Álgebra Linear · 1.º ano (indicativo)
Como calcular o produto de matrizes?
Resposta curta
Para multiplicar A por B, o número de colunas de A tem de ser igual ao número de linhas de B. Cada elemento do produto obtém-se multiplicando uma linha de A por uma coluna de B, elemento a elemento, e somando. Se A é m×n e B é n×p, o produto AB é m×p.
Fórmula e significado de cada termo
Neste texto, as matrizes escrevem-se por linhas, separadas por ponto e vírgula: A = [1 2 ; 3 4] tem a primeira linha (1, 2) e a segunda (3, 4).
Produto de matrizes
(AB)ij = ai1·b1j + ai2·b2j + … + ain·bnj
Legenda: (AB)ij é o elemento da linha i e coluna j do produto; aik são os elementos da linha i de A; bkj são os elementos da coluna j de B; n é o número de colunas de A (igual ao de linhas de B).
Condições de aplicação
- A é m×n e B é n×p: as dimensões «interiores» (n e n) têm de coincidir.
- O produto tem as dimensões «exteriores»: m×p.
- Em geral, AB ≠ BA: o produto não é comutativo (e BA pode nem estar definido).
- É associativo, (AB)C = A(BC), e distributivo, A(B + C) = AB + AC.
Passo a passo
- Verifique as dimensões: colunas de A = linhas de B. Se não, o produto não existe.
- Determine a dimensão do resultado (linhas de A × colunas de B).
- Para cada posição (i, j), tome a linha i de A e a coluna j de B.
- Multiplique os elementos correspondentes (primeiro com primeiro, segundo com segundo…) e some.
- Repita para todas as posições e escreva a matriz resultado.
- Verifique: dimensões do resultado e, se possível, um elemento recalculado ou a soma dos elementos.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Matrizes 2×2 (e AB diferente de BA)
Enunciado: Sendo A = [1 2 ; 3 4] e B = [5 6 ; 7 8], calcule AB e BA.
Resolução:
- Dimensões 2×2 por 2×2: o produto existe e é 2×2.
- (AB)11 = 1·5 + 2·7 = 19; (AB)12 = 1·6 + 2·8 = 22.
- (AB)21 = 3·5 + 4·7 = 43; (AB)22 = 3·6 + 4·8 = 50.
- BA: (BA)11 = 5·1 + 6·3 = 23; (BA)12 = 5·2 + 6·4 = 34; (BA)21 = 7·1 + 8·3 = 31; (BA)22 = 7·2 + 8·4 = 46.
Resposta: AB = [19 22 ; 43 50] e BA = [23 34 ; 31 46]. Verificação: AB ≠ BA, o que é normal; as dimensões são 2×2 em ambos.
Exemplo 2 — Matrizes 2×3 e 3×2
Enunciado: Sendo A = [1 0 2 ; −1 3 1] e B = [2 1 ; 0 4 ; 1 −1], calcule AB.
Resolução:
- A é 2×3 e B é 3×2: colunas de A (3) = linhas de B (3). O produto é 2×2.
- (AB)11 = 1·2 + 0·0 + 2·1 = 4.
- (AB)12 = 1·1 + 0·4 + 2·(−1) = −1.
- (AB)21 = (−1)·2 + 3·0 + 1·1 = −1.
- (AB)22 = (−1)·1 + 3·4 + 1·(−1) = 10.
Resposta: AB = [4 −1 ; −1 10]. Verificação: resultado 2×2 como previsto. Note que BA seria 3×3, outro produto diferente.
Exemplo 3 — Problema com contexto: vendas em kwanzas
Enunciado: Duas lojas vendem sacos de arroz e de feijão. A loja de Luanda vendeu 10 sacos de arroz e 5 de feijão; a de Huambo, 8 de arroz e 6 de feijão. Um saco de arroz custa 3 000 Kz e um de feijão 2 000 Kz. Calcule a receita de cada loja.
Resolução:
- Quantidades Q = [10 5 ; 8 6] (linhas: Luanda, Huambo; colunas: arroz, feijão). Preços P = [3000 ; 2000] (coluna).
- Q é 2×2 e P é 2×1: o produto QP é 2×1.
- Luanda: 10·3000 + 5·2000 = 30 000 + 10 000 = 40 000.
- Huambo: 8·3000 + 6·2000 = 24 000 + 12 000 = 36 000.
Resposta: QP = [40000 ; 36000], isto é, 40 000 Kz em Luanda e 36 000 Kz em Huambo. Verificação: 40 000 + 36 000 = 76 000 Kz; o total pelos produtos: arroz 18 sacos × 3 000 = 54 000 e feijão 11 sacos × 2 000 = 22 000, soma 76 000 ✓.
