Álgebra Linear · 1.º ano (indicativo)

Como calcular a inversa de uma matriz?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
  • Atualizado em

Resposta curta

A inversa de uma matriz quadrada A é a matriz A−1 tal que A·A−1 = A−1·A = I. Só existe se det A ≠ 0. Em 2 × 2, troca-se a diagonal principal, mudam-se os sinais da outra diagonal e divide-se pelo determinante. Em ordens maiores, usa-se a adjunta (A−1 = adj A / det A) ou o escalonamento.

Quando se aplica

Precisa da inversa para resolver sistemas A·x = b (x = A−1·b), para "desfazer" uma transformação linear ou para resolver equações matriciais como A·X = B (X = A−1·B). Se o determinante for zero, a matriz diz-se singular e não tem inversa.

Pré-requisitos

  • Determinantes de ordem 2 e 3.
  • Produto de matrizes e matriz identidade.
  • Cofatores: Cij = (−1)(i+j) · Mij, em que Mij é o determinante que resta ao retirar a linha i e a coluna j.

Inversa de uma matriz

Caso 2 × 2: se A = [[a, b], [c, d]] e det A = ad − bc ≠ 0, então A−1 = (1/det A)·[[d, −b], [−c, a]]. Caso geral: A−1 = (1/det A)·adj A, com adj A = transposta da matriz dos cofatores.

Método passo a passo

  1. Confirme que A é quadrada e calcule det A. Se det A = 0, pare: não existe inversa.
  2. Escolha o método: fórmula direta em 2 × 2; adjunta ou Gauss-Jordan em 3 × 3 ou maiores.
  3. Pela adjunta: calcule todos os cofatores Cij, forme a matriz dos cofatores, transponha-a (obtém adj A) e divida por det A.
  4. Por Gauss-Jordan: parta de [A | I] e escalone até [I | A−1] (veja a página específica deste método).
  5. Verifique que A·A−1 = I.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Fórmula 2 × 2

Enunciado: Calcule a inversa de A = [[4, 7], [2, 6]].

Resolução:

  1. det A = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10 ≠ 0, logo existe inversa.
  2. Troca-se a diagonal principal (4 e 6) e mudam-se os sinais de 7 e 2: [[6, −7], [−2, 4]].
  3. Divide-se por 10.

Resposta: A−1 = [[0,6; −0,7], [−0,2; 0,4]], isto é, (1/10)·[[6, −7], [−2, 4]]. Verificação: linha 1 de A: 4·0,6 + 7·(−0,2) = 2,4 − 1,4 = 1 e 4·(−0,7) + 7·0,4 = −2,8 + 2,8 = 0; linha 2: 2·0,6 + 6·(−0,2) = 0 e 2·(−0,7) + 6·0,4 = −1,4 + 2,4 = 1.

Exemplo 2 — Matriz singular

Enunciado: A matriz B = [[2, 4], [1, 2]] tem inversa?

Resolução:

  1. det B = 2·2 − 4·1 = 4 − 4 = 0.

Resposta: não tem inversa, porque o determinante é nulo (a primeira linha é o dobro da segunda).

Exemplo 3 — Nível de exame: 3 × 3 pela adjunta

Enunciado: Calcule a inversa de A = [[2, 0, 1], [1, 1, 0], [0, 1, 1]].

Resolução:

  1. Determinante, desenvolvendo pela linha 1: det A = 2·(1·1 − 0·1) − 0 + 1·(1·1 − 1·0) = 2 + 1 = 3.
  2. Cofatores: C11 = +(1·1 − 0·1) = 1; C12 = −(1·1 − 0·0) = −1; C13 = +(1·1 − 1·0) = 1.
  3. C21 = −(0·1 − 1·1) = 1; C22 = +(2·1 − 1·0) = 2; C23 = −(2·1 − 0·0) = −2.
  4. C31 = +(0·0 − 1·1) = −1; C32 = −(2·0 − 1·1) = 1; C33 = +(2·1 − 0·1) = 2.
  5. Matriz dos cofatores: [[1, −1, 1], [1, 2, −2], [−1, 1, 2]]. Transposta (adjunta): [[1, 1, −1], [−1, 2, 1], [1, −2, 2]].
  6. A−1 = (1/3) · adj A.

Resposta: A−1 = (1/3)·[[1, 1, −1], [−1, 2, 1], [1, −2, 2]]. Verificação: A·adj A: linha 1 (2, 0, 1): 2·1 + 1·1 = 3, 2·1 + 1·(−2) = 0, 2·(−1) + 1·2 = 0; linha 2 (1, 1, 0): 1 − 1 = 0, 1 + 2 = 3, −1 + 1 = 0; linha 3 (0, 1, 1): −1 + 1 = 0, 2 − 2 = 0, 1 + 2 = 3. Logo A·adj A = 3I.

Exemplo 4 — Resolver um sistema com a inversa

Enunciado: Resolva 4x + 7y = 18 e 2x + 6y = 14.

Resolução:

  1. A matriz dos coeficientes é a do Exemplo 1, com inversa (1/10)·[[6, −7], [−2, 4]].
  2. (x, y) = A−1·(18, 14).
  3. x = (6·18 − 7·14)/10 = (108 − 98)/10 = 1.
  4. y = (−2·18 + 4·14)/10 = (−36 + 56)/10 = 2.

