Álgebra Linear · 1.º ano (indicativo)
Como calcular o determinante de uma matriz 3×3?
Resposta curta
O determinante de uma matriz 3×3 calcula-se com a regra de Sarrus: some os produtos das três diagonais principais e subtraia os produtos das três diagonais secundárias. Com a matriz [a b c ; d e f ; g h i], det = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh. Em alternativa, use o desenvolvimento de Laplace.
Fórmula e significado de cada termo
Neste texto, as matrizes escrevem-se por linhas separadas por ponto e vírgula: [a b c ; d e f ; g h i] tem linhas (a, b, c), (d, e, f) e (g, h, i).
Regra de Sarrus
det = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh
Legenda: aei, bfg, cdh são os produtos das diagonais «descendentes» (a-e-i, b-f-g e c-d-h, estas duas últimas obtidas por «continuação cíclica» da matriz); ceg, bdi, afh são os produtos das diagonais «ascendentes», que se subtraem. São 6 termos no total, 3 com sinal + e 3 com sinal −.
Desenvolvimento de Laplace (pela primeira linha)
det = a·(ei − fh) − b·(di − fg) + c·(dh − eg). Cada parêntesis é o determinante 2×2 que sobra ao retirar a linha e a coluna do elemento. Escolher a linha ou coluna com mais zeros poupa trabalho.
Condições de aplicação
- Só existe determinante para matrizes quadradas.
- A regra de Sarrus é válida apenas para 3×3 (não para 4×4 ou maiores).
- det = 0 significa que a matriz não tem inversa (é singular).
Passo a passo
- Confirme que a matriz é 3×3.
- Escolha o método: Sarrus (sempre) ou Laplace (útil se houver zeros).
- Sarrus: calcule os três produtos «descendentes» e some-os.
- Calcule os três produtos «ascendentes» e some-os.
- Subtraia a segunda soma da primeira.
- Verifique com outro método (Laplace por outra linha) ou com propriedades (linha de zeros ⇒ det 0; trocar duas linhas muda o sinal).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Sarrus numa matriz sem zeros evidentes
Enunciado: Calcule o determinante de A = [1 2 3 ; 0 1 4 ; 5 6 0].
Resolução:
- Descendentes: aei = 1·1·0 = 0; bfg = 2·4·5 = 40; cdh = 3·0·6 = 0. Soma = 40.
- Ascendentes: ceg = 3·1·5 = 15; bdi = 2·0·0 = 0; afh = 1·4·6 = 24. Soma = 39.
- det = 40 − 39 = 1.
Resposta: det A = 1. Verificação: por Laplace na 1.ª linha: 1·(1·0 − 4·6) − 2·(0·0 − 4·5) + 3·(0·6 − 1·5) = −24 + 40 − 15 = 1 ✓.
Exemplo 2 — Outra matriz com Sarrus
Enunciado: Calcule o determinante de B = [2 0 1 ; 1 3 2 ; 0 1 4].
Resolução:
- Descendentes: 2·3·4 = 24; 0·2·0 = 0; 1·1·1 = 1. Soma = 25.
- Ascendentes: 1·3·0 = 0; 0·1·4 = 0; 2·2·1 = 4. Soma = 4.
- det = 25 − 4 = 21.
Resposta: det B = 21. Verificação: Laplace na 1.ª linha: 2·(3·4 − 2·1) − 0 + 1·(1·1 − 3·0) = 2·10 + 1 = 21 ✓.
Exemplo 3 — Laplace com zeros
Enunciado: Calcule o determinante de C = [3 0 0 ; 2 5 1 ; 1 4 2].
Resolução:
- A primeira linha tem dois zeros: desenvolva por ela.
- det = 3·(5·2 − 1·4) − 0 + 0 = 3·6 = 18.
Resposta: 18. Verificação: por Sarrus, 3·5·2 = 30 (descendente) e 3·1·4 = 12 (ascendente): 30 − 12 = 18 ✓.
Exemplo 4 — Nível de exame: valores de x
Enunciado: Determine os valores de x para os quais M = [x 1 0 ; 2 x 1 ; 0 1 x] não tem inversa.
Resolução:
- A matriz não tem inversa quando det M = 0.
