Desenho Técnico · 7.ª–12.ª classe
Como traçar a bissetriz de um ângulo?
Resposta curta
Com o compasso na ponta do ângulo (o vértice), trace um arco que corte os dois lados. Com a mesma abertura ou outra suficiente, centre em cada um desses cortes e trace dois arcos que se cruzem. Una o vértice a esse cruzamento: a reta obtida é a bissetriz e divide o ângulo em dois ângulos iguais.
Quando se aplica
A bissetriz de um ângulo é a semirreta que parte do vértice e o divide em dois ângulos com a mesma amplitude. Os pontos da bissetriz estão à mesma distância dos dois lados do ângulo. Usa-se para:
- dividir um ângulo ao meio (por exemplo 90° em 45°);
- obter ângulos de 22,5°, 30° ou 15° por divisões sucessivas;
- encontrar o incentro de um triângulo (o ponto onde se cruzam as três bissetrizes), centro da circunferência inscrita;
- traçar a circunferência tangente aos dois lados de um ângulo.
Pré-requisitos
- Saber usar o compasso e o transferidor.
- Saber o que é vértice, lado e amplitude de um ângulo.
- Compasso firme, lápis aguçado e uma folha lisa.
Método passo a passo
- Marque o vértice V e os dois lados do ângulo.
- Com centro em V, trace um arco com qualquer raio que corte os dois lados. Chame P e Q aos pontos de corte.
- Com centro em P, trace um arco no interior do ângulo, com abertura superior a metade de PQ.
- Com centro em Q, e a mesma abertura do passo 3, trace outro arco que cruze o anterior em X.
- Una V a X com a régua e prolongue a semirreta. Essa semirreta é a bissetriz.
Verificação do resultado
- Com o transferidor, os dois ângulos formados devem ter a mesma amplitude, cada um metade do inicial.
- Com o compasso, as distâncias XP e XQ devem ser iguais.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Bissetriz de um ângulo de 70°
Enunciado: Desenhe um ângulo de 70° e trace a sua bissetriz. Que amplitude tem cada metade?
Resolução:
- Desenhe o ângulo com o transferidor (vértice V, lados VA e VB).
- Arco de centro V, raio 5 cm, a cortar VA em P e VB em Q.
- Arcos de centro P e Q, ambos com raio 4 cm, a cruzarem-se em X.
- Trace VX.
Resposta: cada metade mede 70° ÷ 2 = 35°. Verificação: o transferidor mostra 35° entre VA e VX e 35° entre VX e VB.
Exemplo 2 — Obter 22,5° e 45° a partir do ângulo reto
Enunciado: Obtenha por construção um ângulo de 45° e outro de 22,5°.
Resolução:
- Trace um ângulo reto de 90° (dois lados perpendiculares).
- Bissetriz do ângulo de 90°: cada parte mede 90° ÷ 2 = 45°.
- Trace agora a bissetriz de um desses ângulos de 45°: cada parte mede 45° ÷ 2 = 22,5°.
Resposta: 45° com uma bissecção e 22,5° com duas bissecções sucessivas. Verificação: 22,5° × 4 = 90°.
Exemplo 3 — Nível de exame: ângulo de 15° sem transferidor
Enunciado: Construa um ângulo de 15° usando apenas régua e compasso.
Resolução:
- Um ângulo de 60° constrói-se com um triângulo equilátero: com a mesma abertura, desenhe um arco de centro V que corte um lado em P e, com centro em P, um arco que corte o primeiro em Q. O ângulo PVQ mede 60°.
- Bissetriz de 60°: 30°.
- Bissetriz de 30°: 15°.
Resposta: dois traçados de bissetriz a partir de 60° dão 15°. Verificação: 15° × 4 = 60°.
Erros frequentes
- Mudar de abertura entre os dois arcos finais. Se o raio do arco em P for diferente do raio em Q, o cruzamento X não está à mesma distância dos lados e a reta sai torta. Fixe o compasso antes de traçar o segundo arco.
- Abertura demasiado pequena nos arcos finais: eles não se cruzam. Abra mais do que metade de PQ.
- Não prolongar a semirreta além do cruzamento. Em construções posteriores falta traço para trabalhar.
- Confundir bissetriz com mediatriz. A bissetriz divide um ângulo; a mediatriz divide um segmento e é perpendicular a ele.
- Marcar P e Q com raios diferentes a partir do vértice. Os dois cortes têm de estar à mesma distância de V.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Trace a bissetriz de um ângulo de 80° e indique a amplitude de cada metade.
Ver solução
Siga os cinco passos: arco de centro V, arcos de centro P e Q, ponto X e semirreta VX. Cada metade mede 80° ÷ 2 = 40°.
2Exercício 2
Com apenas compasso e régua, construa um ângulo de 30°. Descreva os passos principais.
Ver dica
Parta de 60°, obtido com o triângulo equilátero.
Ver solução
Construa 60° (arcos de igual raio centrados em V e em P, a cortarem-se em Q). Trace a bissetriz de PVQ. Cada metade mede 60° ÷ 2 = 30°.
3Exercício 3
O ângulo ABC mede 124°. Qual é a amplitude do ângulo entre o lado BA e a bissetriz?
Ver solução
A bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais: 124° ÷ 2 = 62°.
4Exercício 4
Num triângulo, trace as bissetrizes de dois ângulos. Que ponto obtém e o que se pode fazer com ele?
Ver solução
Obtém o incentro, ponto de interseção das bissetrizes. Está à mesma distância dos três lados; com o raio igual à distância do incentro a um lado (obtida com uma perpendicular), traça-se a circunferência inscrita, tangente aos três lados.
5Exercício 5
Um ângulo é dividido sucessivamente por três bissetrizes (a cada vez, bissetriz de uma das metades obtidas). Se o resultado final mede 7,5°, qual era a amplitude inicial?
Ver dica
Cada bissecção divide por 2; três bissecções dividem por 2 × 2 × 2.
Ver solução
Inicial = 7,5° × 2 × 2 × 2 = 7,5° × 8 = 60°. Verificação: 60° ÷ 2 = 30°, depois 15°, depois 7,5°.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Quando é preciso dividir um ângulo em duas partes iguais, obter ângulos como 45°, 30° ou 15° sem transferidor, ou encontrar o centro de uma circunferência inscrita num triângulo.
Existe um método mais rápido?
Com um transferidor mede-se a amplitude e marca-se a metade. É mais rápido, mas menos rigoroso do que a construção com compasso, que é a exigida em Desenho Técnico.
Que erros são mais comuns?
Mudar a abertura do compasso entre os dois arcos finais, usar um raio demasiado pequeno e confundir bissetriz com mediatriz.
É possível dividir um ângulo em três partes iguais só com régua e compasso?
Em geral não: a trissecção de um ângulo qualquer com régua e compasso é impossível, como se demonstra em matemática avançada. Só alguns ângulos particulares, como 90°, admitem essa divisão.
Resumo
- A bissetriz divide um ângulo em duas partes iguais e parte do vértice.
- Constrói-se com um arco de centro no vértice e dois arcos de igual raio centrados nos pontos de corte.
- Repetindo a bissecção obtêm-se 45°, 22,5°, 30° e 15° a partir de 90° e 60°.
- As bissetrizes de um triângulo cruzam-se no incentro.
- Não confunda bissetriz (ângulos) com mediatriz (segmentos).
Onde aprofundar
- Manual de Desenho Técnico ou de Matemática da sua classe e programa oficial do INIDE / Ministério da Educação de Angola (confirme a edição em vigor).
- Norma ISO 128 (princípios de representação); confirme a versão atual antes de citar.
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