Física · 9.ª–12.ª classe
Como construir imagens em espelhos esféricos?
Resposta curta
Para construir a imagem de um ponto num espelho esférico, desenhe dois raios notáveis que saiam desse ponto (por exemplo, um paralelo ao eixo e outro que passe pelo foco ou pelo centro de curvatura). Onde os raios refletidos se cruzam, ou onde os seus prolongamentos se cruzam, fica a imagem desse ponto.
Quando se aplica
O método aplica-se a espelhos esféricos de pequena abertura, ou seja, calotes de esfera polidas: o côncavo (reflete pelo lado de dentro da curva, como o espelho de barbear ou de maquilhagem) e o convexo (reflete pelo lado de fora, como um retrovisor de carro ou o espelho de segurança de uma loja).
Pré-requisitos e vocabulário
- Vértice (V): centro do espelho, onde o eixo principal o toca.
- Eixo principal: reta que passa pelo vértice e pelo centro de curvatura.
- Centro de curvatura (C): centro da esfera a que o espelho pertence; R é o raio de curvatura.
- Foco (F): ponto a meio entre V e C. A distância focal é f = R ÷ 2.
- Imagem real: formada por raios que de facto se cruzam; pode ser projetada num ecrã.
- Imagem virtual: formada pelos prolongamentos dos raios; só se vê "dentro" do espelho.
Relações dos espelhos esféricos
f = R ÷ 2 1 ÷ f = 1 ÷ p + 1 ÷ p′ Ampliação: A = − p′ ÷ p = h′ ÷ h
Convenção usada aqui: f positivo no côncavo e negativo no convexo; p e p′ positivos para objeto/imagem reais e negativos para imagem virtual; A negativa significa imagem invertida. Confirme a convenção de sinais do seu manual, porque existem variantes.
Método passo a passo
- Desenhe o eixo principal na horizontal e o espelho (uma curva) à direita ou à esquerda. Marque V, F e C (CF = FV = f).
- Desenhe o objeto como uma seta vertical sobre o eixo, na posição pedida.
- Do topo da seta, trace dois raios notáveis (ou três, para confirmar):
- Raio paralelo ao eixo: depois de refletido, passa pelo foco (côncavo) ou parece vir do foco (convexo).
- Raio que passa pelo foco (côncavo): é refletido paralelo ao eixo.
- Raio que passa pelo centro C: incide na normal e volta sobre si mesmo.
- Raio que incide no vértice V: é refletido com o mesmo ângulo do outro lado do eixo.
- Marque onde os raios refletidos se cruzam. Se não se cruzam, prolongue-os para trás do espelho com tracejado: o cruzamento dá uma imagem virtual.
- Desenhe a seta da imagem desde o eixo até ao ponto de cruzamento.
- Classifique a imagem: real ou virtual, direita ou invertida, maior ou menor, e a posição.
- Confirme com 1 ÷ f = 1 ÷ p + 1 ÷ p′.
Resumo das imagens no espelho côncavo
| Posição do objeto | Imagem |
|---|---|
| Antes de C (p maior que R) | real, invertida, menor, entre F e C |
| Em C | real, invertida, do mesmo tamanho, em C |
| Entre C e F | real, invertida, maior, depois de C |
| Em F | sem imagem (raios refletidos paralelos) |
| Entre F e V | virtual, direita, maior |
No espelho convexo, qualquer que seja a posição do objeto, a imagem é virtual, direita e menor, entre V e F.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Objeto antes do centro de curvatura
Enunciado: Um espelho côncavo tem f = 10 cm. Um objeto de 4,0 cm de altura está a 30 cm do espelho. Descreva a construção e determine posição, natureza e altura da imagem.
Resolução:
- C está a 20 cm e F a 10 cm do vértice. O objeto (30 cm) está antes de C. Numa folha quadriculada, use 1 quadrado = 5 cm.
- Raio paralelo ao eixo: é refletido passando por F. Raio que passa por C: volta sobre si. Os dois cruzam-se entre F e C.
- Equação: 1 ÷ p′ = 1 ÷ 10 − 1 ÷ 30 = 3 ÷ 30 − 1 ÷ 30 = 2 ÷ 30, logo p′ = 15 cm.
