Álgebra Linear · 1.º ano (indicativo)
Como calcular a inversa pelo método de Gauss-Jordan?
Resposta curta
Escreva a matriz ampliada [A | I], com a identidade à direita. Aplique operações elementares sobre as linhas até transformar A na identidade. As mesmas operações transformam I em A−1, e fica [I | A−1]. Se aparecer uma linha de zeros do lado esquerdo, a matriz não tem inversa.
Fórmula e significado de cada termo
O método usa a ideia de que multiplicar à esquerda por A−1 leva A à identidade. Cada operação elementar sobre as linhas equivale a multiplicar por uma matriz elementar E; a sequência completa dá Ek…E2E1A = I, logo Ek…E1 = A−1. Ao aplicar as mesmas operações a I, obtém-se esse produto.
Esquema do método
[ A | I ] → (operações elementares nas linhas) → [ I | A−1 ]
- A: matriz quadrada n × n que se quer inverter.
- I: matriz identidade da mesma ordem.
- A−1: a inversa, tal que A · A−1 = A−1 · A = I.
Condições de aplicação
- A tem de ser quadrada.
- A só tem inversa se for invertível (determinante não nulo, ou seja, característica n). O método diz-lhe isso: se não conseguir obter n pivôs, não existe inversa.
As três operações elementares
- Trocar duas linhas (Li ↔ Lj).
- Multiplicar uma linha por um número não nulo (Li → k·Li).
- Somar a uma linha um múltiplo de outra (Li → Li + k·Lj).
Passo a passo
- Forme a matriz ampliada [A | I].
- Na primeira coluna, obtenha um pivô igual a 1 (troque linhas, se for preciso, ou divida a linha).
- Anule os restantes elementos dessa coluna, somando múltiplos da linha do pivô.
- Passe à segunda coluna e repita; continue até à última.
- No fim, o lado esquerdo deve ser I. O lado direito é A−1.
- Verifique multiplicando A · A−1: deve dar I.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Matriz 2 × 2
Enunciado: Calcule a inversa de A = [[2, 1], [5, 3]] (a notação indica as linhas).
Resolução:
- [A | I] = [2 1 | 1 0] na linha 1 e [5 3 | 0 1] na linha 2.
- L1 → L1/2: linha 1 passa a [1, 1/2 | 1/2, 0].
- L2 → L2 − 5·L1: [0, 3 − 5/2 | 0 − 5/2, 1] = [0, 1/2 | −5/2, 1].
- L2 → 2·L2: [0, 1 | −5, 2].
- L1 → L1 − (1/2)·L2: [1, 0 | 1/2 + 5/2, 0 − 1] = [1, 0 | 3, −1].
Resposta: A−1 = [[3, −1], [−5, 2]]. Verificação: linha 1 de A vezes colunas: 2·3 + 1·(−5) = 1 e 2·(−1) + 1·2 = 0; linha 2: 5·3 + 3·(−5) = 0 e 5·(−1) + 3·2 = 1. Resulta I.
Exemplo 2 — Necessidade de trocar linhas
Enunciado: Calcule a inversa de A = [[0, 2], [1, 3]].
Resolução:
- [A | I]: linha 1 = [0, 2 | 1, 0]; linha 2 = [1, 3 | 0, 1]. O elemento (1,1) é 0, logo não serve de pivô.
- L1 ↔ L2: linha 1 = [1, 3 | 0, 1]; linha 2 = [0, 2 | 1, 0].
- L2 → L2/2: [0, 1 | 1/2, 0].
- L1 → L1 − 3·L2: [1, 0 | −3/2, 1].
Resposta: A−1 = [[−3/2, 1], [1/2, 0]]. Verificação: linha 1 de A: 0·(−3/2) + 2·(1/2) = 1 e 0·1 + 2·0 = 0; linha 2: 1·(−3/2) + 3·(1/2) = 0 e 1·1 + 3·0 = 1.
Exemplo 3 — Nível de exame: matriz 3 × 3
Enunciado: Calcule a inversa de A = [[1, 2, 0], [0, 1, 1], [1, 0, 1]].
Resolução:
- [A | I]: L1 = [1 2 0 | 1 0 0]; L2 = [0 1 1 | 0 1 0]; L3 = [1 0 1 | 0 0 1].
- L3 → L3 − L1: [0, −2, 1 | −1, 0, 1].
- L3 → L3 + 2·L2: [0, 0, 3 | −1, 2, 1].
- L3 → L3/3: [0, 0, 1 | −1/3, 2/3, 1/3].
- L2 → L2 − L3: [0, 1, 0 | 1/3, 1/3, −1/3].
- L1 → L1 − 2·L2: [1, 0, 0 | 1/3, −2/3, 2/3].
Resposta: A−1 = (1/3) · [[1, −2, 2], [1, 1, −1], [−1, 2, 1]]. Verificação: linha 1 de A (1, 2, 0) com as colunas de 3·A−1: 1 + 2 = 3, −2 + 2 = 0, 2 − 2 = 0; linha 2 (0, 1, 1): 1 − 1 = 0, 1 + 2 = 3, −1 + 1 = 0; linha 3 (1, 0, 1): 1 − 1 = 0, −2 + 2 = 0, 2 + 1 = 3. Dividindo por 3, obtém-se I.
Exemplo 4 — Matriz sem inversa
Enunciado: Tente inverter A = [[1, 2], [2, 4]].
Resolução:
- [A | I]: L1 = [1, 2 | 1, 0]; L2 = [2, 4 | 0, 1].
