Matemática · 7.ª–12.ª classe

Que fórmulas de Matemática se devem decorar para o exame?

  • 10 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Decore o núcleo curto que usa em quase todos os exercícios: produtos notáveis, propriedades das potências, fórmula resolvente, Pitágoras, áreas e volumes básicos, sen2θ + cos2θ = 1 e as fórmulas das progressões. Das restantes, compreenda a ideia e saiba deduzi-las. Confirme na escola se a prova traz formulário ou se é preciso saber tudo de memória.

Primeiro: a prova fornece formulário?

Em algumas provas é dado um formulário, noutras não. Isso depende da prova e das regras da sua escola ou das entidades oficiais, por isso confirme com o professor e não presuma. Mesmo quando há formulário, ter a fórmula à frente não basta: é preciso saber qual escolher e como a aplicar, e perde-se tempo a procurar o que devia estar na cabeça.

Três categorias: decorar, deduzir, compreender

  • Decorar: fórmulas curtas, que usa de forma constante e que servem de base a outras (por exemplo, os produtos notáveis e a resolvente).
  • Saber deduzir: fórmulas que se obtêm de outras em poucos segundos (por exemplo, a abcissa do vértice de uma parábola ou a soma de uma progressão aritmética). Se se esquecer, reconstrói.
  • Compreender sem decorar: resultados longos ou raros, que só aparecem em alguns exercícios. Perceba para que servem e onde os encontrar.

Núcleo sugerido por tema

O quadro seguinte é um ponto de partida. Ajuste-o ao programa da sua classe: nem todos os temas são lecionados em todas as classes, por isso confirme no manual e no programa em vigor.

TemaFórmulas do núcleo
Produtos notáveis(a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a − b)2 = a2 − 2ab + b2; (a + b)(a − b) = a2 − b2
Potênciasam × an = a(m+n); am ÷ an = a(m−n); (am)n = a(mn); a0 = 1 (a diferente de 0); a−n = 1 ÷ an
Equação do 2.º grauΔ = b2 − 4ac; x = (−b ± √Δ) ÷ (2a); soma das raízes = −b ÷ a; produto das raízes = c ÷ a
Funçõesdeclive m = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1); reta y = mx + b; abcissa do vértice = −b ÷ (2a)
ProgressõesPA: an = a1 + (n − 1)r e Sn = n(a1 + an) ÷ 2; PG: an = a1q(n−1) e Sn = a1(1 − qn) ÷ (1 − q), com q diferente de 1
Geometria planaPitágoras: a2 + b2 = c2; triângulo: b × h ÷ 2; trapézio: (B + b) × h ÷ 2; círculo: perímetro 2πr e área πr2
Sólidoscilindro: πr2h; cone: (1 ÷ 3)πr2h; esfera: (4 ÷ 3)πr3
Trigonometriasen2θ + cos2θ = 1; tg θ = sen θ ÷ cos θ; sen = oposto ÷ hipotenusa; cos = adjacente ÷ hipotenusa; tg = oposto ÷ adjacente
Estatística e probabilidadesmédia = soma ÷ n; P(A) = casos favoráveis ÷ casos possíveis; n! = n × (n − 1) × ... × 1
Logaritmos (se o programa incluir)log(ab) = log a + log b; log(a ÷ b) = log a − log b; log(an) = n log a
Derivadas (se o programa incluir)(xn)′ = n x(n−1); (u + v)′ = u′ + v′; (uv)′ = u′v + uv′

Os valores notáveis também compensam. Em 30°, 45° e 60°: sen = 1/2, √2/2 e √3/2; cos = √3/2, √2/2 e 1/2; tg = √3/3, 1 e √3.

