Desenho Técnico · 7.ª–12.ª classe
Como traçar um pentágono regular?
Resposta curta
Trace uma circunferência com dois diâmetros perpendiculares. Marque o ponto médio M de um raio horizontal e, com centro em M e abertura até ao topo C da circunferência, corte o raio oposto em N. A distância CN é o lado do pentágono: dê cinco passos com ela na circunferência e una os pontos.
Quando se aplica
O pentágono regular tem cinco lados iguais e cinco ângulos iguais de 108°. Constrói-se por inscrição numa circunferência quando conhece o raio (ou o diâmetro) da circunferência circunscrita. Aparece em desenhos decorativos, estrelas de cinco pontas, porcas e peças de formas especiais.
Ao contrário do hexágono, o lado do pentágono não é igual ao raio. Vale cerca de 1,1756 × R, e por isso é necessária uma construção própria para o obter.
Pentágono regular inscrito
ângulo ao centro = 360° ÷ 5 = 72° ângulo interno = 108° (soma dos ângulos internos = 540°) lado ≈ 1,1756 × R · R ≈ 0,8507 × lado
Pré-requisitos
- Traçar diâmetros perpendiculares e a mediatriz de um segmento.
- Usar o compasso sem alterar a abertura.
- Saber o que é uma circunferência circunscrita.
Método passo a passo
- Trace a circunferência de centro O e raio R.
- Trace dois diâmetros perpendiculares: o horizontal AB e o vertical CD, com C no topo.
- Ache o ponto médio M do raio OB, traçando a mediatriz de [OB].
- Com centro em M e abertura MC, trace um arco que corte o raio OA no ponto N.
- A distância CN é o lado do pentágono. Fixe o compasso nessa abertura.
- Com centro em C, corte a circunferência em dois pontos; depois, de cada um, corte o ponto seguinte até obter cinco pontos (C e mais quatro).
- Una os pontos consecutivamente com a régua.
Verificação do resultado
- Os cinco lados medem o mesmo; o último passo deve fechar sobre o ponto de partida.
- Com o transferidor, cada ângulo interno deve estar muito próximo de 108°.
- Os cinco arcos têm de ser de 72° cada, o que se confirma ao ligar os pontos ao centro.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Pentágono numa circunferência de 50 mm de raio
Enunciado: Trace um pentágono regular inscrito numa circunferência de raio 50 mm e indique o comprimento do lado.
Resolução:
- Trace a circunferência e os diâmetros AB e CD perpendiculares.
- M é o ponto médio de OB: OM = 25 mm.
- MC = √(252 + 502) = √(625 + 2 500) = √3 125 ≈ 55,9 mm. É a abertura para cortar OA em N.
- ON = MN − OM = 55,9 − 25 = 30,9 mm.
- CN = √(30,92 + 502) = √(954,8 + 2 500) = √3 454,8 ≈ 58,8 mm.
- Com a abertura de 58,8 mm, marque os cinco vértices e una-os.
Resposta: lado ≈ 58,8 mm. Verificação: 2 × 50 × sen 36° = 100 × 0,5878 = 58,78 mm.
Exemplo 2 — Pentágono com lado dado
Enunciado: Pretende-se um pentágono regular de lado 40 mm. Que raio deve ter a circunferência circunscrita?
Resolução:
- R = lado ÷ (2 × sen 36°) = 40 ÷ (2 × 0,5878) = 40 ÷ 1,1756.
- R ≈ 34,0 mm.
- Trace a circunferência de 34 mm de raio e aplique o método de inscrição: o lado obtido será de cerca de 40 mm.
Resposta: raio ≈ 34 mm. Verificação: 1,1756 × 34 = 39,97 mm, praticamente 40 mm. Confirme no seu manual se o método do «lado dado» é pedido com construção direta.
Exemplo 3 — Nível de exame: diagonal e perímetro
Enunciado: Um pentágono regular está inscrito numa circunferência de raio 50 mm. Calcule o perímetro e o comprimento de uma diagonal.
Resolução:
- Lado = 2 × 50 × sen 36° ≈ 58,8 mm.
- Perímetro = 5 × 58,8 = 294 mm (valor arredondado; com mais casas decimais, 293,9 mm).
