Matemática · 7.ª–12.ª classe
Como se faz uma boa resolução de um problema matemático?
Resposta curta
Uma boa resolução segue quatro passos: compreender o problema (dados e pedido), planear uma estratégia, executar os cálculos de forma organizada e verificar o resultado, terminando com uma resposta em frase e com unidade. Escreva os dados, o que se pede, os passos e a resposta, para que quem lê perceba todo o raciocínio.
Os quatro passos de Pólya
O matemático George Pólya descreveu, no livro How to Solve It (1945), um método que continua a ser ensinado em todo o mundo para resolver problemas. Em português, pode resumir-se assim:
- Compreender o problema. Leia o enunciado duas vezes. Sublinhe os dados e o que se pede (a incógnita). Confirme as unidades e as condições. Reescreva o problema com as suas palavras e, se ajudar, faça um esquema.
- Planear. Pergunte: já resolvi algo parecido? Que fórmula, relação ou estratégia liga os dados ao pedido? Escolha um caminho antes de começar as contas.
- Executar o plano. Resolva por etapas, uma por linha, sem saltar passos. Mantenha as unidades e confirme cada conta.
- Verificar e responder. Substitua o resultado no enunciado, veja se faz sentido (um preço não é negativo, uma idade é razoável) e escreva a resposta em frase, com unidade.
Como apresentar a resolução
Uma estrutura simples, que organiza o raciocínio e facilita a correção:
- Dados: o que o enunciado fornece.
- Pedido: o que se quer descobrir.
- Resolução: os passos, cada um numa linha e justificado quando necessário.
- Resposta: uma frase completa, com unidade.
- Verificação: a prova de que a resposta serve.
O sinal de igual
Cada «=» tem de ligar duas expressões realmente iguais. É incorreto escrever 3 + 4 = 7 × 2 = 14, porque 3 + 4 não é igual a 14. Escreva 3 + 4 = 7 numa linha e 7 × 2 = 14 na linha seguinte.
Estratégias úteis
| Estratégia | Quando ajuda | Exemplo curto |
|---|---|---|
| Fazer um esquema | Geometria, movimentos, distâncias | Uma escada encostada a uma parede forma um triângulo retângulo |
| Fazer uma tabela | Idades, misturas, vários casos | Idade de duas pessoas agora e daqui a 10 anos |
| Escrever uma equação | Relações entre números | A soma de três números consecutivos é 78 |
| Experimentar números simples | Para perceber a situação | Testar com um preço de 100 antes de trabalhar com 50 000 |
| Trabalhar do fim para o princípio | Quando se conhece o resultado final | «Pensei num número, multipliquei por 3 e somei 5» (descobrir o número inicial) |
| Resolver um caso mais simples | Problemas com números grandes | Perceber o padrão com 3 em vez de 300 |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Problema com equação
Enunciado: A soma de três números inteiros consecutivos é 78. Quais são?
Resolução:
- Dados: três inteiros consecutivos; soma 78. Pedido: os três números.
- Plano: chame x ao menor. Os outros são x + 1 e x + 2.
- Equação: x + (x + 1) + (x + 2) = 78, logo 3x + 3 = 78.
- 3x = 78 − 3 = 75, logo x = 75 ÷ 3 = 25.
- Os números são 25, 26 e 27.
Resposta: os números são 25, 26 e 27. Verificação: 25 + 26 + 27 = 78.
Exemplo 2 — Experimentar com um valor concreto
Enunciado: O preço de um telemóvel sobe 20% e, depois, o novo preço baixa 20%. O preço final é igual ao inicial?
Resolução:
- Plano: o problema não dá preço, por isso experimente um valor simples, 50 000 kz, e depois veja se o resultado depende dele.
- Subida de 20%: 50 000 × 1,2 = 60 000 kz.
- Descida de 20% sobre o novo preço: 60 000 × 0,8 = 48 000 kz.
- Compare: 48 000 é inferior a 50 000.
- Em geral, o fator é 1,2 × 0,8 = 0,96, qualquer que seja o preço inicial.
Resposta: não; o preço final é 96% do inicial, isto é, 4% mais baixo. Verificação: 50 000 × 0,96 = 48 000, igual ao valor obtido passo a passo.
Exemplo 3 — Esquema e Pitágoras
Enunciado: Uma escada de 5 m está encostada a uma parede, com o pé a 3 m da parede. A que altura da parede toca a escada?
Resolução:
- Esquema: a parede, o chão e a escada formam um triângulo retângulo. A escada é a hipotenusa (5 m), a distância do pé à parede é um cateto (3 m) e a altura h é o outro cateto.
- Pitágoras: 52 = 32 + h2, logo 25 = 9 + h2.
- h2 = 25 − 9 = 16, e como h é positivo, h = 4.
Resposta: a escada toca a parede a 4 m de altura. Verificação: 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Exemplo 4 — Nível de exame: duas condições
Enunciado: A mãe tem o triplo da idade do filho. Daqui a 12 anos, a idade da mãe será o dobro da idade do filho. Que idades têm agora?
Resolução:
- Dados: idade do filho f; idade da mãe m = 3f.
- Tabela:
| Agora | Daqui a 12 anos | |
|---|---|---|
| Filho | f | f + 12 |
| Mãe | 3f | 3f + 12 |
- Condição: 3f + 12 = 2(f + 12), logo 3f + 12 = 2f + 24.