Como decorar de forma útil

  1. Escreva a fórmula e, ao lado, quando se usa e um exemplo numérico pequeno. Uma fórmula sem exemplo esquece-se.
  2. Teste-se com um cartão: num lado o nome («soma dos termos de uma PA»), no outro a fórmula. Tape, responda, confirme.
  3. Revise com intervalos: no dia seguinte, ao fim de alguns dias e de uma semana.
  4. Use-a em exercícios. A repetição em problemas reais fixa mais do que reler a lista.
  5. Teste com casos simples quando tiver dúvida (veja o Exemplo 3).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — A resolvente em ação

Enunciado: Resolva 2x2 − 3x − 2 = 0.

Resolução:

  1. a = 2, b = −3, c = −2.
  2. Δ = b2 − 4ac = (−3)2 − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25.
  3. x = (−b ± √Δ) ÷ (2a) = (3 ± 5) ÷ 4.
  4. x1 = (3 + 5) ÷ 4 = 2 e x2 = (3 − 5) ÷ 4 = −1/2.

Resposta: x = 2 ou x = −1/2. Verificação: a soma é 2 − 1/2 = 3/2 = −b ÷ a e o produto é 2 × (−1/2) = −1 = c ÷ a.

Exemplo 2 — Deduzir em vez de decorar: soma de uma PA

Enunciado: (a) Calcule 1 + 2 + 3 + ... + 10 sem fórmula. (b) Calcule a soma dos 20 primeiros termos da progressão 3, 7, 11, ...

Resolução:

  1. (a) Agrupe os termos extremos: 1 + 10 = 11, 2 + 9 = 11, 3 + 8 = 11, 4 + 7 = 11, 5 + 6 = 11. São 5 pares de 11: 5 × 11 = 55. Isto é a ideia da fórmula Sn = n(a1 + an) ÷ 2 = 10 × 11 ÷ 2 = 55.
  2. (b) A razão é r = 4. O 20.º termo é a20 = 3 + (20 − 1) × 4 = 3 + 76 = 79.
  3. S20 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 10 × 82 = 820.

Resposta: (a) 55; (b) 820. Verificação: a média entre o primeiro e o último termo é (3 + 79) ÷ 2 = 41, e 41 × 20 = 820.

Exemplo 3 — Testar uma fórmula de que duvida

Enunciado: Não tem a certeza se (a + b)2 é a2 + b2 ou a2 + 2ab + b2. Como decidir? E sen 2θ = 2 sen θ ou 2 sen θ cos θ?

Resolução:

  1. Escolha números simples: a = 1 e b = 1. Então (1 + 1)2 = 4.
  2. A primeira versão dá 1 + 1 = 2, que não coincide com 4. A segunda dá 1 + 2 + 1 = 4, que coincide.
  3. Para o seno do ângulo duplo, escolha θ = 30°: sen 60° = √3/2 ≈ 0,87.
  4. A versão 2 sen θ dá 2 × 1/2 = 1, que não coincide. A versão 2 sen θ cos θ dá 2 × (1/2) × (√3/2) = √3/2, que coincide.

Resposta: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e sen 2θ = 2 sen θ cos θ. Verificação: os dois casos de teste confirmam as versões escolhidas.

Exemplo 4 — Nível de exame: vértice sem fórmula decorada

Enunciado: Determine as coordenadas do vértice da parábola f(x) = x2 − 6x + 5.

Resolução:

  1. Procure os zeros: dois números de soma 6 (= −b ÷ a) e produto 5 (= c ÷ a). São 1 e 5.
  2. O vértice está a meio dos zeros: x = (1 + 5) ÷ 2 = 3.
  3. Substitua: f(3) = 9 − 18 + 5 = −4.

Resposta: o vértice é o ponto (3, −4). Verificação: a fórmula −b ÷ (2a) dá 6 ÷ 2 = 3, o mesmo valor.

