somar frações sem denominador comum. Multiplique cima e baixo da fração complexa pelo denominador de G antes de simplificar.
- Errar a expansão de (s + 1)(s + 4): são s² + 5s + 4, não s² + 4.
- Confundir malha aberta com malha fechada: G·H é a malha aberta; T é a malha fechada.
- Não verificar com T(0). O ganho estático calculado de duas formas apanha a maioria dos enganos de álgebra.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule T(s) para G(s) = 1/s e H(s) = 1.
Ver solução
T = (1/s)/(1 + 1/s) = 1/(s + 1). T(s) = 1/(s + 1).
2Exercício 2
Calcule T(s) para G(s) = 2/(s + 3) e H(s) = 5.
Ver solução
GH = 10/(s + 3). T = [2/(s + 3)] / [1 + 10/(s + 3)] = 2/(s + 3 + 10) = 2/(s + 13).
3Exercício 3
Realimentação positiva, G(s) = 1/(s + 3) e H(s) = 1. Calcule T(s) e diga o que muda face à realimentação negativa.
Ver dica
Use T = G/(1 − GH).
Ver solução
T = [1/(s + 3)] / [1 − 1/(s + 3)] = 1/(s + 3 − 1) = 1/(s + 2). Com realimentação negativa seria 1/(s + 4). Na positiva o polo aproxima-se da origem (−2 em vez de −4): o sistema é mais lento e pode tornar-se instável para ganhos maiores.
4Exercício 4
G(s) = K/[s(s + 4)] e H(s) = 1. Determine K para que a equação característica seja s² + 4s + 16 = 0 e calcule o coeficiente de amortecimento.
Ver solução
T = K/(s² + 4s + K). Igualando a s² + 4s + 16: K = 16. Comparando com s² + 2ζωₙs + ωₙ²: ωₙ² = 16 → ωₙ = 4 rad/s; 2ζωₙ = 4 → ζ = 4/8 = 0,5.
5Exercício 5
Um motor com G(s) = 20/(s + 5) tem um tacómetro com H(s) = 0,1. Calcule T(s), o seu ganho estático e o polo de malha fechada.
Ver solução
GH = 2/(s + 5). T = [20/(s + 5)] / [1 + 2/(s + 5)] = 20/(s + 5 + 2) = 20/(s + 7). Ganho estático T(0) = 20/7 ≈ 2,86. Polo em s = −7. Verificação: G(0) = 4 e 4/(1 + 4·0,1) = 4/1,4 ≈ 2,86.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da função de transferência em malha fechada?
Para realimentação negativa é T(s) = G(s)/(1 + G(s)H(s)). Para realimentação positiva é T(s) = G(s)/(1 − G(s)H(s)). Em ambas, G é o caminho direto e H o caminho de realimentação.
Como verificar se o resultado está correto?
Calcule o ganho estático por dois caminhos: T(0) a partir da expressão final e G(0)/(1 + G(0)H(0)) a partir dos dados. Se coincidirem, a álgebra está provavelmente certa. Verifique também que o grau do denominador é o esperado.
O que acontece se houver vários blocos em série ou em paralelo?
Reduza primeiro: blocos em série multiplicam-se; blocos em paralelo somam-se. Só depois aplique a fórmula da malha fechada ao bloco equivalente.
Que erros se cometem ao calcular a função de transferência em malha fechada?
Trocar o sinal do denominador, esquecer H e errar a expansão de produtos de polinómios. Consulte a lista de erros acima e confirme sempre com T(0).
Resumo
- Com realimentação negativa: T = G/(1 + GH); com positiva: T = G/(1 − GH).
- G é o caminho direto (em série), H a realimentação, GH a malha aberta.
- O denominador de T, igualado a zero, é a equação característica; as suas raízes são os polos.
- Para H = 1, T = G/(1 + G), e o denominador é D_G + N_G.
- Confirme com o ganho estático T(0).
Onde aprofundar
- O programa oficial da disciplina e os manuais adotados pela sua instituição (confirme a edição em vigor).
- Ogata, Engenharia de Controle Moderno, capítulos sobre modelação matemática e diagramas de blocos.
- Nise, Engenharia de Sistemas de Controle, capítulo sobre modelação no domínio da frequência.
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