Física · 8.ª–12.ª classe

Como calcular o instante de encontro entre dois corpos?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para achar o instante de encontro, escreva a equação da posição de cada corpo no mesmo referencial e iguale-as: xA(t) = xB(t). Resolva a equação em t e substitua numa delas para obter o local do encontro. Os corpos encontram-se quando estão na mesma posição no mesmo instante.

Quando se aplica

Aplica-se a dois corpos que se movem na mesma linha reta, a andar um para o outro, no mesmo sentido ou com partidas em instantes diferentes. Pode ser movimento uniforme (velocidade constante) ou uniformemente variado (aceleração constante). O encontro não significa choque: só diz que as posições coincidem.

Pré-requisitos

  • Equação do movimento uniforme: x = x0 + v·t.
  • Equação do movimento uniformemente variado: x = x0 + v0·t + ½·a·t2.
  • Resolver equações do 1.º e do 2.º grau.
  • Sinais: velocidade positiva no sentido do eixo, negativa no sentido contrário.

Método passo a passo

  1. Desenhe um eixo e escolha a origem e o sentido positivo (por exemplo, a partida do corpo A).
  2. Escreva a posição inicial e a velocidade (com sinal) de cada corpo.
  3. Monte as equações xA(t) e xB(t). Se um corpo parte mais tarde, use (t − t0) como tempo desse corpo.
  4. Iguale: xA(t) = xB(t).
  5. Resolva em ordem a t. Em equações do 2.º grau, descarte raízes negativas e, se for o caso, t = 0 (que é o ponto de partida comum).
  6. Calcule a posição do encontro substituindo t numa das equações.
  7. Verifique nas duas equações: devem dar a mesma posição.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Corpos a aproximar-se

Enunciado: Dois ciclistas estão numa estrada reta, separados por 300 m. O ciclista A parte da origem a 15 m/s e o ciclista B parte do ponto x = 300 m, em sentido contrário, a 10 m/s. Quando se encontram?

Resolução:

  1. xA = 15t. B vai no sentido negativo: xB = 300 − 10t.
  2. Igualando: 15t = 300 − 10t.
  3. 25t = 300, logo t = 12 s.
  4. Posição: x = 15 × 12 = 180 m.

Resposta: encontram-se aos 12 s, a 180 m da origem. Verificação: xB = 300 − 120 = 180 m.

Exemplo 2 — Um deles parte mais tarde

Enunciado: O corpo A parte da origem com 10 m/s. Quatro segundos depois, o corpo B parte do mesmo ponto, no mesmo sentido, com 15 m/s. Quando e onde B apanha A?

Resolução:

  1. xA = 10t.
  2. B anda só desde t = 4 s: xB = 15(t − 4) = 15t − 60.
  3. Igualando: 10t = 15t − 60, logo 5t = 60 e t = 12 s.
  4. Posição: x = 10 × 12 = 120 m.

Resposta: B apanha A aos 12 s (contados desde A), a 120 m da origem. Verificação: B anda 8 s a 15 m/s: 8 × 15 = 120 m.

Exemplo 3 — Movimento uniforme e movimento acelerado

Enunciado: Um camião passa pela origem com 10 m/s constantes. No mesmo instante, um carro parte do repouso da origem com aceleração de 2 m/s2, no mesmo sentido. Em que instante o carro alcança o camião?

Resolução:

  1. Camião: xC = 10t.
  2. Carro: x = ½ × 2 × t2 = t2.
  3. Igualando: t2 = 10t, ou t2 − 10t = 0, ou t(t − 10) = 0.
  4. Raízes: t = 0 (partida) e t = 10 s.
  5. Posição: x = 10 × 10 = 100 m.

Resposta: o carro alcança o camião aos 10 s, a 100 m. Verificação: t2 = 100 m.

Exemplo 4 — Nível de exame: velocidades em km/h

Enunciado: Duas cidades A e B estão separadas por 300 km. Um autocarro sai de A para B a 60 km/h e, na mesma hora, outro sai de B para A a 90 km/h. Ao fim de quanto tempo se cruzam e a que distância de A?

Resolução:

  1. Origem em A: x1 = 60t e x2 = 300 − 90t (t em horas).
  2. Igualando: 60t = 300 − 90t, 150t = 300, t = 2 h.
  3. Posição: x = 60 × 2 = 120 km.

