Cálculo Diferencial · 1.º ano (indicativo)

Exercícios resolvidos de limites de funções

  • 7 min de leitura
  • 10 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para resolver limites de funções, substitua primeiro; se obtiver uma indeterminação, fatorize, racionalize, divida pela maior potência ou use limites notáveis. Abaixo estão 10 exercícios resolvidos, do básico ao nível de exame, e 5 propostos com solução.

Resumo da teoria necessária

Antes de resolver, recorde o essencial:

  • Substituição direta: se a função é contínua no ponto, o limite é o valor da função.
  • 0/0 com polinómios: fatorize e cancele. 0/0 com raízes: multiplique pelo conjugado.
  • x → ∞ com quocientes de polinómios: divida pela maior potência.
  • Limites notáveis: lim sin x / x = 1; lim (1 − cos x)/x2 = 1/2; lim (ex − 1)/x = 1 (x → 0); lim (1 + k/x)x = ek (x → ∞).
  • k/0 com k ≠ 0: o limite é infinito ou não existe; estude os limites laterais.

Para a explicação completa de cada técnica, estude primeiro a página sobre como se calculam limites sem calculadora.

Exercícios resolvidos (nível básico)

Exercício 1 — Substituição

Enunciado: Calcule lim (2x2 − 5x + 1) quando x → 3.

Resolução: polinómio, logo substitui-se: 2 × 9 − 15 + 1 = 18 − 15 + 1 = 4.

Resposta: 4.

Exercício 2 — Fatorização simples

Enunciado: Calcule lim (x2 − 1)/(x + 1) quando x → −1.

Resolução:

  1. Substituindo: (1 − 1)/0 = 0/0.
  2. x2 − 1 = (x − 1)(x + 1); cancelando (x + 1) fica x − 1.
  3. Em x = −1: −2.

Resposta: −2.

Exercício 3 — Racional no infinito

Enunciado: Calcule lim (5x − 2)/(x + 7) quando x → +∞.

Resolução: divide-se por x: (5 − 2/x)/(1 + 7/x) → 5/1.

Resposta: 5.

Exercício 4 — Limite notável

Enunciado: Calcule lim sin(4x)/x quando x → 0.

Resolução: sin(4x)/x = 4 × sin(4x)/(4x) → 4 × 1.

Resposta: 4.

Exercícios resolvidos (nível intermédio)

Exercício 5 — Fatorização dupla

Enunciado: Calcule lim (x2 − 4)/(x2 − 3x + 2) quando x → 2.

Resolução:

  1. Em x = 2: 0/0.
  2. x2 − 4 = (x − 2)(x + 2) e x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2).
  3. Cancelando (x − 2): (x + 2)/(x − 1).
  4. Em x = 2: 4/1 = 4.

Resposta: 4. Verificação: com x = 2,01: 4,01/1,01 ≈ 3,97.

Exercício 6 — ∞ − ∞ com raiz

Enunciado: Calcule lim [√(x2 + 1) − x] quando x → +∞.

Resolução:

  1. Dá ∞ − ∞.
  2. Multiplique e divida pelo conjugado √(x2 + 1) + x: o numerador fica (x2 + 1) − x2 = 1.
  3. Fica 1/(√(x2 + 1) + x), cujo denominador tende para +∞.
  4. O limite é 0.

Resposta: 0.

Exercício 7 — Limites laterais

Enunciado: Estude lim 1/(x − 1) quando x → 1.

Resolução:

  1. À direita (x > 1): x − 1 é positivo e pequeno, logo 1/(x − 1) → +∞.
  2. À esquerda (x < 1): x − 1 é negativo e pequeno, logo → −∞.
  3. Os limites laterais são diferentes.

Resposta: o limite não existe (os laterais são +∞ e −∞).

Exercícios resolvidos (nível de exame)

Exercício 8 — Limite notável de cosseno

Enunciado: Calcule lim (1 − cos x)/x2 quando x → 0.

Resolução:

  1. Multiplique em cima e em baixo por (1 + cos x): (1 − cos x)(1 + cos x) = 1 − cos2 x = sin2 x.
  2. Fica sin2 x / [x2(1 + cos x)] = (sin x / x)2 × 1/(1 + cos x).
  3. Quando x → 0: (1)2 × 1/(1 + 1) = 1/2.

