Desenho Técnico · 7.ª–12.ª classe
Como dividir uma circunferência em partes iguais?
Resposta curta
Cada divisão corresponde a um arco e a um ângulo ao centro de 360° ÷ n. Em 4, 8, 6, 3 e 12 partes constrói-se só com compasso e régua: diâmetros perpendiculares dão 4, a bissecção dá 8, o raio dá 6, e uniões alternadas de pontos dão 3. Outros números exigem métodos próprios ou aproximados.
Quando se aplica
Dividir uma circunferência em partes iguais é a base para desenhar polígonos regulares inscritos, rodas dentadas, flanges com furos igualmente espaçados, rosáceas e relógios. Se marcar n pontos igualmente distribuídos e os unir de forma consecutiva, obtém um polígono regular de n lados.
A ideia central é o ângulo ao centro:
Ângulo ao centro e corda
ângulo ao centro = 360° ÷ n corda de cada parte = 2 × R × sen(180° ÷ n)
A corda (a distância entre dois pontos consecutivos) é a abertura do compasso a usar quando se vai «dando passos» ao longo da circunferência. Não precisa de calcular a fórmula da corda para as construções abaixo, mas ela serve para verificar.
Pré-requisitos
- Traçar circunferências e diâmetros com o compasso.
- Traçar a mediatriz e a bissetriz (ver os artigos respetivos).
- Saber que o raio cabe seis vezes na circunferência, como corda.
Método passo a passo
Em 4 partes
- Trace dois diâmetros perpendiculares (com esquadro ou mediatriz).
- Os quatro pontos de cruzamento com a circunferência dividem-na em quatro arcos de 90°.
Em 8 partes
- Divida em 4, como acima.
- Trace as bissetrizes dos quatro ângulos retos; cada uma corta a circunferência em mais um ponto.
- Resultam oito pontos, com arcos de 45°.
Em 6 partes
- Escolha um ponto A da circunferência.
- Com a abertura igual ao raio, ponta seca em A, corte a circunferência em B.
- Passe a ponta seca para B e repita, sem alterar a abertura, até voltar a A.
- Ficam seis pontos, com arcos de 60°.
Em 3 partes
- Divida em 6 partes.
- Use um ponto sim, outro não: três pontos, com arcos de 120°.
Em 12 partes
- Divida em 6 partes.
- Trace a bissetriz de cada arco (ou, de forma equivalente, divida em 6 a partir de dois pontos diametralmente opostos e junte os pontos).
- Resultam doze pontos, com arcos de 30°.
Em 5 e 10 partes, e em 7
- O pentágono tem uma construção própria, apresentada no artigo sobre o pentágono regular; com os cinco pontos e os diâmetros obtém-se também a divisão em 10.
- A divisão em 7 partes não tem construção exata com régua e compasso. Usa-se um método aproximado, por exemplo dar passos de abertura igual à metade do lado do triângulo equilátero inscrito (aproximadamente 0,866 R). Confirme no manual da sua classe o método exigido.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Seis partes com um raio de 30 mm
Enunciado: Divida em seis partes iguais uma circunferência de 30 mm de raio. Qual é a abertura do compasso e quanto mede cada arco?
Resolução:
- No hexágono inscrito o lado é igual ao raio: abertura = 30 mm.
- Ângulo ao centro: 360° ÷ 6 = 60°.
- Marque os pontos «a passo» sobre a circunferência.
Resposta: abertura 30 mm, arcos de 60°. Verificação: a corda pela fórmula é 2 × 30 × sen 30° = 2 × 30 × 0,5 = 30 mm.
Exemplo 2 — Três partes e o lado do triângulo
Enunciado: Divida em três partes iguais uma circunferência de 40 mm de raio e calcule o lado do triângulo equilátero que se obtém.
Resolução:
- Divida em seis partes, abertura de 40 mm.
- Una os pontos alternados: A, C, E.
- Lado = R√3 = 40 × 1,732 = 69,28 mm.
Resposta: arcos de 120° e lado do triângulo ≈ 69,3 mm. Verificação: 2 × 40 × sen 60° = 80 × 0,866 = 69,28 mm.
Exemplo 3 — Doze partes
Enunciado: Marque doze furos igualmente espaçados numa circunferência de 50 mm de raio. Qual é a distância aproximada entre furos consecutivos?
Resolução:
- Divida em 6 partes com abertura 50 mm.
- Bissete cada um dos seis arcos: aparecem 6 pontos novos.
- Ângulo ao centro: 360° ÷ 12 = 30°.
- Corda: 2 × 50 × sen 15° = 100 × 0,2588 = 25,88 mm.
Resposta: doze pontos, a cerca de 25,9 mm uns dos outros (distância em linha reta). Verificação: 12 × 30° = 360°.
