Estatística · 8.ª–12.ª classe

Como calcular os quartis de um conjunto de dados?

  • 10 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para calcular os quartis, ordene os dados por ordem crescente, encontre a mediana (Q2), que divide a lista em duas metades, e calcule a mediana da metade inferior (Q1) e a mediana da metade superior (Q3). Assim, cada quartil deixa cerca de 25% dos valores abaixo de si, o Q2 deixa 50% e o Q3 deixa 75%.

O que são os quartis

Os quartis são três valores que dividem um conjunto de dados ordenado em quatro partes com aproximadamente o mesmo número de observações:

  • Q1 (primeiro quartil): deixa à esquerda cerca de 25% dos dados.
  • Q2 (segundo quartil): coincide com a mediana; deixa 50% dos dados de cada lado.
  • Q3 (terceiro quartil): deixa à esquerda cerca de 75% dos dados.

Servem para perceber como os valores se distribuem e não apenas qual é o valor médio. Com os quartis calcula-se ainda a amplitude interquartil, que mede a dispersão da metade central dos dados:

Amplitude interquartil

AIQ = Q3 − Q1

Condições de aplicação

  • Os dados têm de ser quantitativos (números que se podem ordenar).
  • É obrigatório ordenar os dados antes de qualquer cálculo.
  • Existem vários métodos de cálculo dos quartis. Neste artigo usa-se o método da mediana das duas metades, comum no ensino secundário. A calculadora e o computador podem dar valores ligeiramente diferentes; confirme no manual da sua classe qual é o método adotado nas aulas e nos exames.

Método passo a passo

  1. Ordene os dados do menor para o maior e conte quantos são (n).
  2. Encontre a mediana (Q2). Se n é ímpar, é o valor central; se n é par, é a média dos dois valores centrais.
  3. Separe a lista em duas metades: a metade inferior (valores à esquerda da mediana) e a superior (à direita). Se n for ímpar, a mediana não entra em nenhuma das metades neste método.
  4. Q1 = mediana da metade inferior.
  5. Q3 = mediana da metade superior.
  6. Verifique: deve ter-se Q1 ≤ Q2 ≤ Q3 e os três valores têm de estar entre o mínimo e o máximo.

Nota

Lembrete para achar a mediana de k valores ordenados: se k é ímpar, o valor está na posição (k + 1) ÷ 2; se k é par, calcule a média dos valores nas posições k ÷ 2 e k ÷ 2 + 1.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Número ímpar de dados

Enunciado: Sete estudantes tiveram as notas 11, 15, 8, 13, 10, 16 e 12. Calcule os três quartis.

Resolução:

  1. Ordenar: 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16 (n = 7).
  2. Mediana: o valor da posição (7 + 1) ÷ 2 = 4, ou seja, 12. Logo Q2 = 12.
  3. Metade inferior (sem a mediana): 8, 10, 11. A sua mediana é 10. Logo Q1 = 10.
  4. Metade superior: 13, 15, 16. A sua mediana é 15. Logo Q3 = 15.

Resposta: Q1 = 10, Q2 = 12 e Q3 = 15. Verificação: 10 ≤ 12 ≤ 15 e todos estão entre 8 e 16. Amplitude interquartil: 15 − 10 = 5.

Exemplo 2 — Número par de dados

Enunciado: Num mercado, oito vendedoras venderam, num dia, 3, 5, 6, 8, 9, 12, 14 e 15 sacos de fuba. Calcule Q1, Q2 e Q3.

Resolução:

  1. Os dados já estão ordenados (n = 8).
  2. Mediana: média dos valores das posições 4 e 5, isto é (8 + 9) ÷ 2 = 8,5. Logo Q2 = 8,5.
  3. Metade inferior: 3, 5, 6, 8. Mediana = (5 + 6) ÷ 2 = 5,5. Logo Q1 = 5,5.
  4. Metade superior: 9, 12, 14, 15. Mediana = (12 + 14) ÷ 2 = 13. Logo Q3 = 13.

