Álgebra Linear · 1.º ano (indicativo)

Como multiplicar duas matrizes passo a passo?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Só se pode multiplicar A por B se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Se A é m × n e B é n × p, o produto AB é m × p. Cada elemento cij obtém-se multiplicando a linha i de A pela coluna j de B, elemento a elemento, e somando.

Quando se aplica

O produto de matrizes aparece na composição de transformações lineares, em sistemas de equações, em cálculos de custos ou de quantidades e em grafos. Ao contrário da soma, não se faz elemento a elemento e não é comutativo: em geral AB ≠ BA.

Pré-requisitos

  • Saber identificar a ordem (dimensões) de uma matriz: linhas × colunas.
  • Multiplicação e soma de números inteiros e racionais, com atenção aos sinais.

Definição do produto

Se A é m × n e B é n × p, então AB é m × p e cij = ai1·b1j + ai2·b2j + … + ain·bnj

Método passo a passo

  1. Escreva as dimensões de A e B. Compare as colunas de A com as linhas de B: se forem diferentes, o produto não existe.
  2. Determine a dimensão do resultado: linhas de A × colunas de B.
  3. Calcule cada elemento cij: percorra a linha i de A e a coluna j de B em simultâneo, multiplique os pares e some.
  4. Preencha a matriz resultado posição a posição, linha a linha.
  5. Verifique a dimensão e refaça uma ou duas contas ao acaso. Se possível, teste com a propriedade (AB)·C = A·(BC) ou com a matriz identidade.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Duas matrizes 2 × 2

Enunciado: Calcule AB, com A = [[1, 2], [3, 4]] e B = [[5, 6], [7, 8]] (a notação indica as linhas).

Resolução:

  1. Ambas são 2 × 2: o produto existe e é 2 × 2.
  2. c11 = 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19.
  3. c12 = 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22.
  4. c21 = 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43.
  5. c22 = 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50.

Resposta: AB = [[19, 22], [43, 50]]. Verificação: a dimensão é 2 × 2, como previsto; refazendo c22: 18 + 32 = 50.

Exemplo 2 — Matrizes de dimensões diferentes

Enunciado: Calcule AB, com A = [[1, 0, 2], [−1, 3, 1]] (2 × 3) e B = [[2, 1], [0, −1], [4, 3]] (3 × 2).

Resolução:

  1. Colunas de A = 3 = linhas de B: o produto existe e é 2 × 2.
  2. c11 = 1·2 + 0·0 + 2·4 = 2 + 0 + 8 = 10.
  3. c12 = 1·1 + 0·(−1) + 2·3 = 1 + 0 + 6 = 7.
  4. c21 = (−1)·2 + 3·0 + 1·4 = −2 + 0 + 4 = 2.
  5. c22 = (−1)·1 + 3·(−1) + 1·3 = −1 − 3 + 3 = −1.

Resposta: AB = [[10, 7], [2, −1]]. Verificação: (2 × 3)(3 × 2) → 2 × 2. Note que BA seria 3 × 3, portanto diferente de AB.

Exemplo 3 — O produto não é comutativo

Enunciado: Com A = [[1, 2], [0, 1]] e B = [[1, 0], [3, 1]], calcule AB e BA.

Resolução:

  1. AB: c11 = 1·1 + 2·3 = 7; c12 = 1·0 + 2·1 = 2; c21 = 0·1 + 1·3 = 3; c22 = 0·0 + 1·1 = 1.
  2. BA: c11 = 1·1 + 0·0 = 1; c12 = 1·2 + 0·1 = 2; c21 = 3·1 + 1·0 = 3; c22 = 3·2 + 1·1 = 7.

Resposta: AB = [[7, 2], [3, 1]] e BA = [[1, 2], [3, 7]]; AB ≠ BA. Verificação: os elementos (1,1) e (2,2) estão trocados e diferentes.

Exemplo 4 — Nível de exame: quantidades e preços

Enunciado: Duas lojas (Luanda e Huambo) vendem três produtos. A matriz Q (lojas × produtos) dá as unidades vendidas num dia: Q = [[10, 5, 2], [8, 4, 6]]. Os preços (valores fictícios, em kwanzas por unidade) formam a coluna p = [300, 150, 200]. Calcule a receita de cada loja.

Resolução:

  1. Q é 2 × 3 e p é 3 × 1: o produto Qp existe e é 2 × 1.
  2. Luanda: 10·300 + 5·150 + 2·200 = 3 000 + 750 + 400 = 4 150.
  3. Huambo: 8·300 + 4·150 + 6·200 = 2 400 + 600 + 1 200 = 4 200.

