Geometria Analítica · 1.º ano (indicativo)

Como calcular o ângulo entre duas retas no plano?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

O ângulo agudo θ entre duas retas de declives m1 e m2 obtém-se com tg θ = |(m2 − m1) ÷ (1 + m1·m2)|, seguido de arctg. Se 1 + m1·m2 = 0, as retas são perpendiculares e o ângulo é 90°. Se os declives forem iguais, as retas são paralelas e o ângulo é 0°.

Quando se aplica

Duas retas concorrentes num plano formam quatro ângulos: dois agudos iguais e dois obtusos iguais, suplementares dos primeiros. Em Geometria Analítica, «o ângulo entre duas retas» designa, por convenção, o menor deles, ou seja, um valor entre 0° e 90°. Se o enunciado pedir expressamente o ângulo obtuso, calcula-se o agudo e subtrai-se a 180°.

Pré-requisitos

  • Saber obter o declive de uma reta: em y = mx + b o declive é m; na forma geral Ax + By + C = 0 (com B ≠ 0) o declive é m = −A ÷ B.
  • Saber que o declive é a tangente do ângulo de inclinação α que a reta faz com o semieixo positivo dos xx: m = tg α.
  • Saber usar a calculadora em modo graus para a função inversa tg−1 (arctg).

De onde vem a fórmula

Se as retas têm inclinações α1 e α2, o ângulo entre elas é a diferença α2 − α1 (em valor absoluto). Pela fórmula da tangente da diferença, tg(α2 − α1) = (tg α2 − tg α1) ÷ (1 + tg α1·tg α2). Substituindo as tangentes pelos declives obtém-se a fórmula da resposta curta. O módulo garante que o resultado é o ângulo agudo.

Ângulo entre duas retas (declives)

tg θ = | (m2 − m1) ÷ (1 + m1·m2) | com 0° ≤ θ ≤ 90° Perpendiculares: m1·m2 = −1 · Paralelas: m1 = m2

Alternativa com vetores

Se conhece vetores diretores u e v das retas, cos θ = |u·v| ÷ (|u|·|v|). Se conhece os vetores normais (os coeficientes (A, B) de cada equação geral), a fórmula é a mesma, porque o ângulo entre as retas é igual ao ângulo entre as suas normais. Esta via funciona também para retas verticais.

Método passo a passo

  1. Escreva as duas retas e identifique a forma em que estão (reduzida, geral, vetorial).
  2. Calcule os declives m1 e m2. Se alguma reta for vertical (x = constante), não tem declive: passe ao passo 6.
  3. Calcule o denominador 1 + m1·m2. Se for 0, o ângulo é 90° e o problema termina.
  4. Calcule o numerador m2 − m1 e divida: obtém tg θ (com o módulo).
  5. Aplique arctg em modo graus para obter θ.
  6. Caso vertical: o ângulo da outra reta com a vertical é 90° − α, onde α é a sua inclinação (tg α = m). Em alternativa, use vetores.
  7. Verifique que θ está entre 0° e 90° e, se possível, confirme por outra via (vetores normais).

Atenção

O sinal de menos dentro do módulo não pode ser ignorado antes de dividir: calcule a fração com os sinais e só depois tome o valor absoluto.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Duas retas na forma reduzida

Enunciado: Calcule o ângulo entre r: y = 2x + 1 e s: y = (1/3)x − 4.

Resolução:

  1. Os declives são m1 = 2 e m2 = 1/3.
  2. Denominador: 1 + 2 × (1/3) = 1 + 2/3 = 5/3.
  3. Numerador: 1/3 − 2 = −5/3.
  4. tg θ = |(−5/3) ÷ (5/3)| = |−1| = 1.
  5. θ = arctg 1 = 45°.

Resposta: θ = 45°. Verificação: as inclinações são arctg 2 ≈ 63,43° e arctg(1/3) ≈ 18,43°; a diferença é 45°.

Exemplo 2 — Retas na forma geral

Enunciado: Determine o ângulo agudo entre r: 3x − y + 4 = 0 e s: x + 2y − 6 = 0.

Resolução:

  1. Declive de r: m1 = −A ÷ B = −3 ÷ (−1) = 3.
  2. Declive de s: m2 = −1 ÷ 2 = −1/2.
  3. Denominador: 1 + 3 × (−1/2) = 1 − 3/2 = −1/2.
  4. Numerador: −1/2 − 3 = −7/2.
  5. tg θ = |(−7/2) ÷ (−1/2)| = 7, logo θ = arctg 7 ≈ 81,87°.

Resposta: θ ≈ 81,9°. Verificação: com os vetores normais n1 = (3, −1) e n2 = (1, 2): produto escalar = 3 − 2 = 1; |n1| = √10 e |n2| = √5; cos θ = 1 ÷ √50 ≈ 0,1414, e arccos 0,1414 ≈ 81,87°.

Exemplo 3 — Uma das retas é vertical

Enunciado: Calcule o ângulo entre a reta r: x = 2 e a reta s: y = x − 1.

Resolução:

  1. A reta r é vertical, não tem declive, por isso a fórmula dos declives não se aplica.
  2. A reta s tem declive 1, logo inclinação α = arctg 1 = 45°.
  3. Uma reta vertical tem inclinação 90°. A diferença é 90° − 45° = 45°.

Resposta: θ = 45°. Verificação: normais (1, 0) e (1, −1): cos θ = 1 ÷ (1 × √2) = √2/2, ou seja, 45°.

