Desenho Técnico · 7.ª–12.ª classe
Como traçar a mediatriz de um segmento?
Resposta curta
Com o compasso aberto mais do que metade do segmento, trace um arco centrado em cada extremidade, de um lado e do outro do segmento. Una os dois pontos de cruzamento dos arcos com a régua. Essa reta é a mediatriz: passa pelo ponto médio e é perpendicular ao segmento.
Quando se aplica
A mediatriz de um segmento [AB] é a reta perpendicular a AB que passa pelo seu ponto médio. Todos os pontos da mediatriz estão à mesma distância de A e de B, e é essa propriedade que justifica a construção e que a torna útil:
- dividir um segmento em duas partes iguais (ponto médio);
- traçar uma perpendicular a um segmento;
- encontrar o centro de uma circunferência que passa por três pontos (o centro está na interseção das mediatrizes de duas cordas);
- encontrar o circuncentro de um triângulo, ponto onde se cruzam as três mediatrizes.
Pré-requisitos
- Saber usar o compasso e a régua não graduada (a construção não exige medir).
- Saber o que é um segmento, um arco e uma perpendicular.
- Material: lápis bem aguçado, compasso firme e papel liso.
Método passo a passo
- Desenhe o segmento [AB] com a régua.
- Abra o compasso com uma abertura maior do que metade de AB. Se for menor, os arcos não se cruzam.
- Ponta seca em A: trace um arco acima e outro abaixo do segmento.
- Mantenha a mesma abertura, ponta seca em B, e trace dois arcos que cortem os anteriores.
- Marque os pontos de cruzamento, chamados M e N, um de cada lado do segmento.
- Una M e N com a régua. A reta MN é a mediatriz de AB.
- O ponto onde MN corta AB é o ponto médio.
Verificação do resultado
- A distância de qualquer ponto de MN a A deve igualar a distância a B (teste com o compasso).
- O esquadro encostado a AB deve mostrar um ângulo reto com MN.
- O ponto médio deve ficar a metade do comprimento medido a partir de A e de B.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Mediatriz de um segmento de 84 mm
Enunciado: Trace a mediatriz do segmento [AB] com 84 mm e indique onde fica o ponto médio.
Resolução:
- Meio do segmento: 84 ÷ 2 = 42 mm; a abertura do compasso tem de ser superior a 42 mm. Escolha, por exemplo, 60 mm.
- Com centro em A e raio 60 mm, trace arcos acima e abaixo.
- Com centro em B e raio 60 mm, trace arcos que cortem os primeiros em M e N.
- Una M a N; a reta corta AB em P.
Resposta: AP = PB = 42 mm. Verificação: com um raio de 60 mm, a altura de M acima do segmento é √(602 − 422) = √(3 600 − 1 764) = √1 836 ≈ 42,9 mm, valor que pode confirmar com a régua na construção.
Exemplo 2 — Centro de uma circunferência que passa por três pontos
Enunciado: Estão marcados três pontos A, B e C não alinhados. Determine o centro da circunferência que passa por eles.
Resolução:
- Una A a B e B a C: obtém duas cordas.
- Trace a mediatriz de [AB].
- Trace a mediatriz de [BC].
- O ponto O onde as duas mediatrizes se cruzam está à mesma distância de A, B e C.
- Com centro em O e raio OA, trace a circunferência.
Resposta: O é o centro e OA = OB = OC é o raio. Verificação: com o compasso aberto em OA, a circunferência passa exatamente por B e por C.
Exemplo 3 — Nível de exame: estrada equidistante de duas povoações
Enunciado: Num mapa, duas povoações A e B distam 12 cm entre si. Pretende-se marcar uma estrada reta de pontos que fiquem à mesma distância de A e de B. Que linha traçar e qual é a distância mínima de um ponto dessa estrada a cada povoação?
Resolução:
- Os pontos equidistantes de A e B formam a mediatriz de [AB].
- Traça-se a mediatriz com arcos de raio superior a 6 cm, por exemplo 8 cm.
- O ponto da mediatriz mais próximo de A e de B é o ponto médio.
- Distância mínima: 12 ÷ 2 = 6 cm.
Resposta: a estrada é a mediatriz de [AB]; a distância mínima a cada povoação é 6 cm (no mapa). Verificação: qualquer outro ponto da mediatriz está mais longe; por exemplo, a 8 cm de altura sobre o ponto médio, a distância a A é √(62 + 82) = 10 cm, maior do que 6 cm.