Resposta: Qp = [4 150, 4 200], isto é, 4 150 kz em Luanda e 4 200 kz em Huambo. Verificação: a soma das duas receitas, 8 350 kz, coincide com 18·300 + 9·150 + 8·200 = 5 400 + 1 350 + 1 600 = 8 350.

Erros frequentes

  • Multiplicar elemento a elemento (aij·bij). Isso não é o produto matricial.
  • Não verificar as dimensões antes de começar: (2 × 3)(2 × 3) não existe.
  • Assumir AB = BA. Se trocar a ordem, o resultado muda ou deixa de existir.
  • Usar a coluna errada de B: o elemento cij usa a linha i de A e a coluna j de B.
  • Erros de sinal com números negativos, como (−1)·(−1) = +1.
  • Cortar fatores como em números: AB = AC não implica B = C.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule AB, com A = [[2, 0], [1, 3]] e B = [[1, 4], [2, 5]].

Ver solução

c11 = 2·1 + 0·2 = 2; c12 = 2·4 + 0·5 = 8; c21 = 1·1 + 3·2 = 7; c22 = 1·4 + 3·5 = 19. Resultado: [[2, 8], [7, 19]].

2Exercício 2

A é 3 × 2 e B é 2 × 4. Existem AB e BA? Indique as dimensões.

Ver solução

AB existe (colunas de A = 2 = linhas de B) e é 3 × 4. BA não existe, porque as colunas de B (4) diferem das linhas de A (3).

3Exercício 3

Calcule o produto da linha [1, 2, 3] pela coluna [4, 5, 6], e depois o produto da coluna pela linha.

Ver dica

Linha (1 × 3) vezes coluna (3 × 1) dá 1 × 1; coluna (3 × 1) vezes linha (1 × 3) dá 3 × 3.

Ver solução

Linha por coluna: 1·4 + 2·5 + 3·6 = 4 + 10 + 18 = 32. Coluna por linha: [[4, 8, 12], [5, 10, 15], [6, 12, 18]] (cada linha é um múltiplo de [1, 2, 3]).

4Exercício 4

Seja A = [[1, 2], [3, 4]]. Calcule A·I e A·[[0, 1], [1, 0]]. O que acontece a A em cada caso?

Ver solução

A·I = A = [[1, 2], [3, 4]]: a identidade é o elemento neutro. A·[[0, 1], [1, 0]]: linha 1: 1·0 + 2·1 = 2 e 1·1 + 2·0 = 1; linha 2: 3·0 + 4·1 = 4 e 3·1 + 4·0 = 3. Resultado [[2, 1], [4, 3]]: as colunas de A ficam trocadas.

5Exercício 5

Seja A = [[1, 1], [0, 1]]. Calcule A2 e A3 e conjecture An.

Ver dica

A3 = A2·A.

Ver solução

A2: c11 = 1, c12 = 1·1 + 1·1 = 2, c21 = 0, c22 = 1, logo A2 = [[1, 2], [0, 1]]. A3 = A2·A: c12 = 1·1 + 2·1 = 3, restantes iguais: [[1, 3], [0, 1]]. Conjetura: An = [[1, n], [0, 1]].

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Sempre que se compõem transformações lineares, se resolvem sistemas na forma matricial AX = B ou se combinam tabelas de quantidades com tabelas de preços ou de custos.

Existe um método mais rápido?

Para matrizes pequenas, a regra linha por coluna é a mais direta. Em matrizes grandes, usam-se computadores e algoritmos próprios; o conceito é o mesmo. Matrizes com muitos zeros, diagonais ou triangulares simplificam as contas.

Que erros são mais comuns?

Multiplicar elemento a elemento, esquecer a verificação das dimensões e trocar a ordem dos fatores.

Porque é que AB pode existir e BA não?

Porque a condição depende da ordem. Para AB exige-se colunas de A = linhas de B; para BA, colunas de B = linhas de A. Com A 3 × 2 e B 2 × 4, só a primeira se cumpre.

Resumo

  • AB existe se colunas de A = linhas de B; a dimensão é (linhas de A) × (colunas de B).
  • cij é a soma dos produtos da linha i de A pela coluna j de B.
  • O produto não é comutativo: em geral AB ≠ BA.
  • A identidade é o elemento neutro: AI = IA = A.
  • Verifique sempre as dimensões antes de calcular.

Onde aprofundar

  • O manual de Álgebra Linear da sua instituição e o programa oficial em vigor — confirme a edição.
  • Strang, Introduction to Linear Algebra, e Lay, Álgebra Linear e suas Aplicações — confirme a edição disponível.
  • As aulas de MIT OpenCourseWare 18.06 (acesso livre, em inglês).

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