Erros frequentes

  • Decorar sem saber quando usar. A resolvente só serve para equações do 2.º grau; aplicá-la a outro tipo de equação dá resultados sem sentido.
  • Confundir fórmulas parecidas: o perímetro do círculo (2πr) com a área (πr2), ou o volume do cone com o do cilindro (falta o fator 1 ÷ 3).
  • Esquecer as condições: a diferente de 0 na resolvente, q diferente de 1 na soma da PG, logaritmos só de números positivos.
  • Trocar o sinal de b na resolvente: é −b, e o 4ac leva o sinal próprio de a e c.
  • Decorar uma lista enorme e falhar as cinco que mais se usam. Domine primeiro o núcleo.
  • Misturar unidades: a área em cm2 e o volume em cm3; não troque centímetros por metros a meio do cálculo.
  • Decorar uma única vez. Sem revisão com intervalos, a maior parte esquece-se em poucos dias.
  • Copiar para um resumo sem testar. Uma fórmula copiada errada fica errada na prova; teste-a com um caso simples.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Escreva de memória os três produtos notáveis e teste-os com a = 3 e b = 2.

Ver solução

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2: (5)2 = 25 e 9 + 12 + 4 = 25. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2: (1)2 = 1 e 9 − 12 + 4 = 1. (a + b)(a − b) = a2 − b2: 5 × 1 = 5 e 9 − 4 = 5. Os três conferem.

2Exercício 2

Resolva x2 − 5x + 6 = 0 com a fórmula resolvente.

Ver solução

Δ = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1) ÷ 2, logo x = 3 ou x = 2. Verificação: soma 3 + 2 = 5 e produto 3 × 2 = 6.

3Exercício 3

Numa progressão aritmética, a1 = 5 e r = 3. Calcule a10 e S10.

Ver solução

a10 = 5 + 9 × 3 = 32. S10 = 10 × (5 + 32) ÷ 2 = 5 × 37 = 185.

4Exercício 4

Determine o vértice da parábola f(x) = −x2 + 4x + 1.

Ver dica

Calcule primeiro a abcissa: −b ÷ (2a), com a = −1 e b = 4.

Ver solução

x = −4 ÷ (2 × (−1)) = 2. f(2) = −4 + 8 + 1 = 5. O vértice é (2, 5); como a é negativo, a parábola tem a concavidade voltada para baixo e este é um máximo.

5Exercício 5

Um colega afirma que sen 2θ = 2 sen θ. Mostre com θ = 30° que isso é falso e indique a fórmula correta.

Ver solução

sen 60° = √3/2 ≈ 0,87, mas 2 sen 30° = 2 × 1/2 = 1, logo a afirmação é falsa. A fórmula correta é sen 2θ = 2 sen θ cos θ = 2 × (1/2) × (√3/2) = √3/2.

Perguntas frequentes

Posso levar um formulário para o exame?

Depende da prova e das regras em vigor na sua escola. Pergunte ao professor se o formulário é fornecido, se pode levar o seu ou se nada é permitido. Prepare-se para o pior caso: saber de memória o núcleo.

Devo decorar as demonstrações das fórmulas?

Em geral, não. Mas perceber a ideia de uma demonstração ajuda a reconstruir a fórmula quando falha a memória, como no caso da soma de uma progressão aritmética.

Como evito esquecer as fórmulas?

Use-as em exercícios, escreva-as num cartão com um exemplo e reveja-as com intervalos. Teste-se tapando a resposta: se hesitar, volte a essa fórmula no dia seguinte.

Que fórmulas saem mais no exame?

Não há uma lista segura, porque depende do programa e da prova de cada ano. O núcleo desta página é sugerido por aparecer em muitos exercícios, mas confirme os temas em vigor no programa da sua classe.

Resumo

  • Decore o núcleo que usa de forma constante; deduza o resto e compreenda o que for raro.
  • Confirme se a prova fornece formulário.
  • Associe cada fórmula a quando se usa e a um exemplo numérico pequeno.
  • Teste fórmulas duvidosas com casos simples como a = 1 e b = 1 ou θ = 30°.
  • Revise com intervalos e use as fórmulas em exercícios.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e os temas da sua classe.
  • O manual aberto OpenStax Algebra and Trigonometry (em inglês), com resumos de fórmulas no fim dos capítulos.
  • A Khan Academy, com lições gratuitas e exercícios de revisão por tema.

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