Resposta: 1/2.

Exercício 9 — O número e

Enunciado: Calcule lim (1 + 3/x)x quando x → +∞.

Resolução:

  1. Seja t = x/3, então x = 3t e t → ∞.
  2. (1 + 3/x)x = (1 + 1/t)3t = [(1 + 1/t)t]3.
  3. Como (1 + 1/t)t → e, o limite é e3.

Resposta: e3.

Exercício 10 — Combinação de notáveis

Enunciado: Calcule lim (e3x − 1)/sin(2x) quando x → 0.

Resolução:

  1. Escreva (e3x − 1)/sin(2x) = [(e3x − 1)/(3x)] × [2x/sin(2x)] × (3x/(2x)).
  2. Os dois primeiros fatores tendem para 1 (limites notáveis) e o último é 3/2.
  3. O produto tende para 1 × 1 × 3/2.

Resposta: 3/2.

Erros frequentes

  • Cortar parcelas em vez de fatores, como em (x + 3)/(x + 5) = 3/5. Só se cancelam fatores.
  • Esquecer que x ≠ a ao cancelar: o limite não depende do valor no ponto, mas a simplificação só vale para x ≠ a.
  • Aplicar o limite notável sem acertar o argumento: sin(4x)/x não é 1; é preciso fazer aparecer 4x em baixo.
  • Concluir «limite = ∞» quando os laterais têm sinais diferentes (exercício 7).
  • Trocar o limite do cosseno: (1 − cos x)/x tende para 0, enquanto (1 − cos x)/x2 tende para 1/2.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule lim (x2 − 9)/(x − 3) quando x → 3.

Ver solução

(x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3 → 6.

2Exercício 2

Calcule lim (2x + 1)/(x − 5) quando x → +∞.

Ver solução

Dividindo por x: (2 + 1/x)/(1 − 5/x) → 2.

3Exercício 3

Calcule lim (√(x + 1) − 1)/x quando x → 0.

Ver dica

Racionalize com o conjugado √(x + 1) + 1.

Ver solução

O numerador fica (x + 1) − 1 = x; cancelando, fica 1/(√(x + 1) + 1) → 1/2.

4Exercício 4

Calcule lim (1 − cos 2x)/x2 quando x → 0.

Ver dica

Use 1 − cos 2x = 2 sin2 x.

Ver solução

(1 − cos 2x)/x2 = 2 (sin x / x)2 → 2.

5Exercício 5

Calcule lim (x2 + x)/(x3 + 1) quando x → +∞ e lim (1 + 1/x)2x quando x → +∞.

Ver solução

Primeiro: dividindo por x3, (1/x + 1/x2)/(1 + 1/x3) → 0. Segundo: (1 + 1/x)2x = [(1 + 1/x)x]2 → e2.

Perguntas frequentes

Como estudar este tema com exercícios?

Resolva primeiro um exercício de cada tipo (fatorização, raiz, infinito, notável) a seguir à teoria. Depois varie os números e tente sem consultar a resolução; só compare no fim.

Que tipo de exercícios saem nos exames?

Costumam sair um limite com indeterminação 0/0 de fatorização ou racionalização, um limite no infinito e um limite notável. Confirme a estrutura no programa em vigor da sua instituição.

Onde posso rever a teoria?

Nas páginas do MeuGuia sobre limites notáveis, assíntotas e regra de L'Hôpital, e no manual da sua classe ou curso.

Posso verificar a resposta com calculadora?

Sim, como confirmação aproximada: calcule a função em pontos muito próximos do limite. Mas em exame é o raciocínio algébrico que conta.

Resumo

  • Comece sempre por substituir e classificar o resultado.
  • Fatorização e conjugado resolvem a maioria dos 0/0 algébricos.
  • No infinito, divida pela maior potência.
  • Os limites notáveis exigem o argumento certo em cima e em baixo.
  • Limites laterais diferentes significam que o limite não existe.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática/Análise da sua classe ou curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • James Stewart, Cálculo (conjuntos de exercícios do capítulo de limites).
  • OpenStax, Calculus (volume 1), exercícios do capítulo «Limits».

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