Exemplo 4 — Nível de exame: sete partes de forma aproximada
Enunciado: Divida em sete partes uma circunferência de 50 mm de raio com o método aproximado, e estime o erro por corda.
Resolução:
- Lado do triângulo inscrito: 50 × 1,732 = 86,6 mm. Metade: 43,3 mm.
- Com a abertura de 43,3 mm, dê sete passos sobre a circunferência.
- Valor exato da corda: 2 × 50 × sen(180° ÷ 7) = 100 × sen 25,71° ≈ 100 × 0,4339 = 43,39 mm.
- Diferença: 43,39 − 43,30 = 0,09 mm.
Resposta: abertura 43,3 mm, erro de cerca de 0,09 mm por passo. Verificação: o último passo pode não coincidir exatamente com o primeiro ponto; essa folga acumulada é o preço da aproximação e deve ser distribuída por correção do último arco.
Erros frequentes
- Alterar a abertura do compasso durante os passos. Se o compasso deslizar, os pontos deixam de ser equidistantes. Fixe-o bem e aperte o parafuso.
- Começar de um ponto qualquer e esquecer o ponto de partida. Marque o primeiro ponto com um traço visível para saber quando fechou a volta.
- Pensar que o raio serve para qualquer n. A abertura igual ao raio só funciona para 6 partes (e, por saltos, para 3).
- Dar passos a partir de um centro impreciso. Comece sempre por marcar o centro com um ponto fino e firme.
- Tratar os métodos aproximados como exatos. Em 7, 9 e 11 partes a construção não é exata; acumule o erro com cuidado e indique-o.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Qual é o ângulo ao centro quando se divide uma circunferência em 9 partes iguais?
Ver solução
360° ÷ 9 = 40°.
2Exercício 2
Numa circunferência de 40 mm de raio, divida-a em 8 partes e calcule a corda correspondente (use sen 22,5° ≈ 0,3827).
Ver dica
Corda = 2 × R × sen(180° ÷ n).
Ver solução
Corda = 2 × 40 × 0,3827 = 30,6 mm. A divisão faz-se dividindo em 4 e bissetando os quatro ângulos retos. Corda ≈ 30,6 mm.
3Exercício 3
Numa circunferência de 40 mm de raio, divida-a em 4 partes e calcule a distância entre dois pontos consecutivos.
Ver solução
Os pontos consecutivos são vértices de um quadrado inscrito, de diagonal 80 mm. Lado = 80 ÷ √2 = 40 × √2 ≈ 40 × 1,414 = 56,6 mm.
4Exercício 4
Pretende-se um flange com 6 furos igualmente espaçados numa circunferência de 45 mm de raio. Qual é a distância entre dois furos consecutivos e qual o ângulo entre eles?
Ver dica
O lado do hexágono inscrito é igual ao raio.
Ver solução
Distância = raio = 45 mm; ângulo = 360° ÷ 6 = 60°.
5Exercício 5
Descreva como obter a divisão em 12 partes a partir da divisão em 3 e justifique o número de operações de bissecção.
Ver solução
Divida em 3 (arcos de 120°). Bissete os três arcos: 6 partes de 60°. Bissete outra vez: 12 partes de 30°. Duas bissecções multiplicam o número de partes por 2 × 2 = 4, e 3 × 4 = 12.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Para desenhar polígonos regulares inscritos, marcar furos de uma flange, desenhar rosáceas e dividir mostradores de relógio ou transferidores.
Existe um método mais rápido?
Com o transferidor, marca-se o ângulo ao centro e repete-se. É rápido, mas menos preciso do que as construções com compasso e régua, que são as pedidas em Desenho Técnico.
Que erros são mais comuns?
Fazer deslizar o compasso, esquecer-se do ponto de partida e aplicar a abertura igual ao raio a divisões que não sejam em 6 (ou 3).
Porque é que o raio cabe seis vezes na circunferência?
Porque o triângulo formado pelo centro e por duas extremidades de uma corda igual ao raio é equilátero, com ângulo ao centro de 60°, e 360° ÷ 60° = 6.
Resumo
- O ângulo ao centro de cada divisão é 360° ÷ n.
- 4 partes: dois diâmetros perpendiculares; 8 partes: bissetrizes dos ângulos retos.
- 6 partes: abertura igual ao raio; 3 partes: pontos alternados; 12: bissecção das 6.
- 5 e 10 têm construção própria; 7 só tem método aproximado.
- Evite que o compasso deslize e marque sempre o ponto de partida.
Onde aprofundar
- Manual de Desenho Técnico da classe e programa oficial do INIDE / Ministério da Educação de Angola (confirme a edição em vigor).
- Norma ISO 128 (princípios de representação); confirme a versão atual antes de citar.
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