- A = − p′ ÷ p = − 15 ÷ 30 = − 0,5; h′ = A × h = − 0,5 × 4,0 = − 2,0 cm.
Resposta: imagem real, invertida e menor, a 15 cm do espelho, com 2,0 cm de altura. Verificação: 15 cm está entre F (10 cm) e C (20 cm), como na tabela.
Exemplo 2 — Objeto entre C e F
Enunciado: No mesmo espelho (f = 10 cm), o objeto de 3,0 cm passa para 15 cm do espelho. Determine a imagem.
Resolução:
- O objeto está entre F (10 cm) e C (20 cm).
- 1 ÷ p′ = 1 ÷ 10 − 1 ÷ 15 = 3 ÷ 30 − 2 ÷ 30 = 1 ÷ 30, logo p′ = 30 cm.
- A = − 30 ÷ 15 = − 2; h′ = − 2 × 3,0 = − 6,0 cm.
Resposta: imagem real, invertida e maior (6,0 cm), a 30 cm do espelho, depois de C. Verificação: p′ = 30 cm é maior do que R = 20 cm, como previsto.
Exemplo 3 — O espelho de maquilhagem (objeto entre F e V)
Enunciado: Um espelho côncavo com f = 10 cm é usado para ver o rosto de perto: o objeto fica a 5,0 cm do espelho. Caracterize a imagem.
Resolução:
- O objeto está entre V e F (5 cm menor do que 10 cm).
- 1 ÷ p′ = 1 ÷ 10 − 1 ÷ 5 = 1 ÷ 10 − 2 ÷ 10 = − 1 ÷ 10, logo p′ = − 10 cm.
- A = − p′ ÷ p = − (− 10) ÷ 5 = + 2.
Resposta: imagem virtual, direita e duas vezes maior, a 10 cm atrás do espelho. Verificação: p′ negativo e A positiva, o que é típico de imagem virtual e direita; no desenho os raios refletidos divergem e só os prolongamentos se cruzam.
Exemplo 4 — Nível de exame: espelho convexo de segurança
Enunciado: Numa loja de Luanda, um espelho convexo de segurança tem distância focal f = − 1,0 m. Um cliente de 1,8 m de altura está a 4,0 m do espelho. Determine a posição, a natureza e a altura da imagem.
Resolução:
- 1 ÷ p′ = 1 ÷ f − 1 ÷ p = − 1 ÷ 1,0 − 1 ÷ 4,0 = − 4 ÷ 4 − 1 ÷ 4 = − 5 ÷ 4, logo p′ = − 0,8 m.
- A = − p′ ÷ p = 0,8 ÷ 4,0 = + 0,20.
- h′ = 0,20 × 1,8 m = 0,36 m.
Resposta: imagem virtual, direita e menor, a 0,80 m atrás do espelho (entre V e F, pois 0,80 m é menor do que 1,0 m), com 0,36 m de altura. Verificação: está de acordo com a regra do convexo e explica o campo de visão largo destes espelhos.
Erros frequentes
- Traçar raios que não são notáveis. Escolha sempre dois dos quatro raios descritos; qualquer outro é difícil de prever.
- Esquecer os prolongamentos tracejados quando os raios refletidos não se cruzam; sem eles não se encontra a imagem virtual.
- Marcar F no sítio de C (ou o inverso). C está ao dobro da distância de F ao vértice.
- Trocar os sinais na equação. f é negativo no convexo; se mantiver f positivo, a imagem sai errada.
- Esquecer que A negativa significa imagem invertida, e não "menor".
- Medir distâncias a partir do foco em vez de a partir do vértice.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Um espelho côncavo tem f = 12 cm. Um objeto está a 36 cm do espelho. Determine a posição da imagem e a ampliação.
Ver solução
1 ÷ p′ = 1 ÷ 12 − 1 ÷ 36 = 3 ÷ 36 − 1 ÷ 36 = 2 ÷ 36, logo p′ = 18 cm. A = − 18 ÷ 36 = − 0,5. A imagem é real, invertida e menor, a 18 cm do espelho.