Resposta: Q1 = 5,5, Q2 = 8,5 e Q3 = 13. Verificação: cada metade tem 4 valores e 5,5 ≤ 8,5 ≤ 13. A amplitude interquartil é 13 − 5,5 = 7,5.

Exemplo 3 — Dados desordenados e valores atípicos

Enunciado: Registaram-se, em minutos, as durações de 11 viagens de candongueiro: 25, 12, 30, 18, 22, 15, 40, 20, 35, 28, 18. Calcule os quartis e diga se algum valor é atípico, usando os limites Q1 − 1,5 × AIQ e Q3 + 1,5 × AIQ.

Resolução:

  1. Ordenar: 12, 15, 18, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35, 40 (n = 11).
  2. Mediana: posição (11 + 1) ÷ 2 = 6, valor 22. Q2 = 22.
  3. Metade inferior: 12, 15, 18, 18, 20. A mediana é o 3.º valor: 18. Q1 = 18.
  4. Metade superior: 25, 28, 30, 35, 40. A mediana é o 3.º valor: 30. Q3 = 30.
  5. AIQ = 30 − 18 = 12; 1,5 × 12 = 18.
  6. Limite inferior: 18 − 18 = 0. Limite superior: 30 + 18 = 48.

Resposta: Q1 = 18, Q2 = 22, Q3 = 30. Todos os valores estão entre 0 e 48, por isso não há valores atípicos. Verificação: o menor valor (12) e o maior (40) estão dentro dos limites.

Exemplo 4 — Valores repetidos

Enunciado: Doze alunos fizeram um teste com as seguintes pontuações: 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 12, 12. Determine os quartis e a amplitude interquartil.

Resolução:

  1. Já ordenados, n = 12 (os valores repetidos contam todos).
  2. Mediana: média das posições 6 e 7: (7 + 8) ÷ 2 = 7,5. Q2 = 7,5.
  3. Metade inferior: 4, 4, 5, 6, 6, 7. Posições centrais 3 e 4: (5 + 6) ÷ 2 = 5,5. Q1 = 5,5.
  4. Metade superior: 8, 9, 9, 10, 12, 12. Posições centrais 3 e 4: (9 + 10) ÷ 2 = 9,5. Q3 = 9,5.
  5. AIQ = 9,5 − 5,5 = 4.

Resposta: Q1 = 5,5, Q2 = 7,5, Q3 = 9,5 e AIQ = 4. Verificação: cada metade tem 6 valores e a metade superior começa depois da mediana.

Erros frequentes

  • Não ordenar os dados. Calcular com a lista pela ordem em que foi recolhida dá resultados sem sentido. Ordene sempre primeiro.
  • Incluir a mediana nas duas metades quando n é ímpar (neste método ela fica de fora). Se o seu manual usar outro método, siga o do manual, mas seja coerente do princípio ao fim.
  • Confundir posição com valor. O número 4 da posição «(7 + 1) ÷ 2 = 4» não é o quartil; o quartil é o valor que está nessa posição.
  • Esquecer os valores repetidos. Se o 9 aparece duas vezes, ocupa duas posições na lista.
  • Dividir a lista ao meio de forma desigual, deixando metades com números diferentes de elementos quando n é par.
  • Trocar Q2 por média. O segundo quartil é a mediana, que só coincide com a média por acaso.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule os quartis do conjunto 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.

Ver dica

São 7 valores, já ordenados: a mediana é o valor central e não pertence a nenhuma das metades.

Ver solução

n = 7; mediana = 4.º valor = 11, logo Q2 = 11. Metade inferior: 5, 7, 9, com mediana 7, logo Q1 = 7. Metade superior: 13, 15, 17, com mediana 15, logo Q3 = 15. Q1 = 7, Q2 = 11, Q3 = 15.

2Exercício 2

Calcule Q1, Q2 e Q3 do conjunto 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Ver solução

n = 6; mediana = (6 + 8) ÷ 2 = 7, logo Q2 = 7. Metade inferior: 2, 4, 6, com mediana 4, logo Q1 = 4. Metade superior: 8, 10, 12, com mediana 10, logo Q3 = 10. Q1 = 4, Q2 = 7, Q3 = 10.

