Cálculo Diferencial · 1.º ano (indicativo)
Como calcular derivadas pela definição?
Resposta curta
Calcular a derivada pela definição é calcular o limite do quociente incremental: f'(x) = lim [f(x + h) − f(x)]/h quando h → 0. Passos: escreva f(x + h), forme a diferença f(x + h) − f(x), simplifique até poder dividir por h e, no fim, faça h → 0. Num ponto a, usa-se f'(a) = lim [f(a + h) − f(a)]/h.
Quando se aplica
A derivada mede a taxa de variação instantânea de f e é o declive da reta tangente ao gráfico. A definição por limite é a base de todas as regras de derivação. Usa-se diretamente quando o enunciado diz «calcule pela definição» ou «justifique com o limite», quando se quer provar uma regra nova, ou quando a função tem um ponto delicado (valor absoluto, funções definidas por ramos) onde as regras não chegam.
Definição de derivada
f'(a) = lim [f(a + h) − f(a)] / h, quando h → 0 Forma equivalente: f'(a) = lim [f(x) − f(a)] / (x − a), quando x → a
Pré-requisitos
- Calcular limites com indeterminação 0/0 (fatorização, racionalização).
- Expandir potências: (x + h)2 = x2 + 2xh + h2; (x + h)3 = x3 + 3x2h + 3xh2 + h3.
- Operar com frações algébricas.
Método passo a passo
- Escreva a definição com a função concreta.
- Calcule f(x + h), substituindo x por x + h em toda a expressão.
- Forme a diferença f(x + h) − f(x) e simplifique: os termos sem h devem desaparecer.
- Coloque h em evidência e divida por h. O quociente já não pode dar 0/0.
- Faça h → 0 e obtenha f'(x) (ou f'(a), se for num ponto).
- Se for um ponto, escreva também a reta tangente: y − f(a) = f'(a)(x − a).
- Verifique com uma regra de derivação conhecida.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Derivada num ponto e reta tangente
Enunciado: Calcule, pela definição, a derivada de f(x) = x2 no ponto a = 3 e escreva a reta tangente.
Resolução:
- f(3 + h) = (3 + h)2 = 9 + 6h + h2, e f(3) = 9.
- Diferença: f(3 + h) − f(3) = 6h + h2.
- Quociente: (6h + h2)/h = 6 + h.
- Limite quando h → 0: 6.
- Reta tangente: y − 9 = 6(x − 3), ou seja, y = 6x − 9.
Resposta: f'(3) = 6 e a tangente é y = 6x − 9. Verificação: pela regra, (x2)' = 2x, que em x = 3 dá 6.
Exemplo 2 — Função polinomial em qualquer ponto
Enunciado: Calcule, pela definição, a derivada de f(x) = 3x2 − 2x.
Resolução:
- f(x + h) = 3(x + h)2 − 2(x + h) = 3x2 + 6xh + 3h2 − 2x − 2h.
- f(x + h) − f(x) = 6xh + 3h2 − 2h.
- Divida por h: 6x + 3h − 2.
- Faça h → 0: 6x − 2.
Resposta: f'(x) = 6x − 2. Verificação: (3x2)' = 6x e (2x)' = 2.
Exemplo 3 — Função racional
Enunciado: Calcule, pela definição, a derivada de f(x) = 1/x, com x ≠ 0.
Resolução:
- f(x + h) − f(x) = 1/(x + h) − 1/x.
- Reduza ao mesmo denominador: [x − (x + h)]/[x(x + h)] = −h/[x(x + h)].
- Divida por h: −1/[x(x + h)].
- Faça h → 0: −1/x2.
Resposta: f'(x) = −1/x2. Verificação: em x = 2, o declive é −1/4; a função desce, o que é coerente com 1/x decrescente.
Exemplo 4 — Raiz quadrada (nível de exame)
Enunciado: Calcule, pela definição, a derivada de f(x) = √x, com x > 0.
Resolução:
- O quociente é (√(x + h) − √x)/h, que dá 0/0 quando h → 0.
- Multiplique pelo conjugado √(x + h) + √x: o numerador fica (x + h) − x = h.