2Exercício 2
Um espelho côncavo tem raio de curvatura R = 40 cm. Coloca-se um objeto a 40 cm do espelho. Caracterize a imagem.
Ver dica
Primeiro calcule f = R ÷ 2.
Ver solução
f = 20 cm. 1 ÷ p′ = 1 ÷ 20 − 1 ÷ 40 = 2 ÷ 40 − 1 ÷ 40 = 1 ÷ 40, logo p′ = 40 cm e A = − 40 ÷ 40 = − 1. A imagem é real, invertida, do mesmo tamanho e forma-se no próprio centro de curvatura C.
3Exercício 3
Um espelho convexo tem f = − 15 cm. Um objeto de 9,0 cm de altura está a 30 cm. Calcule a posição e a altura da imagem.
Ver solução
1 ÷ p′ = − 1 ÷ 15 − 1 ÷ 30 = − 2 ÷ 30 − 1 ÷ 30 = − 3 ÷ 30 = − 1 ÷ 10, logo p′ = − 10 cm. A = 10 ÷ 30 = 1 ÷ 3. h′ = 9,0 ÷ 3 = 3,0 cm. Imagem virtual, direita, menor, a 10 cm atrás do espelho.
4Exercício 4
Um espelho côncavo tem f = 10 cm. Um objeto de 3,0 cm está a 4,0 cm do espelho. Determine posição, natureza e altura da imagem.
Ver solução
1 ÷ p′ = 1 ÷ 10 − 1 ÷ 4 = 2 ÷ 20 − 5 ÷ 20 = − 3 ÷ 20, logo p′ = − 20 ÷ 3 ≈ − 6,7 cm. A = 6,67 ÷ 4 ≈ 1,67; h′ = 1,67 × 3,0 = 5,0 cm. Imagem virtual, direita e maior, a cerca de 6,7 cm atrás do espelho, com 5,0 cm de altura.
5Exercício 5
Um objeto a 20 cm de um espelho côncavo forma uma imagem real a 60 cm do espelho. Determine a distância focal, o raio de curvatura e a ampliação.
Ver solução
1 ÷ f = 1 ÷ 20 + 1 ÷ 60 = 3 ÷ 60 + 1 ÷ 60 = 4 ÷ 60, logo f = 15 cm e R = 2 × 15 = 30 cm. A = − 60 ÷ 20 = − 3: imagem real, invertida e três vezes maior.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Usa-se sempre que se pede a imagem de um objeto num espelho côncavo ou convexo, sobretudo em problemas de ótica geométrica. O desenho serve para classificar a imagem e a equação dá os valores numéricos.
Existe um método mais rápido?
A equação 1 ÷ f = 1 ÷ p + 1 ÷ p′ dá a posição e o tamanho sem desenho, mas o desenho com dois raios ajuda a detetar erros de sinal. O ideal é fazer os dois e comparar.
Porque é que a imagem no retrovisor parece mais pequena?
Porque o retrovisor convexo dá sempre imagem virtual, direita e menor, o que permite ver uma zona larga atrás do veículo. Por isso, os objetos podem parecer mais longe do que estão.
Que erros são mais comuns?
Esquecer os prolongamentos dos raios, trocar F e C e usar f positivo num espelho convexo. Veja a secção «Erros frequentes».
Resumo
- Cada ponto da imagem obtém-se com dois raios notáveis: paralelo ao eixo, pelo foco, pelo centro C ou no vértice.
- Raios refletidos que se cruzam dão imagem real; só os prolongamentos dão imagem virtual.
- f = R ÷ 2 e 1 ÷ f = 1 ÷ p + 1 ÷ p′; A = − p′ ÷ p.
- Côncavo: a imagem depende da posição do objeto; convexo: sempre virtual, direita e menor.
- Confirme o desenho com a equação e verifique a convenção de sinais do seu manual.
Onde aprofundar
- O manual de Física da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola), na secção de Ótica; confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Physics (em inglês), capítulo sobre imagens formadas por espelhos.
- O Sistema Internacional de Unidades, descrito pelo BIPM.
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