Cálculo Diferencial · 1.º ano (indicativo)
Como calcular derivadas usando as regras?
Resposta curta
Para derivar usando as regras, identifique a estrutura da função (soma, produto, quociente ou composição) e aplique a regra correspondente: potência (xn)' = n x(n−1), soma e múltiplo constante, produto (uv)' = u'v + uv', quociente (u/v)' = (u'v − uv')/v2 e cadeia [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x).
Quando se aplica
Depois de se ter visto a definição de derivada como limite, as regras permitem derivar quase qualquer função em poucas linhas. Usam-se em exercícios de monotonia e extremos, retas tangentes, otimização, estudo completo de funções e taxas de variação.
Regras de derivação
(c)' = 0 · (xn)' = n x(n−1) · (c·f)' = c·f' · (f + g)' = f' + g' (f·g)' = f'g + fg' · (f/g)' = (f'g − fg') / g2 · [f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x) (sin x)' = cos x · (cos x)' = −sin x · (ex)' = ex · (ln x)' = 1/x
Método passo a passo
- Reescreva a função se necessário: raízes como potências (√x = x(1/2)), frações com x no denominador como potências negativas (1/x2 = x−2).
- Identifique a operação exterior: soma, produto, quociente ou composição.
- Aplique a regra correspondente, derivando cada parte com a tabela.
- Na regra da cadeia, derive a função exterior (mantendo o interior) e multiplique pela derivada do interior.
- Simplifique a expressão final, colocando fatores comuns em evidência.
- Verifique: substitua um valor simples de x, ou confirme o resultado por outro caminho (por exemplo, expandir um produto antes de derivar).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Soma e potências
Enunciado: Derive f(x) = 4x3 − 5x2 + 7x − 2.
Resolução:
- (4x3)' = 12x2.
- (−5x2)' = −10x.
- (7x)' = 7 e (−2)' = 0.
Resposta: f'(x) = 12x2 − 10x + 7. Verificação: em x = 1, f'(1) = 12 − 10 + 7 = 9.
Exemplo 2 — Regra do produto
Enunciado: Derive f(x) = (x2 + 1)(x3 − x).
Resolução:
- u = x2 + 1, u' = 2x; v = x3 − x, v' = 3x2 − 1.
- f' = u'v + uv' = 2x(x3 − x) + (x2 + 1)(3x2 − 1).
- Primeiro termo: 2x4 − 2x2. Segundo: 3x4 − x2 + 3x2 − 1 = 3x4 + 2x2 − 1.
- Soma: 5x4 − 1.
Resposta: f'(x) = 5x4 − 1. Verificação: expandindo, f(x) = x5 − x, cuja derivada é 5x4 − 1.
Exemplo 3 — Regra do quociente
Enunciado: Derive f(x) = (x + 1)/(x − 1), com x ≠ 1.
Resolução:
- u = x + 1, u' = 1; v = x − 1, v' = 1.
- f' = (u'v − uv')/v2 = [(x − 1) − (x + 1)]/(x − 1)2.
- O numerador é x − 1 − x − 1 = −2.
Resposta: f'(x) = −2/(x − 1)2. Verificação: em x = 3, f'(3) = −2/4 = −0,5; com f(3) = 2 e f(3,1) = 4,1/2,1 ≈ 1,952, a variação é ≈ −0,048 por 0,1, ou seja, ≈ −0,48 por unidade, perto de −0,5.
Exemplo 4 — Regra da cadeia
Enunciado: Derive f(x) = (3x2 + 1)5.
Resolução:
- Função exterior: u5, com derivada 5u4. Interior: u = 3x2 + 1, com derivada 6x.
- f'(x) = 5(3x2 + 1)4 · 6x.
Resposta: f'(x) = 30x(3x2 + 1)4. Verificação: em x = 0, f'(0) = 0, e f tem aí um mínimo, o que é coerente.
Exemplo 5 — Cadeia com raiz (nível de exame)
Enunciado: Derive f(x) = √(x2 + 4) e calcule f'(3).
Resolução:
- f(x) = (x2 + 4)(1/2).
- f'(x) = (1/2)(x2 + 4)(−1/2) · 2x = x / √(x2 + 4).
- Em x = 3: 3/√13.
Resposta: f'(x) = x/√(x2 + 4) e f'(3) = 3/√13 ≈ 0,83.
Erros frequentes
- Derivar um produto como produto das derivadas. (uv)' não é u'v'; use u'v + uv'.
- Trocar a ordem no quociente. O numerador é u'v − uv'; trocar dá o sinal contrário.
- Esquecer a derivada do interior na regra da cadeia: a derivada de (3x2 + 1)5 não é 5(3x2 + 1)4.
- Derivar a constante como se fosse x. (c)' = 0, mas (cx)' = c.
- Aplicar (xn)' = nx(n−1) à exponencial. (ex)' = ex; a variável no expoente muda a regra.
- Errar a potência ao descer: (x−2)' = −2x−3, e não −2x−1.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Derive f(x) = 2x5 − 3x + 8.
Ver solução
f'(x) = 10x4 − 3.
2Exercício 2
Derive f(x) = x2·ex.
Ver dica
Produto de u = x2 e v = ex.
Ver solução
f' = 2x·ex + x2·ex = x(x + 2)ex.
3Exercício 3
Derive f(x) = x/(x2 + 1).
Ver solução
f' = [1·(x2 + 1) − x·2x]/(x2 + 1)2 = (1 − x2)/(x2 + 1)2.
4Exercício 4
Derive f(x) = sin(3x2).
Ver solução
Exterior: sin u, derivada cos u. Interior: 3x2, derivada 6x. Logo f'(x) = 6x·cos(3x2).
5Exercício 5
Derive f(x) = ln(x2 + 1) e calcule f'(1).
Ver solução
f'(x) = (2x)/(x2 + 1). Em x = 1: 2/2 = 1.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Sempre que o enunciado pede uma derivada sem exigir a definição: em retas tangentes, estudo de monotonia, extremos e otimização.
Existe um método mais rápido?
Nas funções simples, expandir antes de derivar (como no produto do exemplo 2) pode ser mais rápido. Em produtos e quocientes mais longos, as regras são mais seguras.
Como sei quando usar a regra da cadeia?
Quando a função é uma composição, ou seja, quando dentro de uma função conhecida (potência, seno, exponencial, logaritmo) existe uma expressão em x que não é só x.
Que erros são mais comuns?
Esquecer a derivada do interior, tratar o produto como produto de derivadas e trocar a ordem no quociente. Veja «Erros frequentes».
Resumo
- Identifique primeiro a estrutura: soma, produto, quociente ou composição.
- (xn)' = nx(n−1) para qualquer expoente real constante n.
- Produto: u'v + uv'; quociente: (u'v − uv')/v2.
- Cadeia: derivada do exterior vezes derivada do interior.
- Verifique, sempre que possível, por outro caminho.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática/Análise da sua classe ou curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- James Stewart, Cálculo (regras de derivação).
- OpenStax, Calculus (volume 1), secções sobre regras de derivação e regra da cadeia.
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