Erros frequentes
- Abertura do compasso menor do que metade do segmento. Os arcos não se cruzam. Abra sempre mais de metade.
- Mudar a abertura entre A e B. Os pontos M e N deixam de ser equidistantes e a reta sai inclinada. Não toque no compasso depois de o fixar.
- Traçar só um arco em cada extremidade. Um só ponto de cruzamento não define a reta. São necessários dois pontos (M e N).
- Medir para encontrar o meio. A construção é geométrica; medir com régua dá um resultado menos rigoroso.
- Arcos muito fracos. Marcas pouco visíveis levam a imprecisão. Deixe os arcos visíveis mas finos, e apague só o supérfluo.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Trace a mediatriz de um segmento [AB] de 60 mm e indique a distância do ponto médio a cada extremidade.
Ver dica
Use uma abertura superior a 30 mm.
Ver solução
Com a abertura, por exemplo, de 40 mm, centre em A e em B e trace os arcos cruzando-se em M e N; una M e N. O ponto médio dista 60 ÷ 2 = 30 mm de A e de B.
2Exercício 2
Qual é o menor valor que a abertura do compasso deve ultrapassar para traçar a mediatriz de um segmento de 9 cm?
Ver solução
Mais de metade do segmento: 9 ÷ 2 = 4,5 cm. Com 4,5 cm exatos os arcos tocam-se num único ponto sobre o segmento; abaixo disso não se cruzam.
3Exercício 3
Dado o triângulo ABC, explique como encontrar o ponto equidistante dos três vértices.
Ver solução
Trace a mediatriz de [AB] e a mediatriz de [BC]; o ponto onde se cruzam é o circuncentro. Está à mesma distância dos três vértices, e a terceira mediatriz, de [AC], passa por esse mesmo ponto, o que serve de verificação.
4Exercício 4
Um segmento [AB] mede 10 cm. Qual é a distância de A a um ponto P da sua mediatriz que está a 12 cm de altura sobre o ponto médio?
Ver dica
Use o teorema de Pitágoras com os catetos 5 cm e 12 cm.
Ver solução
O ponto médio dista 5 cm de A. AP é a hipotenusa: AP2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169, logo AP = 13 cm. Pela propriedade da mediatriz, BP = 13 cm também.
5Exercício 5
Três postes A, B e C não alinhados devem ser servidos por um ponto central que esteja à mesma distância de todos. Descreva a construção e diga quando não é possível.
Ver solução
Trace as mediatrizes de [AB] e de [BC]; o ponto de cruzamento O está equidistante de A, B e C. Se os três pontos estiverem alinhados, as mediatrizes são paralelas e não se cruzam, por isso não existe esse ponto.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Sempre que for preciso o ponto médio de um segmento, uma perpendicular, o centro de uma circunferência que passa por pontos dados ou o circuncentro de um triângulo.
Existe um método mais rápido?
Com régua graduada pode medir metade do comprimento e traçar a perpendicular com esquadro, mas a construção com compasso é a exigida em Desenho Técnico por ser rigorosa e não depender de medidas.
Que erros são mais comuns?
Abertura do compasso curta demais, mudança da abertura entre as duas extremidades e traçar apenas um ponto de cruzamento em vez de dois.
A mediatriz serve para segmentos pequenos?
Sim, mas a abertura do compasso tem de continuar a ser superior a metade do segmento. Em segmentos muito pequenos, trabalhe com a ponta do compasso bem afiada.
Resumo
- A mediatriz é a perpendicular a um segmento pelo seu ponto médio.
- Constrói-se com dois arcos de igual raio, centrados nas extremidades, com abertura maior do que metade do segmento.
- Os pontos da mediatriz estão à mesma distância das duas extremidades.
- As mediatrizes de duas cordas dão o centro de uma circunferência que passa por três pontos.
- Verifique com o compasso (equidistância) e com o esquadro (ângulo reto).
Onde aprofundar
- Manual de Desenho Técnico ou de Matemática da sua classe e programa oficial do INIDE / Ministério da Educação de Angola (confirme a edição em vigor).
- Norma ISO 128 (princípios de representação) para convenções de traço; confirme a versão atual antes de citar.
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