Cálculo Diferencial · 1.º ano (indicativo)
Como provar um limite pela definição ε-δ?
Resposta curta
Para provar que o limite de f(x) quando x → a é L, dê-se um ε > 0 qualquer e encontre-se um δ > 0 (que depende de ε) tal que, se 0 < |x − a| < δ, então |f(x) − L| < ε. Faz-se primeiro um rascunho, a partir de |f(x) − L|, para descobrir δ, e depois escreve-se a prova em ordem direta.
Quando se aplica
A definição ε-δ é a definição rigorosa de limite. Escreve-se assim:
Definição ε-δ
lim f(x) = L (x → a) significa: para todo o ε > 0 existe δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ implica |f(x) − L| < ε
Em termos simples: pode tornar f(x) tão próximo de L quanto quiser (a distância ε) desde que escolha x suficientemente perto de a (a distância δ), sem contar com x = a. Usa-se esta definição quando o enunciado diz «prove, pela definição» ou «justifique com ε e δ». Para calcular limites no dia a dia usam-se regras e limites notáveis, que são mais rápidos.
Pré-requisitos
- Valor absoluto e a desigualdade triangular: |a + b| ≤ |a| + |b|.
- Resolver desigualdades com módulo: |x − a| < δ equivale a a − δ < x < a + δ.
- Fatorizar polinómios (diferença de quadrados, etc.).
Método passo a passo
- Escreva o que quer provar: dado ε > 0, quer um δ > 0 com 0 < |x − a| < δ ⟹ |f(x) − L| < ε.
- Rascunho (análise): parta de |f(x) − L| e transforme-o até aparecer o fator |x − a|. Em geral obtém-se |f(x) − L| = |x − a| × |g(x)|.
- Se g(x) for constante (função afim), δ = ε / constante.
- Se g(x) depender de x, limite-o: imponha primeiro δ ≤ 1 (ou outro valor conveniente), deduza um majorante M para |g(x)| nessa vizinhança e escolha δ = mín{1, ε/M}.
- Prova (síntese): escreva «Seja ε > 0. Tome-se δ = …». Depois: se 0 < |x − a| < δ, então |f(x) − L| = … < ε.
- Conclua que o limite é L.
A parte 2 a 4 é rascunho e não precisa de ir para a folha final; o que se entrega é a parte 5.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Função afim
Enunciado: Prove, pela definição, que o limite de 3x − 1 quando x → 2 é 5.
Resolução:
- Rascunho: |(3x − 1) − 5| = |3x − 6| = 3|x − 2|.
- Queremos 3|x − 2| < ε, ou seja, |x − 2| < ε/3. Escolhe-se δ = ε/3.
- Prova: seja ε > 0 e δ = ε/3. Se 0 < |x − 2| < δ, então |(3x − 1) − 5| = 3|x − 2| < 3δ = ε.
Resposta: o limite é 5. Verificação: com ε = 0,3, δ = 0,1; se x = 2,09, então 3x − 1 = 5,27, e |5,27 − 5| = 0,27 < 0,3.
Exemplo 2 — Declive negativo
Enunciado: Prove que o limite de 4 − 5x quando x → −3 é 19.
Resolução:
- Rascunho: |(4 − 5x) − 19| = |−5x − 15| = 5|x + 3| = 5|x − (−3)|.
- Exige-se 5|x + 3| < ε, ou seja, |x + 3| < ε/5. Escolhe-se δ = ε/5.
- Prova: dado ε > 0, com δ = ε/5, se 0 < |x + 3| < δ, então |(4 − 5x) − 19| = 5|x + 3| < 5δ = ε.
Resposta: o limite é 19. Verificação: substituindo diretamente, 4 − 5 × (−3) = 4 + 15 = 19.
Exemplo 3 — Nível de exame: x ao quadrado
Enunciado: Prove que o limite de x2 quando x → 3 é 9.
Resolução:
- Rascunho: |x2 − 9| = |x − 3| × |x + 3|. O fator |x + 3| depende de x, por isso é preciso limitá-lo.
- Imponha δ ≤ 1. Então |x − 3| < 1 dá 2 < x < 4, logo 5 < x + 3 < 7 e |x + 3| < 7.
- Assim, |x2 − 9| < 7|x − 3|. Para ficar menor do que ε, basta |x − 3| < ε/7.
- Escolhe-se δ = mín{1, ε/7}.
- Prova: se 0 < |x − 3| < δ, então |x − 3| < 1 e |x + 3| < 7, logo |x2 − 9| = |x − 3||x + 3| < (ε/7) × 7 = ε.
Resposta: o limite é 9. Verificação: com ε = 0,7, δ = 0,1. Para x = 3,09, x2 = 9,5481 e 9,5481 − 9 = 0,5481 < 0,7.
Exemplo 4 — Nível de exame: inverso
Enunciado: Prove que o limite de 1/x quando x → 2 é 1/2.
Resolução:
- Rascunho: |1/x − 1/2| = |2 − x|/(2|x|) = |x − 2| × 1/(2|x|).
- Imponha δ ≤ 1. Então 1 < x < 3, logo |x| > 1 e 1/(2|x|) < 1/2.
- Assim, |1/x − 1/2| < |x − 2|/2. Basta |x − 2| < 2ε.
- Escolhe-se δ = mín{1, 2ε}.
