Geometria Analítica · 1.º ano (indicativo)

Como calcular a soma de dois vetores?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para somar dois vetores dados por coordenadas, some as coordenadas correspondentes: (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2). O resultado é um vetor. Geometricamente, coloca-se a origem de v na extremidade de u (regra do triângulo) ou usa-se a diagonal do paralelogramo.

Fórmula e significado de cada termo

Soma de vetores

No plano: u + v = (u1 + v1, u2 + v2) No espaço: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)

Legenda: u1, u2, u3 são as coordenadas (componentes) de u; v1, v2, v3 as de v. O vetor soma tem a mesma dimensão dos parcelas.

Condições de aplicação

  • Os dois vetores têm de ter o mesmo número de coordenadas (ambos no plano ou ambos no espaço).
  • Se tiver dois pontos A e B, o vetor AB obtém-se por B − A (extremidade menos origem).
  • A soma é comutativa (u + v = v + u), associativa e tem o vetor nulo como elemento neutro.
  • A norma da soma não é a soma das normas, exceto quando os vetores têm a mesma direção e sentido.

Passo a passo

  1. Escreva as coordenadas de cada vetor (se vierem de pontos, calcule B − A).
  2. Confirme que têm o mesmo número de coordenadas.
  3. Some a primeira com a primeira, a segunda com a segunda (e a terceira com a terceira).
  4. Escreva o vetor resultante entre parênteses.
  5. Se pedirem o comprimento, calcule a norma: √(x2 + y2) no plano, ou √(x2 + y2 + z2) no espaço.
  6. Verifique subtraindo um dos parcelas do resultado: deve obter o outro.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Soma no plano

Enunciado: Dados u = (3, 2) e v = (1, 4), calcule u + v.

Resolução:

  1. Primeira coordenada: 3 + 1 = 4.
  2. Segunda coordenada: 2 + 4 = 6.

Resposta: u + v = (4, 6). Verificação: (4, 6) − (1, 4) = (3, 2) = u ✓.

Exemplo 2 — Soma no espaço

Enunciado: Dados u = (2, −1, 5) e v = (−4, 3, 0), calcule u + v.

Resolução:

  1. 2 + (−4) = −2.
  2. −1 + 3 = 2.
  3. 5 + 0 = 5.

Resposta: u + v = (−2, 2, 5). Verificação: (−2, 2, 5) − (−4, 3, 0) = (2, −1, 5) ✓.

Exemplo 3 — Regra do triângulo com pontos

Enunciado: Dados A(1, 2), B(4, 6) e C(7, 6), verifique que AB + BC = AC.

Resolução:

  1. AB = B − A = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4).
  2. BC = C − B = (7 − 4, 6 − 6) = (3, 0).
  3. AB + BC = (3 + 3, 4 + 0) = (6, 4).
  4. AC = C − A = (7 − 1, 6 − 2) = (6, 4).

Resposta: AB + BC = (6, 4) = AC. Verificação: coincidem; é a regra do triângulo (ir de A a B e de B a C equivale a ir de A a C).

Exemplo 4 — Nível de exame: deslocamentos e vetor desconhecido

Enunciado: (a) Uma pessoa caminha 300 m para leste e depois 400 m para norte. Calcule o deslocamento total e a sua norma. (b) Dados u = (2, −3) e u + v = (5, 1), determine v e |u + v|.

Resolução:

(a)

  1. Com o eixo x para leste e y para norte: (300, 0) + (0, 400) = (300, 400).
  2. Norma: √(3002 + 4002) = √(90 000 + 160 000) = √250 000 = 500.

(b)

  1. v = (u + v) − u = (5 − 2, 1 − (−3)) = (3, 4).
  2. |u + v| = √(52 + 12) = √26 ≈ 5,10.

Resposta: (a) (300, 400), de norma 500 m; (b) v = (3, 4) e |u + v| = √26. Verificação: (a) 5002 = 250 000 ✓; (b) (2, −3) + (3, 4) = (5, 1) ✓.

Erros frequentes no cálculo

  • Somar as normas em vez de somar vetores: |u + v| só é |u| + |v| se forem paralelos com o mesmo sentido.
  • Calcular AB como A − B: o vetor AB é B − A.
  • Somar coordenadas diferentes (x com y) ou misturar vetores do plano com vetores do espaço.
  • Erros de sinal com coordenadas negativas: escreva as parcelas entre parênteses.
  • Confundir soma com produto escalar: a soma dá um vetor; o produto escalar dá um número.
  • Esquecer a regra de «origem na extremidade» quando se desenha a soma.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule (2, 5) + (−1, 3).

Ver solução

(2 + (−1), 5 + 3) = (1, 8).

2Exercício 2

Calcule (1, 0, −2) + (3, 4, 2).

Ver solução

(1 + 3, 0 + 4, −2 + 2) = (4, 4, 0).

3Exercício 3

Dados A(2, 1), B(5, 5) e C(9, 2), calcule AB + BC e confirme que é AC.

Ver solução

AB = (3, 4); BC = (4, −3); soma = (7, 1). AC = (9 − 2, 2 − 1) = (7, 1) ✓.

4Exercício 4

Calcule (4, −2) + (−4, 2). O que representa o resultado?

Ver solução

(0, 0), o vetor nulo. Os vetores são simétricos (opostos), u + (−u) = 0.

5Exercício 5

Dados u = (1, 2, 2) e v = (2, −2, 1), calcule |u|, |v|, u + v e |u + v|. Compare |u + v| com |u| + |v|.

Ver dica

Calcule as normas separadamente.

Ver solução
u= √(1 + 4 + 4) = 3;v= √(4 + 4 + 1) = 3; u + v = (3, 0, 3);u + v= √(9 + 0 + 9) = √18 = 3√2 ≈ 4,24. Comou+v= 6, vê-se que **u + vé menor queu+v**, porque os vetores não são paralelos.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula para calcular a soma de dois vetores?

Some as coordenadas homólogas: (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2); no espaço, inclua a terceira coordenada.

Como verificar se o resultado está correto?

Subtraia um dos vetores do resultado; deve obter o outro. Pode também confirmar com a regra do triângulo: para pontos A, B e C, AB + BC = AC.

Qual é a diferença entre a regra do triângulo e a do paralelogramo?

Na do triângulo, desenha-se v com origem na extremidade de u e a soma vai da origem de u à extremidade de v. Na do paralelogramo, os dois vetores partem da mesma origem e a soma é a diagonal.

Que erros se cometem ao calcular a soma de dois vetores?

Somar normas em vez de coordenadas, trocar a ordem em B − A e confundir soma com produto escalar. Veja a secção de erros.

Resumo

  • A soma de vetores faz-se coordenada a coordenada e resulta num vetor.
  • O vetor AB é B − A; vale AB + BC = AC (regra do triângulo).
  • A soma é comutativa e associativa; u + (−u) = 0.
  • |u + v| ≤ |u| + |v|, com igualdade só para vetores paralelos do mesmo sentido.
  • Verifique subtraindo um parcela ao resultado.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe/curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • Paulo Boulos e Ivan de Camargo, Geometria Analítica: um tratamento vetorial.
  • Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica (ou Winterle, Vetores e Geometria Analítica).

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