Física · 8.ª–12.ª classe

Quais são as equações do movimento uniformemente variado?

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Resposta curta

No movimento retilíneo uniformemente variado (aceleração constante) usam-se, em regra, cinco equações que ligam v0, v, a, t e Δx: v = v0 + at; Δx = v0t + ½at2; v2 = v02 + 2aΔx; Δx = ½(v0 + v)t; e Δx = vt − ½at2. Classificam-se pela grandeza que não contêm: Δx, v, t, a ou v0.

Critério de classificação

Em cada problema de MRUV há cinco grandezas possíveis: o deslocamento Δx, a velocidade inicial v0, a velocidade final v, a aceleração a e o tempo t. Cada equação envolve apenas quatro delas. Por isso, o critério mais útil para escolher a equação é este: qual é a grandeza que o problema não dá e não pede? A equação certa é a que não a contém.

Quadro-resumo

N.ºEquaçãoGrandeza que NÃO contémUsar quando…
1v = v0 + a·tΔxnão há deslocamento nos dados nem na incógnita
2Δx = v0·t + ½·a·t2va velocidade final não interessa
3v2 = v02 + 2·a·Δxto tempo não é dado nem pedido
4Δx = ½·(v0 + v)·taa aceleração não interessa
5Δx = v·t − ½·a·t2v0a velocidade inicial não interessa

Para uma posição em vez de deslocamento, escreve-se Δx = x − x0 (por exemplo, x = x0 + v0t + ½at2).

Quantas são ao todo?

Há cinco equações habituais, mas só duas são independentes: as outras três obtêm-se por combinação algébrica. É o que permite verificar uma resposta por um segundo caminho. Alguns manuais apresentam apenas as três primeiras como «equações do MRUV».

Descrição de cada equação

  1. Equação da velocidade, v = v0 + a·t. Dá a velocidade em qualquer instante. Resulta da definição de aceleração, a = Δv/Δt.
  2. Equação da posição, Δx = v0t + ½at2. Dá o deslocamento ao fim de um tempo t. O termo ½at2 é o «extra» devido à aceleração.
  3. Equação de Torricelli, v2 = v02 + 2aΔx. Relaciona velocidades e deslocamento sem tempo. É a preferida em problemas de travagem.
  4. Equação da velocidade média, Δx = ½(v0 + v)t. No MRUV a velocidade média é a média aritmética das velocidades inicial e final.
  5. Equação com v final, Δx = vt − ½at2. Útil quando se conhece a velocidade final e não a inicial.

Como memorizar

  • Mnemónica da falta: pergunte «quem falta?». Falta Δx → equação 1; falta v → equação 2; falta t → equação 3; falta a → equação 4; falta v0 → equação 5.
  • Memorize só as três primeiras e a da velocidade média; a quinta é rara.
  • Saiba de cor a lei da posição x = x0 + v0t + ½at2, porque é a que aparece em gráficos e em enunciados com funções.

Método passo a passo

  1. Escreva os dados (v0, v, a, t, Δx) e marque a incógnita.
  2. Identifique a grandeza em falta (que não é dada nem pedida).
  3. Escolha a equação que não a contém (veja o quadro).
  4. Converta as unidades para o SI (km/h ÷ 3,6 = m/s).
  5. Substitua com sinais e calcule.
  6. Verifique por outra equação, se possível.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Equação 1 (falta Δx)

Enunciado: Um corpo tem v0 = 5 m/s e a = 3 m/s2. Qual a velocidade ao fim de 4 s?

Resolução:

  1. Dados: v0, a, t. Incógnita: v. Falta Δx.
  2. v = v0 + a·t = 5 + 3 × 4 = 17 m/s.

Resposta: v = 17 m/s. Verificação: a velocidade aumentou 12 m/s em 4 s, ou seja, 3 m/s por segundo.

Exemplo 2 — Equação 2 (falta v)

Enunciado: Uma mota tem v0 = 4 m/s e a = 2 m/s2. Que distância percorre em 5 s?

Resolução:

  1. Dados: v0, a, t. Incógnita: Δx. Falta v.
  2. Δx = v0t + ½at2 = 4 × 5 + ½ × 2 × 25 = 20 + 25 = 45 m.

Resposta: Δx = 45 m. Verificação: v = 4 + 2 × 5 = 14 m/s; Δx = ½(4 + 14) × 5 = 9 × 5 = 45 m.

Exemplo 3 — Equação 3 (falta t)

Enunciado: Um carro passa de 10 m/s para 20 m/s com aceleração de 5 m/s2. Que distância percorre?

Resolução:

  1. Dados: v0 = 10, v = 20, a = 5. Incógnita: Δx. Falta t.
  2. v2 = v02 + 2aΔx: 400 = 100 + 10Δx.
  3. 10Δx = 300, logo Δx = 30 m.

Resposta: Δx = 30 m. Verificação: t = (20 − 10) ÷ 5 = 2 s; Δx = ½(10 + 20) × 2 = 30 m.

Exemplo 4 — Equação 4 (falta a)

Enunciado: Um ciclista passa de 8 m/s para 12 m/s em 6 s. Que distância percorre?

