Geometria Analítica · 1.º ano (indicativo)
Como calcular a equação da reta que passa por dois pontos?
Resposta curta
Dados A(x1, y1) e B(x2, y2), calcule o declive m = (y2 − y1)/(x2 − x1) e escreva y − y1 = m(x − x1). Se x1 = x2, a reta é vertical, x = x1. Se y1 = y2, é horizontal, y = y1. Passe depois à forma geral ax + by + c = 0, se for pedido.
Fórmula e significado de cada termo
Por dois pontos distintos passa uma e uma só reta. Para a encontrar, calcula-se primeiro a inclinação e depois usa-se um dos pontos.
Reta por dois pontos
m = (y2 − y1) / (x2 − x1) (x1 ≠ x2) y − y1 = m · (x − x1)
- A(x1, y1) e B(x2, y2): os dois pontos dados, distintos.
- m: o declive, a variação de y por cada unidade de variação de x.
- (x, y): um ponto genérico da reta.
Forma com determinante
Também se pode impor que três pontos A, B e P(x, y) sejam colineares, escrevendo o determinante de linhas (x, y, 1), (x1, y1, 1), (x2, y2, 1) igual a zero. Isso dá diretamente a equação geral com coeficientes a = y1 − y2, b = x2 − x1 e c = x1y2 − x2y1.
Condições de aplicação
Os pontos têm de ser distintos. A fórmula do declive exige x1 ≠ x2; se forem iguais, a reta é vertical e não tem declive.
Passo a passo
- Identifique (x1, y1) e (x2, y2).
- Verifique os casos especiais: x1 = x2 (vertical) ou y1 = y2 (horizontal).
- Calcule o declive m = (y2 − y1)/(x2 − x1). Cuidado com os sinais nas subtrações.
- Escreva y − y1 = m(x − x1) com um dos pontos.
- Simplifique para y = mx + p ou para a forma geral.
- Verifique substituindo o outro ponto: tem de cumprir a equação.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Caso básico
Enunciado: Determine a reta que passa por A(1, 2) e B(3, 6).
Resolução:
- m = (6 − 2)/(3 − 1) = 4/2 = 2.
- y − 2 = 2(x − 1), isto é, y = 2x.
- Forma geral: 2x − y = 0.
Resposta: y = 2x, ou 2x − y = 0. Verificação: B(3, 6): 2·3 = 6. Pela fórmula do determinante, a = 2 − 6 = −4, b = 3 − 1 = 2, c = 1·6 − 3·2 = 0, isto é, −4x + 2y = 0, equivalente a 2x − y = 0.
Exemplo 2 — Declive negativo
Enunciado: Determine a reta que passa por A(−1, 4) e B(2, −2).
Resolução:
- m = (−2 − 4)/(2 − (−1)) = −6/3 = −2.
- y − 4 = −2(x + 1), logo y = −2x − 2 + 4 = −2x + 2.
- Forma geral: 2x + y − 2 = 0.
Resposta: y = −2x + 2, ou 2x + y − 2 = 0. Verificação: B(2, −2): 2·2 + (−2) − 2 = 0. E A(−1, 4): −2 + 4 − 2 = 0.
Exemplo 3 — Reta vertical e reta horizontal
Enunciado: Determine a reta por (3, 1) e (3, 5), e a reta por (−2, 4) e (5, 4).
Resolução:
- No primeiro par, x1 = x2 = 3: o declive não existe. A reta é vertical.
- No segundo par, y1 = y2 = 4: m = 0/7 = 0. A reta é horizontal.
Resposta: x = 3 (ou x − 3 = 0) e y = 4 (ou y − 4 = 0). Verificação: todos os pontos dados cumprem a respetiva equação.
Exemplo 4 — Nível de exame: modelo linear
Enunciado: Num serviço de táxi de uma cidade, com tarifa suposta linear (valores fictícios), 2 km custam 1 000 kz e 6 km custam 2 200 kz. Determine a equação que dá o preço y em função dos quilómetros x e o preço de 10 km.
Resolução:
- Pontos (2, 1 000) e (6, 2 200). m = (2 200 − 1 000)/(6 − 2) = 1 200/4 = 300 kz/km.
- y − 1 000 = 300(x − 2), logo y = 300x − 600 + 1 000 = 300x + 400.
- Para x = 10: y = 3 000 + 400 = 3 400.
Resposta: y = 300x + 400; 10 km custam 3 400 kz. Verificação: x = 6 dá 1 800 + 400 = 2 200 e x = 2 dá 600 + 400 = 1 000.
Erros frequentes no cálculo
- Trocar a ordem das subtrações só em cima ou só em baixo, por exemplo (y2 − y1)/(x1 − x2), o que muda o sinal de m.
- Erro de sinal em y − y1 = m(x − x1) quando as coordenadas são negativas: x − (−1) = x + 1.
- Dividir por zero quando x1 = x2. Neste caso a reta é x = x1.
- Não simplificar a forma geral (frações no resultado). Multiplique para obter coeficientes inteiros.
- Não verificar com o segundo ponto.
- Confundir declive com ordenada na origem: m é a inclinação; p é onde a reta corta o eixo dos yy.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Determine a reta que passa por (0, 3) e (2, 7).
Ver solução
m = (7 − 3)/(2 − 0) = 2. Como (0, 3) é o corte com o eixo dos yy, y = 2x + 3. Verificação: 2·2 + 3 = 7.
2Exercício 2
Determine a reta que passa por (1, 1) e (4, −5) e escreva-a na forma geral.
Ver solução
m = (−5 − 1)/(4 − 1) = −6/3 = −2. y − 1 = −2(x − 1), logo y = −2x + 3, ou 2x + y − 3 = 0. Verificação com (4, −5): 8 − 5 − 3 = 0.
3Exercício 3
Determine a reta por (−3, 2) e (1, 2).
Ver solução
As ordenadas são iguais: m = 0 e a reta é horizontal, y = 2.
4Exercício 4
Determine a reta por (2, −1) e (2, 6).
Ver solução
As abcissas são iguais: reta vertical, x = 2. O declive não existe.
5Exercício 5
Os pontos (1, 3), (3, 7) e (5, k) são colineares. Determine k.
Ver dica
Calcule a reta pelos dois primeiros pontos e substitua x = 5.
Ver solução
m = (7 − 3)/(3 − 1) = 2. y − 3 = 2(x − 1), logo y = 2x + 1. Com x = 5: y = 11. Portanto k = 11.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular a equação da reta que passa por dois pontos?
Primeiro o declive, m = (y2 − y1)/(x2 − x1); depois y − y1 = m(x − x1). Existe ainda a versão com determinante, que dá a forma geral diretamente.
Como verificar se o resultado está correto?
Substitua as coordenadas dos dois pontos na equação final. Ambos têm de a verificar. Se só um verificar, há erro no declive ou no sinal.
Que erros se cometem ao calcular a equação da reta que passa por dois pontos?
Trocar a ordem das subtrações no declive, errar o sinal quando há coordenadas negativas e esquecer os casos vertical e horizontal.
Importa qual dos pontos uso na fórmula?
Não. Qualquer dos dois dá a mesma reta depois de simplificada. Escolha o que tiver coordenadas mais simples.
Resumo
- Por dois pontos distintos passa uma única reta.
- Declive: m = (y2 − y1)/(x2 − x1); equação: y − y1 = m(x − x1).
- Se x1 = x2, a reta é vertical (x = constante); se y1 = y2, é horizontal.
- Pode usar-se qualquer dos pontos e, no fim, passar à forma geral.
- Verifique com o segundo ponto.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática ou Geometria Analítica da sua instituição e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola, ou da sua instituição) — confirme a edição em vigor.
- Boulos e Camargo, Geometria Analítica, e Winterle, Vetores e Geometria Analítica — confirme a edição disponível.
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