- Sarrus: descendentes x·x·x = x3, 1·1·0 = 0, 0·2·1 = 0; ascendentes 0·x·0 = 0, 1·2·x = 2x, x·1·1 = x.
- det = x3 − (2x + x) = x3 − 3x = x(x2 − 3).
- det = 0 ⇒ x = 0 ou x = √3 ou x = −√3.
Resposta: x = 0, x = √3 ou x = −√3. Verificação: Laplace na 1.ª linha: x(x² − 1) − 1·(2x − 0) = x3 − x − 2x = x3 − 3x ✓.
Erros frequentes no cálculo
- Usar Sarrus em matrizes 4×4: não é válido; use Laplace ou escalonamento.
- Trocar os sinais: os três produtos das diagonais ascendentes (ceg, bdi, afh) são subtraídos.
- Esquecer um dos seis termos ou calcular um produto errado; liste-os um a um.
- Em Laplace, esquecer a alternância de sinais (+ − + na primeira linha).
- Pensar que det(A + B) = det A + det B; só o produto se comporta bem: det(AB) = det A · det B.
- Considerar zeros inofensivos: um produto com um fator zero vale zero, mas ainda assim deve ser registado como 0 para não perder termos.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule o determinante de [1 0 0 ; 0 2 0 ; 0 0 3].
Ver solução
Só a diagonal principal contribui: 1·2·3 = 6 (nos outros produtos há um fator zero).
2Exercício 2
Calcule o determinante de [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9].
Ver solução
Descendentes: 1·5·9 = 45; 2·6·7 = 84; 3·4·8 = 96; soma 225. Ascendentes: 3·5·7 = 105; 2·4·9 = 72; 1·6·8 = 48; soma 225. det = 0 (a matriz não tem inversa).
3Exercício 3
Calcule o determinante de [2 1 3 ; 0 −1 4 ; 1 2 0].
Ver solução
Descendentes: 2·(−1)·0 = 0; 1·4·1 = 4; 3·0·2 = 0; soma 4. Ascendentes: 3·(−1)·1 = −3; 1·0·0 = 0; 2·4·2 = 16; soma 13. det = 4 − 13 = −9. (Laplace: 2·(−8) − 1·(−4) + 3·1 = −16 + 4 + 3 = −9 ✓.)
4Exercício 4
Calcule o determinante de [2 5 7 ; 0 3 1 ; 0 0 4].
Ver dica
É triangular superior.
Ver solução
Numa matriz triangular, o determinante é o produto da diagonal: 2·3·4 = 24.
5Exercício 5
Calcule o determinante de [0 1 0 ; 1 0 0 ; 0 0 1] e explique o sinal.
Ver solução
Só bdi = 1·1·1 = 1 é diferente de zero e é um termo subtraído. det = −1. É a matriz identidade com duas linhas trocadas, e trocar duas linhas muda o sinal do determinante.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular o determinante de uma matriz 3×3?
det = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh (Sarrus), ou a·(ei − fh) − b·(di − fg) + c·(dh − eg) por Laplace na primeira linha.
Como verificar se o resultado está correto?
Calcule por outro método (Sarrus e Laplace, ou Laplace por duas linhas diferentes) e compare. Verifique também propriedades: uma linha proporcional a outra dá det = 0.
O que significa um determinante igual a zero?
A matriz é singular: não tem inversa, e as suas linhas (ou colunas) são linearmente dependentes. Num sistema 3×3, det = 0 indica que não há solução única.
Que erros se cometem ao calcular o determinante de uma matriz 3×3?
Trocar sinais das diagonais ascendentes, aplicar Sarrus a matrizes maiores e perder termos. Veja a secção de erros.
Resumo
- Matriz 3×3: det = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh (Sarrus).
- A regra de Sarrus só vale para 3×3; Laplace funciona para qualquer ordem.
- Em Laplace, escolha a linha ou coluna com mais zeros e respeite a alternância de sinais.
- det = 0 implica matriz sem inversa; matriz triangular tem det igual ao produto da diagonal.
- Valide sempre por um segundo método.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática do seu curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra (capítulo sobre determinantes).
- David Lay, Álgebra Linear e suas Aplicações; e MIT OpenCourseWare 18.06.
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