Exemplo 4 — Nível de exame: polinómio de uma matriz
Enunciado: Seja A = [1 −1 ; 2 0]. Calcule A2 − 2A.
Resolução:
- A2 = A·A: (1)(1) + (−1)(2) = −1; (1)(−1) + (−1)(0) = −1; (2)(1) + (0)(2) = 2; (2)(−1) + (0)(0) = −2. Logo A2 = [−1 −1 ; 2 −2].
- 2A = [2 −2 ; 4 0].
- A2 − 2A = [−1−2, −1+2 ; 2−4, −2−0] = [−3 1 ; −2 −2].
Resposta: [−3 1 ; −2 −2]. Verificação: cada elemento recalculado: −1 − 2 = −3 ✓; −1 − (−2) = 1 ✓; 2 − 4 = −2 ✓; −2 − 0 = −2 ✓.
Erros frequentes no cálculo
- Multiplicar elemento a elemento (posição a posição). Isso não é o produto de matrizes: é preciso «linha por coluna» e somar.
- Não verificar as dimensões antes de calcular. Uma 2×3 vezes outra 2×3 não existe.
- Assumir que AB = BA. Calcule os dois produtos se precisar de ambos.
- Trocar linhas por colunas: use a linha da primeira matriz e a coluna da segunda.
- Esquecer uma parcela da soma (numa matriz 2×3 há três parcelas por elemento).
- Erros de sinal com números negativos: coloque-os entre parênteses.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule [1 2 ; 0 1] · [3 0 ; 1 1].
Ver solução
(1)(3) + (2)(1) = 5; (1)(0) + (2)(1) = 2; (0)(3) + (1)(1) = 1; (0)(0) + (1)(1) = 1. Resultado: [5 2 ; 1 1].
2Exercício 2
A é 3×2 e B é 2×4. O produto AB existe? E BA? Indique as dimensões.
Ver solução
AB existe: colunas de A (2) = linhas de B (2), e é 3×4. BA não existe: colunas de B (4) ≠ linhas de A (3).
3Exercício 3
Calcule [2 1 ; 0 3] · [1 ; 2].
Ver solução
2·1 + 1·2 = 4; 0·1 + 3·2 = 6. Resultado: [4 ; 6] (matriz 2×1).
4Exercício 4
Calcule [1 0 2 ; 0 1 1] · [1 2 ; 0 1 ; 3 0].
Ver dica
O primeiro fator é 2×3 e o segundo 3×2; o resultado é 2×2.
Ver solução
(1·1 + 0·0 + 2·3) = 7; (1·2 + 0·1 + 2·0) = 2; (0·1 + 1·0 + 1·3) = 3; (0·2 + 1·1 + 1·0) = 1. Resultado: [7 2 ; 3 1].
5Exercício 5
Seja A = [0 1 ; 0 0]. Calcule A2. O que conclui sobre a afirmação «se A2 = 0 então A = 0»?
Ver solução
A·A: (0·0 + 1·0) = 0; (0·1 + 1·0) = 0; (0·0 + 0·0) = 0; (0·1 + 0·0) = 0. Logo A2 é a matriz nula, mas A não é nula: a afirmação é falsa para matrizes (ao contrário dos números reais).
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular o produto de matrizes?
(AB)ij = soma de aik·bkj, com k de 1 a n: o elemento (i, j) do produto é a soma dos produtos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B.
Como verificar se o resultado está correto?
Confira primeiro as dimensões (m×n por n×p dá m×p). Depois recalcule um ou dois elementos e, se possível, teste com a matriz identidade: AI = A.
Porque é que AB pode ser diferente de BA?
Porque o produto combina linhas de uma com colunas da outra, e trocar a ordem altera as combinações. O Exemplo 1 mostra AB = [19 22 ; 43 50] e BA = [23 34 ; 31 46].
Que erros se cometem ao calcular o produto de matrizes?
Multiplicar posição a posição, ignorar as dimensões e esquecer parcelas da soma. Veja a secção de erros.
Resumo
- AB só existe se colunas de A = linhas de B; o resultado é m×p.
- Cada elemento (i, j) = linha i de A «vezes» coluna j de B, somando as parcelas.
- O produto de matrizes não é comutativo, mas é associativo e distributivo.
- A matriz identidade é neutra: AI = IA = A.
- Verifique dimensões e recalcule um elemento para detetar enganos.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática do seu curso e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra.
- David Lay, Álgebra Linear e suas Aplicações; e as aulas de MIT OpenCourseWare 18.06.
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