Exemplo 4 — Nível de exame: determinar um parâmetro

Enunciado: Para que valores de k as retas y = kx e y = 2x + 1 formam um ângulo de 45°?

Resolução:

  1. Como tg 45° = 1, temos |(2 − k) ÷ (1 + 2k)| = 1.
  2. Isto dá duas hipóteses: (2 − k) = (1 + 2k) ou (2 − k) = −(1 + 2k).
  3. Primeira: 2 − 1 = 2k + k, logo 3k = 1 e k = 1/3.
  4. Segunda: 2 − k = −1 − 2k, logo k = −3.

Resposta: k = 1/3 ou k = −3. Verificação: para k = 1/3, (2 − 1/3) ÷ (1 + 2/3) = (5/3) ÷ (5/3) = 1. Para k = −3, (2 + 3) ÷ (1 − 6) = 5 ÷ (−5) = −1, e o módulo é 1.

Erros frequentes

  • Esquecer o módulo e obter um ângulo negativo ou obtuso. Se tg θ sair negativa, tome o valor absoluto para ter o ângulo agudo.
  • Trocar o sinal do denominador: é 1 + m1·m2, e não 1 − m1·m2 (essa é a fórmula da tangente da soma).
  • Calcular mal o declive na forma geral: em Ax + By + C = 0 o declive é −A ÷ B; o sinal de menos é muitas vezes esquecido.
  • Usar a fórmula com uma reta vertical, onde m não existe. Use inclinações ou vetores.
  • Calculadora em radianos: arctg 1 dá 0,785 em radianos e 45 em graus. Confirme o modo antes de começar.
  • Concluir «paralelas» quando 1 + m1·m2 = 0: nesse caso as retas são perpendiculares; paralelas são as de declives iguais (numerador zero).

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule o ângulo entre y = x + 1 e y = 0.

Ver dica

O declive do eixo dos xx é zero.

Ver solução

m1 = 1 e m2 = 0. tg θ = |(0 − 1) ÷ (1 + 0)| = 1, logo θ = 45°.

2Exercício 2

Mostre que as retas y = 2x e y = −x/2 são perpendiculares.

Ver solução

m1·m2 = 2 × (−1/2) = −1. O denominador 1 + m1·m2 é 0, portanto o ângulo é 90°: as retas são perpendiculares.

3Exercício 3

Calcule o ângulo agudo entre 2x − 2y + 5 = 0 e y = 3x.

Ver solução

Declive da primeira: −2 ÷ (−2) = 1. Declive da segunda: 3. tg θ = |(3 − 1) ÷ (1 + 3)| = 2/4 = 0,5. Então θ = arctg 0,5 ≈ 26,6°.

4Exercício 4

Use vetores para calcular o ângulo entre as retas de vetores diretores u = (1, 2) e v = (3, 1).

Ver dica

cos θ = |u·v| ÷ (|u|·|v|).

Ver solução

u·v = 1×3 + 2×1 = 5. |u| = √5 e |v| = √10, logo |u|·|v| = √50 = 5√2. cos θ = 5 ÷ (5√2) = 1/√2 = √2/2, portanto θ = 45°.

5Exercício 5

Determine k para que as retas y = kx + 1 e y = 3x − 2 sejam perpendiculares. Depois determine o ângulo entre y = 3x − 2 e a vertical x = 5.

Ver solução

Perpendiculares: k × 3 = −1, logo k = −1/3. Para a segunda parte, a inclinação de y = 3x − 2 é arctg 3 ≈ 71,57°; a vertical tem 90°. O ângulo é 90° − 71,57° ≈ 18,43°.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula para calcular o ângulo entre duas retas no plano?

Com declives, tg θ = |(m2 − m1) ÷ (1 + m1·m2)|. Com vetores diretores ou normais, cos θ = |u·v| ÷ (|u|·|v|). Ambas dão o ângulo agudo, entre 0° e 90°.

Como verificar se o resultado está correto?

Calcule por duas vias: declives e vetores normais, como no Exemplo 2. Confirme também que o resultado está entre 0° e 90° e que a calculadora estava em graus.

E se as retas forem paralelas ou coincidentes?

Com declives iguais, o numerador m2 − m1 é zero, logo tg θ = 0 e θ = 0°. Para saber se são coincidentes ou apenas paralelas, compare também os termos independentes.

Como obtenho o ângulo obtuso?

Calcule o agudo θ e faça 180° − θ. No Exemplo 2, o ângulo obtuso seria 180° − 81,87° = 98,13°.

Resumo

  • O ângulo entre duas retas é, por convenção, o ângulo agudo, entre 0° e 90°.
  • Com declives: tg θ = |(m2 − m1) ÷ (1 + m1·m2)|; depois aplica-se arctg em modo graus.
  • Perpendiculares: m1·m2 = −1. Paralelas: m1 = m2.
  • Em Ax + By + C = 0 o declive é −A ÷ B.
  • Para retas verticais, use inclinações ou vetores (cos θ = |u·v| ÷ (|u|·|v|)).
  • Confirme sempre por uma segunda via.

Onde aprofundar

  • O programa e o manual de Geometria Analítica da sua instituição de ensino superior — confirme a edição em vigor.
  • Boulos & Camargo, Geometria Analítica, e Winterle, Vetores e Geometria Analítica — confirme a edição disponível na sua biblioteca.

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