Como traçar um octógono regular?

Quando se aplica

O octógono regular é um polígono com 8 lados iguais e 8 ângulos iguais. Aparece em sinais de paragem, tampos de mesa, pavimentos, janelas e peças mecânicas. No Desenho Técnico, pede-se de duas maneiras: dado o raio da circunferência onde ele fica inscrito, ou dado o lado (ou o quadrado onde ele deve caber).

Pré-requisitos

• Traçar uma perpendicular (diâmetros em ângulo reto) com régua e compasso.
• Traçar a bissetriz de um ângulo e a mediatriz de um segmento.
• Usar o compasso com a abertura fixa, sem a alterar entre arcos que devem ser iguais.

Números que convém conhecer

Aqui, R é o raio da circunferência circunscrita e L é o lado do quadrado que contém o octógono (a distância entre dois lados opostos).

Método passo a passo

Método 1 — Inscrito numa circunferência (por bissetrizes)

1. Trace a circunferência com centro O e o raio pedido.
2. Trace dois diâmetros perpendiculares, AB e CD. Os quatro pontos A, C, B, D dividem a circunferência em 4 partes iguais (o quadrado inscrito).
3. Bissete um dos ângulos retos (por exemplo, o ângulo AOC): com o compasso em A e em C, trace arcos com a mesma abertura que se cruzem, e una o cruzamento a O. A bissetriz corta a circunferência no ponto médio do arco AC.
4. Repita nos outros três ângulos retos. Obtém mais 4 pontos. No total, 8 pontos separados por 45°.
5. Una os pontos consecutivos com a régua e reforce o contorno.
6. Verifique medindo os lados: têm de ser todos iguais.

Dica prática: a bissetriz do ângulo AOC e a do ângulo BOD formam um único diâmetro; traçando duas bissetrizes (dois diâmetros) já tem os 4 pontos novos.

Método 2 — A partir de um quadrado (cantos cortados)

1. Trace o quadrado ABCD com o lado L pedido.
2. Trace as duas diagonais. Cruzam-se no centro O.
3. Com o compasso em A, abertura AO (metade da diagonal), trace um arco que corte os lados do quadrado que saem de A. Os dois pontos de corte ficam a igual distância de A.
4. Repita em B, C e D, sempre com a mesma abertura.
5. Obtém 8 pontos, dois em cada lado do quadrado. Una os pontos consecutivos: ficam cortados os quatro cantos e o octógono é regular.

Este método é muito útil quando o octógono tem de caber num quadrado dado, porque o octógono fica com os lados alternados sobre os lados do quadrado.

Método 3 — Dado o lado

Se só conhece o lado l, calcule o raio R = l ÷ 0,765 (ou construa o ângulo ao centro de 45° sobre o lado) e depois use o Método 1. Também pode usar o quadrado de lado L = l × (1 + √2) ≈ 2,414 × l e aplicar o Método 2.

Exemplos resolvidos

Erros frequentes

• Alterar a abertura do compasso entre arcos que devem ser iguais, o que desloca os pontos e deixa lados desiguais. Fixe o compasso e só o mude de propósito.
• Bissetar só dois dos quatro ângulos retos e ficar com 6 pontos em vez de 8. Conte sempre os pontos antes de unir.
• Diâmetros que não são perpendiculares, por falta de rigor com o esquadro. Todo o octógono sai deformado.
• Usar o Método 2 com a abertura errada (por exemplo, o lado do quadrado em vez de metade da diagonal). Os cantos cortados saem desiguais.
• Confundir o raio com o lado: num octógono, o lado é menor do que o raio (cerca de 0,765 do raio). Só no hexágono é que lado e raio são iguais.
• Unir os pontos fora de ordem, o que forma uma estrela em vez do polígono.