- Fica h / [h(√(x + h) + √x)] = 1/(√(x + h) + √x).
- Faça h → 0: 1/(2√x).
Resposta: f'(x) = 1/(2√x), para x > 0. Verificação: em x = 4, f'(4) = 1/4; a regra (x1/2)' = (1/2)x−1/2 dá o mesmo.
Erros frequentes
- Escrever f(x + h) = f(x) + h. Substitua x por x + h em toda a expressão: (x + h)2 não é x2 + h2.
- Substituir h = 0 cedo demais, obtendo 0/0. Primeiro simplifique, depois faça h → 0.
- Esquecer os termos em h2 ou h3 na expansão da potência; desaparecem só depois de dividir por h.
- Errar nos sinais ao subtrair f(x), sobretudo em frações. Use parênteses.
- Escrever o limite sem o símbolo lim nos passos intermédios, o que tira clareza à resolução.
- Dizer que a função é derivável sem verificar os limites laterais, em pontos como |x| em 0.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule, pela definição, a derivada de f(x) = 5x + 2.
Ver solução
f(x + h) − f(x) = 5h; dividindo por h dá 5. Logo f'(x) = 5.
2Exercício 2
Calcule, pela definição, f'(2) para f(x) = 2x2 − x + 3.
Ver dica
Calcule f(2 + h) e f(2) separadamente.
Ver solução
f(2) = 8 − 2 + 3 = 9. f(2 + h) = 2(4 + 4h + h2) − 2 − h + 3 = 9 + 7h + 2h2. A diferença é 7h + 2h2; dividindo por h dá 7 + 2h → 7. Logo f'(2) = 7 (confirmação: 4x − 1 em x = 2 dá 7).
3Exercício 3
Calcule, pela definição, a derivada de f(x) = x3.
Ver solução
(x + h)3 − x3 = 3x2h + 3xh2 + h3. Dividindo por h: 3x2 + 3xh + h2 → 3x2. Logo f'(x) = 3x2.
4Exercício 4
Calcule, pela definição, a derivada de f(x) = 1/(x + 1), com x ≠ −1.
Ver solução
1/(x + h + 1) − 1/(x + 1) = [(x + 1) − (x + h + 1)]/[(x + h + 1)(x + 1)] = −h/[(x + h + 1)(x + 1)]. Dividindo por h e fazendo h → 0: f'(x) = −1/(x + 1)2.
5Exercício 5
Mostre, pela definição, que f(x) = |x| não é derivável em x = 0.
Ver dica
Calcule os limites laterais de f(h)/h quando h → 0.
Ver solução
f'(0) seria lim (|h| − 0)/h. Para h > 0, |h|/h = 1; para h < 0, |h|/h = −1. Os limites laterais são 1 e −1, diferentes, logo o limite não existe e f não é derivável em 0.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Quando o enunciado pede expressamente a definição, quando se demonstra uma regra de derivação e em pontos onde a função muda de expressão ou tem um módulo.
Existe um método mais rápido?
Sim, as regras de derivação (potência, soma, produto, quociente, cadeia). Dão o mesmo resultado em segundos, mas só valem depois de a definição as ter justificado.
Porque é que não se pode substituir logo h = 0?
Porque o quociente [f(x + h) − f(x)]/h dá 0/0, uma indeterminação. Só depois de simplificar o fator h se pode fazer h → 0.
Que erros são mais comuns?
Expandir mal (x + h)2, perder sinais ao subtrair f(x) e fazer h = 0 antes de simplificar. Veja «Erros frequentes».
Resumo
- f'(x) = lim [f(x + h) − f(x)]/h quando h → 0.
- A derivada é o declive da tangente e a taxa de variação instantânea.
- O método: expandir, subtrair, simplificar o h e só então fazer o limite.
- Em raízes, usa-se o conjugado; em frações, o mesmo denominador.
- Se os limites laterais forem diferentes, a função não é derivável nesse ponto.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática/Análise da sua classe ou curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- James Stewart, Cálculo (capítulo da derivada e definição).
- OpenStax, Calculus (volume 1), capítulo «Derivatives».
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