- Diagonal = 2 × 50 × sen 72° = 100 × 0,9511 ≈ 95,1 mm.
Resposta: perímetro ≈ 294 mm e diagonal ≈ 95,1 mm. Verificação: a diagonal é cerca de 1,618 vezes o lado (58,8 × 1,618 ≈ 95,1), relação conhecida como razão de ouro.
Erros frequentes
- Usar o raio como lado. Isso dá um hexágono, não um pentágono. No pentágono o lado é maior do que 1,17 vezes o raio.
- Fazer M no meio do diâmetro em vez de no meio do raio OB. O arco MC sairia com a abertura errada.
- Alterar a abertura do compasso entre a obtenção de CN e a marcação dos vértices.
- Marcar seis pontos em vez de cinco, por hábito do hexágono.
- Aceitar um último lado diferente sem repetir a construção. Se o último passo não fecha, o compasso escorregou ou a abertura CN foi mal obtida.
- Medir o lado com régua em vez de usar a construção. A régua introduz erros de leitura.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Qual é o ângulo ao centro e o ângulo interno de um pentágono regular?
Ver solução
Ângulo ao centro: 360° ÷ 5 = 72°. Ângulo interno: (5 − 2) × 180° ÷ 5 = 540° ÷ 5 = 108°.
2Exercício 2
Num pentágono regular inscrito numa circunferência de 30 mm de raio, calcule o lado e o perímetro (use sen 36° ≈ 0,5878).
Ver dica
Lado = 2 × R × sen 36°.
Ver solução
Lado = 2 × 30 × 0,5878 = 35,27 mm ≈ 35,3 mm. Perímetro = 5 × 35,27 ≈ 176,3 mm.
3Exercício 3
Um pentágono regular tem 20 mm de lado. Qual deve ser o raio da circunferência circunscrita?
Ver solução
R = lado ÷ 1,1756 = 20 ÷ 1,1756 ≈ 17,0 mm. Verificação: 1,1756 × 17 = 19,98 mm.
4Exercício 4
Na construção com R = 40 mm, calcule MC, ON e CN.
Ver dica
M é o ponto médio de OB, logo OM = 20 mm. Use Pitágoras duas vezes.
Ver solução
MC = √(202 + 402) = √2 000 ≈ 44,72 mm. ON = 44,72 − 20 = 24,72 mm. CN = √(24,722 + 402) = √(611,1 + 1 600) = √2 211,1 ≈ 47,0 mm. Verificação: 2 × 40 × 0,5878 = 47,02 mm.
5Exercício 5
Prove que a soma dos ângulos internos do pentágono regular é 540° e use esse valor para justificar que cada ângulo interno mede 108°.
Ver solução
Um pentágono divide-se em 3 triângulos a partir de um vértice, e cada triângulo tem 180°: 3 × 180° = 540°. Como os 5 ângulos são iguais, cada um mede 540° ÷ 5 = 108°.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Quando se conhece o raio ou o diâmetro da circunferência circunscrita e se pretende inscrever um pentágono regular. É a construção clássica de Desenho Técnico.
Existe um método mais rápido?
Com transferidor marcam-se arcos de 72° a partir do centro. É mais rápido mas menos rigoroso do que a construção com compasso e régua.
Que erros são mais comuns?
Tomar o raio como lado, escolher o ponto médio errado e deixar o compasso mudar de abertura durante a marcação dos vértices.
Porque funciona esta construção?
Porque a distância CN calculada pelo teorema de Pitágoras coincide com 2R sen 36°, o lado exato do pentágono regular. A construção é uma forma geométrica de obter essa medida sem calculadora.
Resumo
- O pentágono regular tem ângulo ao centro de 72° e ângulo interno de 108°.
- O lado vale cerca de 1,1756 vezes o raio da circunferência circunscrita.
- Constrói-se com M, ponto médio de um raio, o arco MC e o ponto N; o lado é CN.
- Marcam-se cinco pontos com a abertura CN e unem-se por segmentos.
- Verifique que o último passo fecha no ponto de partida.
Onde aprofundar
- Manual de Desenho Técnico da classe e programa oficial do INIDE / Ministério da Educação de Angola (confirme a edição em vigor).
- Norma ISO 128 (princípios de representação); confirme a versão atual antes de citar.
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