3Exercício 3

Os preços (em milhares de kwanzas) de nove telemóveis usados são: 20, 14, 18, 9, 25, 16, 12, 22, 19. Determine os quartis e a amplitude interquartil.

Ver dica

Comece por ordenar.

Ver solução

Ordenados: 9, 12, 14, 16, 18, 19, 20, 22, 25 (n = 9). Mediana: 5.º valor = 18, logo Q2 = 18. Metade inferior: 9, 12, 14, 16, com mediana (12 + 14) ÷ 2 = 13, logo Q1 = 13. Metade superior: 19, 20, 22, 25, com mediana (20 + 22) ÷ 2 = 21, logo Q3 = 21. AIQ = 21 − 13 = 8 (milhares de kwanzas).

4Exercício 4

Calcule os quartis do conjunto 1, 3, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15 e a amplitude interquartil.

Ver solução

n = 10; mediana = (6 + 7) ÷ 2 = 6,5, logo Q2 = 6,5. Metade inferior: 1, 3, 3, 4, 6, com mediana 3, logo Q1 = 3. Metade superior: 7, 9, 10, 12, 15, com mediana 10, logo Q3 = 10. AIQ = 10 − 3 = 7.

5Exercício 5

Dado o conjunto 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 60, calcule os quartis e diga se o valor 60 é atípico (limites Q1 − 1,5 × AIQ e Q3 + 1,5 × AIQ).

Ver dica

Com n = 9, a mediana é o 5.º valor e cada metade tem 4 elementos.

Ver solução

Mediana = 5.º valor = 15, logo Q2 = 15. Metade inferior: 10, 12, 13, 14, com mediana (12 + 13) ÷ 2 = 12,5, logo Q1 = 12,5. Metade superior: 16, 17, 18, 60, com mediana (17 + 18) ÷ 2 = 17,5, logo Q3 = 17,5. AIQ = 17,5 − 12,5 = 5; 1,5 × 5 = 7,5. Limites: 12,5 − 7,5 = 5 e 17,5 + 7,5 = 25. Como 60 > 25, o valor 60 é atípico.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula para calcular os quartis?

Para dados não agrupados não há uma única fórmula: usa-se um procedimento de posições e medianas, como o descrito acima. Para dados agrupados em classes existe uma fórmula de interpolação, que o seu manual apresenta; confirme no manual da classe qual é a que deve usar.

Como verificar se o resultado está correto?

Confirme que Q1 ≤ Q2 ≤ Q3, que os três estão entre o mínimo e o máximo e que, de cada lado de um quartil, ficam aproximadamente 25% dos valores. Pode também contar: no Exemplo 1, abaixo de Q1 = 10 está só o 8, isto é, uma entre sete observações.

Porque é que a calculadora dá um Q1 diferente do meu?

Porque há vários métodos de cálculo para os quartis. Algumas calculadoras incluem a mediana nas metades ou interpolam entre posições. Nas provas, siga o método ensinado pelo professor e indicado no manual.

Qual a diferença entre quartis e percentis?

Os quartis dividem os dados em 4 partes, e os percentis em 100. Q1 corresponde ao percentil 25, Q2 ao percentil 50 e Q3 ao percentil 75.

Resumo

  • Os quartis Q1, Q2 e Q3 dividem os dados ordenados em quatro partes aproximadamente iguais.
  • Q2 é a mediana; Q1 e Q3 são as medianas da metade inferior e da metade superior.
  • Ordene sempre os dados antes de calcular e conte os valores repetidos.
  • Amplitude interquartil: AIQ = Q3 − Q1, que mede a dispersão da metade central dos dados.
  • Os resultados podem variar ligeiramente conforme o método; siga o do seu manual.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática (ou de Estatística) da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • Para Portugal, as Aprendizagens Essenciais da Direção-Geral da Educação e os manuais aprovados.
  • O manual aberto OpenStax Introductory Statistics (em inglês), no capítulo sobre medidas de localização e diagramas de caixa.

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