- L2 → L2 − 2·L1: [0, 0 | −2, 1].
- A linha 2 do lado esquerdo é toda nula: não é possível obter dois pivôs.
Resposta: A não é invertível (as linhas são proporcionais; det A = 1·4 − 2·2 = 0).
Erros frequentes no cálculo
- Aplicar a operação só ao lado esquerdo. Cada operação tem de atuar sobre a linha inteira de [A | I].
- Erros de sinal ao somar múltiplos de linhas, sobretudo com números negativos.
- Anular fora de ordem: trabalhe coluna a coluna, para não desfazer zeros já obtidos.
- Dividir por zero ao normalizar um pivô: se o pivô for 0, troque de linha.
- Concluir "sem inversa" demasiado cedo: só é assim se, depois de tentar trocar linhas, a coluna não tiver pivô possível.
- Não verificar com A · A−1 = I.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule a inversa de [[1, 2], [3, 7]] por Gauss-Jordan.
Ver solução
[1 2 | 1 0; 3 7 | 0 1]. L2 → L2 − 3L1: [0, 1 | −3, 1]. L1 → L1 − 2L2: [1, 0 | 1 + 6, −2] = [1, 0 | 7, −2]. Inversa: [[7, −2], [−3, 1]].
2Exercício 2
Calcule a inversa de [[3, 1], [5, 2]].
Ver dica
Para evitar frações, pode começar com L2 → L2 − L1.
Ver solução
[3 1 | 1 0; 5 2 | 0 1]. L2 → L2 − L1: [2, 1 | −1, 1]. L1 → L1 − L2: [1, 0 | 2, −1]. L2 → L2 − 2L1: [0, 1 | −1 − 4, 1 + 2] = [0, 1 | −5, 3]. Inversa: [[2, −1], [−5, 3]]. Verificação: 3·2 + 1·(−5) = 1 e 3·(−1) + 1·3 = 0.
3Exercício 3
Calcule a inversa da matriz diagonal [[2, 0], [0, 5]].
Ver solução
Basta dividir cada linha pelo elemento diagonal: L1/2 e L2/5. A inversa é [[1/2, 0], [0, 1/5]].
4Exercício 4
A matriz [[1, 1], [2, 2]] tem inversa? Justifique com Gauss-Jordan.
Ver solução
[1 1 | 1 0; 2 2 | 0 1]. L2 → L2 − 2L1: [0, 0 | −2, 1]. Linha nula no lado esquerdo, logo não tem inversa (det = 1·2 − 1·2 = 0).
5Exercício 5
Calcule a inversa de [[1, 1, 1], [0, 1, 1], [0, 0, 1]].
Ver dica
A matriz já é triangular superior: comece por baixo.
Ver solução
[A | I]: L1 = [1 1 1 | 1 0 0]; L2 = [0 1 1 | 0 1 0]; L3 = [0 0 1 | 0 0 1]. L2 → L2 − L3: [0 1 0 | 0 1 −1]. L1 → L1 − L3: [1 1 0 | 1 0 −1]. L1 → L1 − L2: [1 0 0 | 1 −1 0]. Inversa: [[1, −1, 0], [0, 1, −1], [0, 0, 1]].
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular a inversa pelo método de Gauss-Jordan?
Não há uma fórmula fechada, mas sim um esquema: [A | I] → [I | A−1]. As operações elementares que levam A à identidade levam I à inversa.
Como verificar se o resultado está correto?
Multiplique A pela inversa obtida. Se o produto for a identidade, está certo. Em matrizes 2 × 2 pode ainda confirmar com a fórmula (1/det)·[[d, −b], [−c, a]].
Que erros se cometem ao calcular a inversa pelo método de Gauss-Jordan?
Os mais comuns são operar apenas num dos lados da matriz ampliada, enganar-se nos sinais e não trocar linhas quando o pivô é zero.
Para que serve a inversa?
Por exemplo, para resolver o sistema A·x = b através de x = A−1·b, quando A é invertível. Para um só sistema, o escalonamento direto costuma ser mais económico.
Resumo
- Método: [A | I] → [I | A−1] com operações elementares nas linhas.
- Só matrizes quadradas e invertíveis têm inversa.
- Se surgir uma linha nula do lado esquerdo, a matriz é singular.
- Trabalhe coluna a coluna e aplique sempre a operação à linha inteira.
- Verifique com A · A−1 = I.
Onde aprofundar
- O manual de Álgebra Linear da sua instituição e o programa oficial em vigor — confirme a edição.
- Strang, Introduction to Linear Algebra, e Lay, Álgebra Linear e suas Aplicações — confirme a edição disponível.
- As aulas de MIT OpenCourseWare 18.06 (acesso livre, em inglês).
Continue a estudar
Como calcular o produto de matrizes?
Para multiplicar A por B, o número de colunas de A tem de ser igual ao número de linhas de B. Cada elemento do produto obtém-se multiplicando uma linha de A por uma…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como multiplicar duas matrizes passo a passo?
Só se pode multiplicar A por B se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Se A é m × n e B é n × p, o produto AB é m × p. Cada elemento cij…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como calcular a inversa de uma matriz?
A inversa de uma matriz quadrada A é a matriz A−1 tal que A·A−1 = A−1·A = I. Só existe se det A ≠ 0. Em 2 × 2, troca-se a diagonal principal, mudam-se os sinais da…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como escalonar uma matriz?
Escalonar uma matriz é aplicar operações elementares sobre as linhas (trocar, multiplicar por um número não nulo, somar um múltiplo de outra linha) até que cada pivô…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado