Geometria Analítica · 1.º ano (indicativo)

Como calcular o produto escalar a partir das coordenadas?

  • 6 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

O produto escalar de dois vetores dados por coordenadas calcula-se multiplicando as coordenadas correspondentes e somando os produtos: u·v = u1v1 + u2v2 (+ u3v3 no espaço). O resultado é um número, não um vetor. Se for zero, os vetores são perpendiculares.

Fórmula e significado de cada termo

Produto escalar por coordenadas

No plano: u·v = u1v1 + u2v2 No espaço: u·v = u1v1 + u2v2 + u3v3 Ângulo θ: cos θ = (u·v)/(|u|·|v|)

Legenda: ui, vi são as coordenadas dos vetores; |u| e |v| são as normas (comprimentos); θ é o ângulo entre os vetores (entre 0° e 180°), com u e v não nulos.

Condições de aplicação

  • Os dois vetores têm o mesmo número de coordenadas.
  • u·v = 0 se e só se u e v são ortogonais (perpendiculares), para vetores não nulos.
  • u·v maior que 0: ângulo agudo; u·v menor que 0: ângulo obtuso.
  • Propriedades: u·v = v·u e u·u = |u|2.

Passo a passo

  1. Escreva as coordenadas dos dois vetores (se vierem de pontos, calcule B − A).
  2. Multiplique as primeiras coordenadas, as segundas (e as terceiras).
  3. Some os produtos para obter u·v (um número).
  4. Para o ângulo, calcule |u| e |v| com √(soma dos quadrados) e use cos θ = u·v/(|u||v|).
  5. Para a ortogonalidade, verifique se u·v = 0.
  6. Verifique o sinal: positivo, negativo ou zero deve ser coerente com o ângulo.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Produto escalar no plano

Enunciado: Calcule u·v com u = (2, 3) e v = (4, −1).

Resolução:

  1. 2 × 4 = 8.
  2. 3 × (−1) = −3.
  3. Soma: 8 + (−3) = 5.

Resposta: u·v = 5. Verificação: é um número positivo, logo o ângulo entre u e v é agudo.

Exemplo 2 — Produto escalar no espaço

Enunciado: Calcule u·v com u = (1, −2, 3) e v = (2, 0, −1).

Resolução:

  1. 1 × 2 = 2; (−2) × 0 = 0; 3 × (−1) = −3.
  2. Soma: 2 + 0 − 3 = −1.

Resposta: u·v = −1. Verificação: o resultado é negativo, logo o ângulo é obtuso (ligeiramente acima de 90°).

Exemplo 3 — Ângulo entre dois vetores

Enunciado: Calcule o ângulo entre u = (1, 1) e v = (1, 0).

Resolução:

  1. u·v = 1 × 1 + 1 × 0 = 1.
  2. |u| = √(1 + 1) = √2 e |v| = √1 = 1.
  3. cos θ = 1/(√2 × 1) = 1/√2 = √2/2.
  4. θ = 45°.

Resposta: 45°. Verificação: u = (1, 1) faz 45° com o eixo dos x, e v = (1, 0) está sobre esse eixo ✓.

Exemplo 4 — Nível de exame: valor de k para vetores perpendiculares

Enunciado: Determine k para que u = (k, 3, −1) e v = (2, −1, 5) sejam ortogonais.

Resolução:

  1. u·v = k × 2 + 3 × (−1) + (−1) × 5 = 2k − 3 − 5 = 2k − 8.
  2. Ortogonais: u·v = 0, logo 2k − 8 = 0 e k = 4.

Resposta: k = 4. Verificação: com k = 4, u·v = 4·2 + 3·(−1) + (−1)·5 = 8 − 3 − 5 = 0 ✓.

Erros frequentes no cálculo

  • Dar como resposta um vetor (por exemplo, (8, −3)). O produto escalar é um número: some os produtos.
  • Multiplicar coordenadas cruzadas (u1 com v2); a regra é primeira com primeira, segunda com segunda.
  • Esquecer os sinais negativos ao multiplicar.
  • Esquecer as normas na fórmula do ângulo, usando cos θ = u·v.
  • Confundir produto escalar com produto vetorial (este só existe no espaço e dá um vetor).
  • Dar o ângulo em radianos ou graus sem indicar a unidade, ou esquecer que arccos devolve valores entre 0° e 180°.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule (5, −2)·(1, 4).

Ver solução

5 × 1 + (−2) × 4 = 5 − 8 = −3.

2Exercício 2

Os vetores (3, −6) e (4, 2) são perpendiculares?

Ver solução

(3)(4) + (−6)(2) = 12 − 12 = 0. Sim, são perpendiculares.

3Exercício 3

Calcule o ângulo entre u = (√3, 1) e v = (0, 2).

Ver dica

Calcule u·v, |u| e |v|.

Ver solução

u·v = √3 × 0 + 1 × 2 = 2; |u| = √(3 + 1) = 2; |v| = 2. cos θ = 2/(2 × 2) = 1/2, logo θ = 60°.

4Exercício 4

Determine k para que (k, 2, 1) e (3, k, −4) sejam ortogonais.

Ver solução

u·v = 3k + 2k − 4 = 5k − 4 = 0, logo k = 4/5. Verificação: (4/5)·3 + 2·(4/5) − 4 = 12/5 + 8/5 − 4 = 4 − 4 = 0 ✓.

5Exercício 5

Uma força F = (10, 5) N desloca um objeto segundo d = (3, 4) m. O trabalho é W = F·d. Calcule W em joules.

Ver solução

W = 10 × 3 + 5 × 4 = 30 + 20 = 50 J.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula para calcular o produto escalar a partir das coordenadas?

u·v = u1v1 + u2v2 no plano e acrescenta-se u3v3 no espaço. O resultado é um número real.

Como verificar se o resultado está correto?

Confirme que obteve um número e não um vetor. Teste a consistência do sinal com o ângulo. Se calcular o ângulo, confirme que cos θ está entre −1 e 1.

O que significa um produto escalar igual a zero?

Significa que os vetores são ortogonais (perpendiculares), desde que nenhum seja o vetor nulo. É o método habitual para provar que duas retas ou vetores são perpendiculares.

Que erros se cometem ao calcular o produto escalar a partir das coordenadas?

Dar um vetor como resposta, multiplicar coordenadas cruzadas e esquecer as normas ao calcular o ângulo. Veja a secção de erros.

Resumo

  • u·v = soma dos produtos das coordenadas homólogas; o resultado é um número.
  • cos θ = u·v/(|u||v|) permite obter o ângulo entre vetores.
  • u·v = 0 indica vetores ortogonais; sinal positivo, ângulo agudo; negativo, ângulo obtuso.
  • u·u = |u|2, o que liga o produto escalar à norma.
  • Em Física, o trabalho de uma força é o produto escalar força·deslocamento.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe/curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • Paulo Boulos e Ivan de Camargo, Geometria Analítica: um tratamento vetorial.
  • Winterle, Vetores e Geometria Analítica.

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