Resolução:

  1. Dados: v0 = 8, v = 12, t = 6. Incógnita: Δx. Falta a.
  2. Δx = ½(v0 + v)t = ½ × (8 + 12) × 6 = 10 × 6 = 60 m.

Resposta: Δx = 60 m. Verificação: a = (12 − 8) ÷ 6 = 2/3 m/s2; Δx = 8 × 6 + ½ × (2/3) × 36 = 48 + 12 = 60 m.

Exemplo 5 — Equação 5 (falta v0) e nível de exame

Enunciado: Um corpo atinge v = 20 m/s ao fim de 5 s, com a = 2 m/s2. Que distância percorreu nesses 5 s?

Resolução:

  1. Dados: v, a, t. Incógnita: Δx. Falta v0.
  2. Δx = vt − ½at2 = 20 × 5 − ½ × 2 × 25 = 100 − 25 = 75 m.

Resposta: Δx = 75 m. Verificação: v0 = v − at = 20 − 10 = 10 m/s; Δx = 10 × 5 + ½ × 2 × 25 = 50 + 25 = 75 m.

Erros frequentes

  • Escolher uma equação com duas incógnitas. Se a equação escolhida contém uma grandeza que também não conhece, há duas incógnitas; escolha outra.
  • Esquecer os sinais. Numa travagem a aceleração é negativa (se v > 0), e isto muda o resultado.
  • Aplicar as equações a movimentos com aceleração variável. Valem só com a constante.
  • Esquecer o expoente 2 em t2 e em v2, ou o fator ½.
  • Misturar km/h com m/s.
  • Usar v no lugar de v0 na equação 2. Com a velocidade final, o termo ½at2 passa a negativo: é a equação 5.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Um corpo tem v0 = 12 m/s e trava com a = −3 m/s2 até parar. Que distância percorre? Que equação usou e porquê?

Ver solução

Falta o tempo (não é dado nem pedido), logo usa-se a equação 3: 0 = 144 + 2 × (−3) × Δx, isto é, 0 = 144 − 6Δx, logo Δx = 24 m.

2Exercício 2

Um corpo com v0 = 8 m/s percorre 60 m em 5 s com aceleração constante. Calcule a velocidade final e a aceleração.

Ver dica

Primeiro, use a equação em que não aparece a aceleração.

Ver solução

Equação 4: 60 = ½ × (8 + v) × 5, logo 8 + v = 24 e v = 16 m/s. Aceleração: a = (16 − 8) ÷ 5 = 1,6 m/s2. Verificação: Δx = 8 × 5 + ½ × 1,6 × 25 = 40 + 20 = 60 m.

3Exercício 3

Um carro parte do repouso com a = 4 m/s2 e percorre 50 m. Calcule a velocidade final e o tempo gasto.

Ver solução

Equação 3: v2 = 0 + 2 × 4 × 50 = 400, logo v = 20 m/s. Equação 1: t = v ÷ a = 20 ÷ 4 = 5 s.

4Exercício 4

Um corpo tem v0 = 2 m/s e a = 3 m/s2. Calcule v e Δx ao fim de 4 s.

Ver solução

Equação 1: v = 2 + 3 × 4 = 14 m/s. Equação 2: Δx = 2 × 4 + ½ × 3 × 16 = 8 + 24 = 32 m. Verificação com a equação 4: ½ × (2 + 14) × 4 = 8 × 4 = 32 m.

5Exercício 5

Um comboio passa de 30 m/s para 10 m/s ao longo de 100 m, com travagem constante. Calcule a aceleração e o tempo.

Ver solução

Equação 3: 100 = 900 + 2 × a × 100, logo 200a = 100 − 900 = −800 e a = −4 m/s2. Equação 1: t = (10 − 30) ÷ (−4) = 5 s. Verificação: Δx = ½ × (30 + 10) × 5 = 100 m.

Perguntas frequentes

Quantos são ao todo?

Habitualmente apresentam-se cinco equações (ou três, nalguns manuais) que ligam as cinco grandezas Δx, v0, v, a e t. No entanto, apenas duas são independentes; as restantes são combinações destas.

Qual é a classificação mais usada?

A classificação por grandeza em falta: cada equação não contém uma das cinco grandezas. Os manuais costumam destacar a equação da velocidade, a da posição e a de Torricelli, que não tem o tempo.

Como memorizar a lista?

Decore a lei da posição e a lei da velocidade; as outras obtêm-se por substituição. Se se esquecer da de Torricelli, elimine t entre as duas primeiras. Pratique escolhendo sempre a grandeza que «falta».

Valem para a queda livre?

Sim, desde que se despreze o ar. Basta usar a = g (cerca de 10 m/s2 nos exercícios) com o sinal adequado ao eixo escolhido.

Resumo

  • Há cinco grandezas (Δx, v0, v, a, t) e cinco equações, cada uma sem uma delas.
  • v = v0 + at (sem Δx); Δx = v0t + ½at2 (sem v); v2 = v02 + 2aΔx (sem t); Δx = ½(v0 + v)t (sem a); Δx = vt − ½at2 (sem v0).
  • Escolha a equação pela grandeza que falta.
  • Só são independentes duas; as outras servem para confirmar.
  • Valem apenas para aceleração constante; atenção aos sinais e às unidades.

Onde aprofundar

  • O manual de Física da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O Sistema Internacional de Unidades, descrito pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM).
  • O manual aberto OpenStax Physics (em inglês), secção sobre equações cinemáticas para aceleração constante.

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