Resposta: cruzam-se ao fim de 2 h, a 120 km de A. Verificação: o segundo anda 90 × 2 = 180 km e 120 + 180 = 300 km.

Erros frequentes

  • Esquecer o sinal da velocidade de um corpo que vem em sentido contrário. Sem o sinal negativo, nunca se encontram.
  • Usar o mesmo t para um corpo que parte mais tarde. O tempo desse corpo é (t − t0).
  • Somar as velocidades quando os corpos andam no mesmo sentido. Só se somam em módulo quando se aproximam em sentidos contrários.
  • Misturar unidades, por exemplo velocidade em km/h e distância em m.
  • Não descartar t = 0 ou raízes negativas em equações do 2.º grau.
  • Pensar que encontro implica choque. Os corpos só têm de estar na mesma posição.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

xA = 5t e xB = 60 − t (SI). Determine o instante e a posição do encontro.

Ver solução

5t = 60 − t, 6t = 60, t = 10 s. Posição: x = 5 × 10 = 50 m. Verificação: 60 − 10 = 50.

2Exercício 2

Duas pessoas estão a 100 m uma da outra e caminham uma para a outra com 1,5 m/s e 2,5 m/s. Quando se encontram e quanto andou a primeira?

Ver dica

A distância entre elas diminui 1,5 + 2,5 m em cada segundo.

Ver solução

Aproximação: 1,5 + 2,5 = 4 m/s. t = 100 ÷ 4 = 25 s. A primeira anda 1,5 × 25 = 37,5 m (a segunda anda 62,5 m; 37,5 + 62,5 = 100 m).

3Exercício 3

O corpo A parte de x = 0 com 8 m/s e o corpo B parte de x = 50 m, no mesmo sentido, com 3 m/s. Quando A alcança B?

Ver solução

8t = 50 + 3t, 5t = 50, t = 10 s. Posição: 8 × 10 = 80 m. Verificação: 50 + 30 = 80 m.

4Exercício 4

O corpo A parte da origem com 20 m/s. Três segundos depois, o corpo B parte do mesmo ponto, no mesmo sentido, com 30 m/s. Quando e onde B alcança A?

Ver solução

xA = 20t; xB = 30(t − 3). Igualando: 20t = 30t − 90, 10t = 90, t = 9 s. Posição: 20 × 9 = 180 m. Verificação: B anda 6 s × 30 = 180 m.

5Exercício 5

Um corpo A move-se com 6 m/s constantes a partir da origem. No mesmo instante, um corpo B parte do repouso da origem, com aceleração de 1,5 m/s2, no mesmo sentido. Determine o instante em que B alcança A e a posição.

Ver dica

xB = ½ × 1,5 × t2 = 0,75t2. Descarte t = 0.

Ver solução

6t = 0,75t2, logo t(0,75t − 6) = 0. A raiz útil é t = 6 ÷ 0,75 = 8 s. Posição: 6 × 8 = 48 m. Verificação: 0,75 × 64 = 48 m.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Sempre que dois corpos se movem na mesma reta e o problema pergunta quando ou onde se encontram, se cruzam ou um apanha o outro. A ideia é sempre igualar as posições.

Existe um método mais rápido?

Para dois movimentos uniformes, pode usar a velocidade relativa: se se aproximam, a distância inicial dividida pela soma das velocidades dá o tempo. No exemplo dos ciclistas, 300 ÷ 25 = 12 s.

Que erros são mais comuns?

Esquecer o sinal da velocidade, ignorar o atraso de um dos corpos e misturar unidades. Veja a secção «Erros frequentes».

O que fazer se a equação tiver duas soluções?

Rejeite t = 0 (se for a partida comum) e valores negativos. Se ambas as raízes forem positivas, os corpos cruzam-se duas vezes (isto pode acontecer quando há travagem).

Resumo

  • O encontro acontece quando xA(t) = xB(t).
  • Use o mesmo referencial, com sinais para os sentidos das velocidades.
  • Para um corpo que parte mais tarde, substitua t por (t − t0).
  • Em sentidos contrários as velocidades relativas somam-se; no mesmo sentido, subtraem-se.
  • Verifique o resultado substituindo t nas duas equações.

Onde aprofundar

  • O manual de Física da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Physics (em inglês), no capítulo sobre cinemática: movimento em uma dimensão.
  • O Sistema Internacional de Unidades, descrito pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM).

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