- f = 24 − 12 = 12, e m = 3 × 12 = 36.
Resposta: o filho tem 12 anos e a mãe tem 36 anos. Verificação: daqui a 12 anos terão 24 e 48, e 48 é o dobro de 24.
Erros frequentes
- Começar a calcular sem ler bem. Identifique sempre o que se pede antes de fazer contas.
- Resolver outra coisa: calcular a idade do filho quando se pedia a da mãe. Reveja a pergunta no fim.
- Cadeias de igualdades falsas, como 3 + 4 = 7 × 2 = 14. Cada linha deve ter uma igualdade verdadeira.
- Saltar passos ou escrever só o resultado. Mesmo certo, fica sem justificação; se estiver errado, ninguém consegue ver onde falhou.
- Misturar unidades (metros com centímetros, horas com minutos) sem converter.
- Arredondar cedo, o que acumula erro; arredonde só na resposta.
- Não verificar a razoabilidade: aceitar uma idade negativa, um desconto superior a 100% ou uma probabilidade maior do que 1.
- Apagar tudo ao primeiro erro. Procure o passo errado e corrija-o; poupa tempo e ajuda a aprender.
- Responder sem frase e sem unidade. Escreva «A escada toca a parede a 4 m de altura», e não apenas «4».
Exercícios propostos
1Exercício 1
Pensei num número, multipliquei-o por 3 e somei 5. Obtive 29. Qual era o número? (Resolva trabalhando do fim para o princípio.)
Ver solução
Desfaça as operações pela ordem inversa: 29 − 5 = 24 e 24 ÷ 3 = 8. Verificação: 8 × 3 + 5 = 29.
2Exercício 2
O perímetro de um retângulo é 36 m e o comprimento é o dobro da largura. Calcule as dimensões e a área.
Ver dica
Chame x à largura; o comprimento é 2x. O perímetro é 2 × (largura + comprimento).
Ver solução
2(x + 2x) = 36, logo 6x = 36 e x = 6. Largura 6 m, comprimento 12 m. Área = 6 × 12 = 72 m2. Verificação: perímetro = 2 × (6 + 12) = 36 m.
3Exercício 3
Um táxi cobra 500 kz de base mais 200 kz por quilómetro (tarifa fictícia, só para o exercício). Uma viagem custou 2 300 kz. Quantos quilómetros foram percorridos?
Ver solução
Equação: 500 + 200k = 2 300, logo 200k = 1 800 e k = 9 km. Verificação: 500 + 200 × 9 = 500 + 1 800 = 2 300.
4Exercício 4
A torneira A enche um depósito em 6 horas e a torneira B enche o mesmo depósito em 3 horas. Quanto tempo demoram a enchê-lo juntas?
Ver dica
Calcule a fração do depósito que cada torneira enche numa hora e some.
Ver solução
A enche 1/6 do depósito por hora e B enche 1/3. Juntas: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 do depósito por hora. O depósito fica cheio em 1 ÷ (1/2) = 2 horas.
5Exercício 5
Um carro percorre os primeiros 60 km de uma viagem de 120 km a 60 km/h e os restantes 60 km a 40 km/h. Qual é a velocidade média em toda a viagem?
Ver dica
A velocidade média não é a média das duas velocidades. Calcule o tempo total.
Ver solução
Primeira metade: 60 ÷ 60 = 1 h. Segunda metade: 60 ÷ 40 = 1,5 h. Tempo total: 1 + 1,5 = 2,5 h. Velocidade média = 120 ÷ 2,5 = 48 km/h (e não 50 km/h, que seria a média simples das velocidades). Verificação: 48 × 2,5 = 120 km.
Perguntas frequentes
Preciso de desenhar sempre um esquema?
Não, mas ajuda muito em problemas de geometria, de movimento e de distâncias, onde o desenho mostra as relações entre os dados. Em problemas numéricos, uma tabela pode fazer o mesmo papel.
Perco pontos se escrever só o resultado?
Pode perder. Em muitas correções valorizam-se os passos e a justificação, e uma resposta certa sem raciocínio nem sempre recebe a cotação completa. Confirme com o professor como são cotadas as respostas.
O que faço se não encontrar o caminho?
Escreva o que sabe, faça um esquema, experimente números pequenos, monte uma tabela ou trabalhe do fim para o princípio. Se mesmo assim bloquear, passe à questão seguinte e volte a ela depois.
Como sei se a resposta é razoável?
Reveja a pergunta e compare com uma estimativa: as unidades batem certo, o sinal faz sentido, o valor está na ordem de grandeza esperada? Depois, substitua a resposta nas condições do enunciado.
Resumo
- Siga os quatro passos: compreender, planear, executar, verificar.
- Escreva dados, pedido, resolução, resposta e verificação.
- Escolha uma estratégia: esquema, tabela, equação, números simples, do fim para o princípio.
- Cada «=» deve ligar expressões realmente iguais; um passo por linha.
- Termine com uma frase com unidade e confirme se responde ao que foi perguntado.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- How to Solve It, de George Pólya (existe tradução em português; confirme a edição), o livro clássico sobre resolução de problemas.
- Os manuais abertos OpenStax Prealgebra e Elementary Algebra (em inglês), com muitos problemas de enunciado resolvidos.
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