- Prova: se 0 < |x − 2| < δ, então x > 1 e |1/x − 1/2| < |x − 2|/2 < ε.
Resposta: o limite é 1/2. Verificação: com ε = 0,1, δ = 0,2; para x = 2,2, 1/x ≈ 0,4545 e |0,4545 − 0,5| = 0,0455 < 0,1.
Erros frequentes
- Começar pelo fim sem justificar. O rascunho parte de |f(x) − L| e procura δ, mas a prova final tem de ir de δ para ε. Verifique que cada passo da prova é consequência do anterior.
- Escolher δ que depende de x. O δ só pode depender de ε (e de a); nunca de x.
- Esquecer de limitar o fator extra. Em x2 ou 1/x, o fator que sobra depende de x; sem impor δ ≤ 1 não há maneira de o majorar.
- Esquecer o mínimo. Se usou δ ≤ 1 e δ ≤ ε/M, tem de tomar δ = mín{1, ε/M}.
- Trocar a desigualdade. Para majorar uma fração é preciso minorar o denominador. Em 1/(2|x|), saber que |x| > 1 dá 1/(2|x|) < 1/2, e não o contrário.
- Provar só para um ε concreto. A definição exige um δ para todo o ε > 0; escrever «para ε = 0,1 funciona» não prova nada.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Prove, pela definição, que o limite de 5x + 2 quando x → 1 é 7.
Ver dica
Calcule |(5x + 2) − 7| e extraia |x − 1|.
Ver solução
| (5x + 2) − 7 | = | 5x − 5 | = 5 | x − 1 | . Dado ε > 0, tome-se δ = ε/5. Se 0 < | x − 1 | < δ, então | (5x + 2) − 7 | = 5 | x − 1 | < 5δ = ε. Logo o limite é 7. |
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2Exercício 2
Prove que o limite de 1 − 2x quando x → 4 é −7.
Ver solução
| (1 − 2x) − (−7) | = | 8 − 2x | = 2 | x − 4 | . Dado ε > 0, tome-se δ = ε/2. Se 0 < | x − 4 | < δ, então a diferença é 2 | x − 4 | < ε. O limite é −7. |
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3Exercício 3
Prove que o limite de x2 quando x → 2 é 4.
Ver dica
Imponha δ ≤ 1 e limite |x + 2|.
Ver solução
| x2 − 4 | = | x − 2 | x + 2 | . Com δ ≤ 1: 1 < x < 3, logo 3 < x + 2 < 5 e | x + 2 | < 5. Tome-se δ = mín{1, ε/5}. Então | x2 − 4 | < 5 × (ε/5) = ε. O limite é 4. |
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4Exercício 4
Prove que o limite de x2 quando x → −1 é 1.
Ver solução
| x2 − 1 | = | x + 1 | x − 1 | . Com δ ≤ 1: −2 < x < 0, logo −3 < x − 1 < −1 e | x − 1 | < 3. Tome-se δ = mín{1, ε/3}. Então | x2 − 1 | < 3 × (ε/3) = ε. O limite é 1. |
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5Exercício 5
Prove que o limite de √x quando x → 4 é 2.
Ver dica
Multiplique e divida por √x + 2 para obter |x − 4| no numerador.
Ver solução
| √x − 2 | = | x − 4 | /(√x + 2). Como √x + 2 ≥ 2, tem-se | √x − 2 | ≤ | x − 4 | /2. Tome-se δ = mín{4, 2ε} (o 4 garante x > 0, para a raiz existir). Se 0 < | x − 4 | < δ, então | √x − 2 | ≤ | x − 4 | /2 < ε. O limite é 2. |
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Perguntas frequentes
Quando se usa o método ε-δ?
Apenas quando o enunciado pede uma demonstração rigorosa a partir da definição. Em exercícios de cálculo de limites usam-se as propriedades e os limites notáveis, que se baseiam, elas próprias, na definição.
Existe um método mais rápido?
Sim: as regras de limites (soma, produto, quociente) e o teorema do enquadramento. Mas a definição ε-δ é a única que prova essas regras, por isso o seu conhecimento é pedido em muitas cadeiras de Análise.
Como escolho o valor de δ para o caso de x ao quadrado?
Primeiro limite o fator extra com δ ≤ 1, depois divida ε por esse majorante e tome o mínimo. É o padrão geral: δ = mín{1, ε/M}.
O que se faz para mostrar que um limite NÃO é L?
Nega-se a definição: existe um ε > 0 tal que, para todo o δ > 0, há um x com 0 < |x − a| < δ e |f(x) − L| ≥ ε. Confirme no seu manual a forma exigida pelo docente.
Resumo
- A definição ε-δ garante que f(x) fica a menos de ε de L sempre que x está a menos de δ de a (com x ≠ a).
- O trabalho prático é encontrar δ em função de ε a partir de |f(x) − L|.
- Em funções afins, δ = ε/|declive|.
- Em x2 e 1/x, limita-se o fator extra com δ ≤ 1 e toma-se δ = mín{1, ε/M}.
- A prova final escreve-se sempre «dado ε > 0, tome-se δ = …».
Onde aprofundar
- O manual de Cálculo/Análise Matemática da sua cadeira e o programa da instituição (confirme a edição em vigor).
- James Stewart, Cálculo, secção sobre a definição precisa de limite.
- OpenStax Calculus, volume 1 (gratuito, em inglês): secção «The Precise Definition of a Limit».
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