Resposta: x = 1 e y = 2. Verificação: 4·1 + 7·2 = 18 e 2·1 + 6·2 = 14.

Erros frequentes

  • Esquecer de calcular o determinante primeiro. Se for zero, todo o trabalho seguinte é inútil.
  • Trocar os sinais errados na fórmula 2 × 2: troca-se a diagonal principal e muda-se o sinal da secundária.
  • Não transpor a matriz dos cofatores antes de dividir pelo determinante.
  • Esquecer o sinal alternado (−1)(i+j) nos cofatores.
  • Dizer que (AB)−1 = A−1B−1. Na verdade, (AB)−1 = B−1A−1: a ordem inverte-se.
  • Achar que 1/A existe como divisão de matrizes: não se divide por matrizes, multiplica-se pela inversa, e a ordem importa.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule a inversa de [[3, 1], [5, 2]].

Ver solução

det = 3·2 − 1·5 = 1. Inversa = (1/1)·[[2, −1], [−5, 3]] = [[2, −1], [−5, 3]].

2Exercício 2

Calcule a inversa de [[1, 2], [3, 4]].

Ver solução

det = 1·4 − 2·3 = −2. Inversa = (−1/2)·[[4, −2], [−3, 1]] = [[−2, 1], [3/2, −1/2]]. Verificação: 1·(−2) + 2·(3/2) = 1 e 1·1 + 2·(−1/2) = 0.

3Exercício 3

Determine o valor de k para o qual a matriz [[k, 2], [3, 6]] não tem inversa.

Ver dica

Não tem inversa quando o determinante é zero.

Ver solução

det = 6k − 6 = 0, logo k = 1.

4Exercício 4

Calcule a inversa da matriz diagonal [[2, 0, 0], [0, −1, 0], [0, 0, 4]].

Ver solução

Numa matriz diagonal com elementos não nulos, a inversa é a diagonal dos inversos: diag(1/2, −1, 1/4). O determinante é 2·(−1)·4 = −8 ≠ 0.

5Exercício 5

Sabe-se que A−1 = [[2, 1], [1, 1]]. Determine A.

Ver dica

A inversa da inversa é a matriz original.

Ver solução

det(A−1) = 2·1 − 1·1 = 1. A = (A−1)−1 = (1/1)·[[1, −1], [−1, 2]] = [[1, −1], [−1, 2]]. Verificação: [[2, 1], [1, 1]]·[[1, −1], [−1, 2]]: 2 − 1 = 1, −2 + 2 = 0, 1 − 1 = 0, −1 + 2 = 1.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

A fórmula 2 × 2 serve para qualquer matriz de ordem 2. A adjunta é prática em 3 × 3 quando os números são pequenos. Para ordens superiores, prefere-se Gauss-Jordan.

Existe um método mais rápido?

Em 2 × 2, a fórmula é imediata. Em 3 × 3 ou maiores, o escalonamento costuma ser mais curto e menos sujeito a erros do que calcular nove cofatores.

Que erros são mais comuns?

Não verificar det ≠ 0, esquecer a transposição na adjunta e trocar a ordem em (AB)−1.

Como saber se uma matriz tem inversa sem a calcular?

Calcule o determinante: se for diferente de zero, é invertível. Equivalentemente, as linhas (ou colunas) têm de ser linearmente independentes.

Resumo

  • A inversa existe apenas para matrizes quadradas com det A ≠ 0.
  • Em 2 × 2: A−1 = (1/(ad − bc))·[[d, −b], [−c, a]].
  • Em geral: A−1 = adj A / det A, com adj A a transposta da matriz dos cofatores.
  • Alternativa: escalonar [A | I] até [I | A−1].
  • (AB)−1 = B−1A−1; verifique sempre com A·A−1 = I.

Onde aprofundar

  • O manual de Álgebra Linear da sua instituição e o programa oficial em vigor — confirme a edição.
  • Strang, Introduction to Linear Algebra, e Lay, Álgebra Linear e suas Aplicações — confirme a edição disponível.
  • As aulas de MIT OpenCourseWare 18.06 (acesso livre, em inglês).

Continue a estudar

1.º ano (indicativo)8 min

Como multiplicar duas matrizes passo a passo?

Só se pode multiplicar A por B se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Se A é m × n e B é n × p, o produto AB é m × p. Cada elemento cij…

4 exemplos5 exercícios com solução

1.º ano (indicativo)8 min

Como calcular o produto de matrizes?

Para multiplicar A por B, o número de colunas de A tem de ser igual ao número de linhas de B. Cada elemento do produto obtém-se multiplicando uma linha de A por uma…

4 exemplos5 exercícios com solução

1.º ano (indicativo)8 min

Como calcular a inversa pelo método de Gauss-Jordan?

Escreva a matriz ampliada [A | I], com a identidade à direita. Aplique operações elementares sobre as linhas até transformar A na identidade. As mesmas operações…

4 exemplos5 exercícios com solução

1.º ano (indicativo)7 min

Como escalonar uma matriz?

Escalonar uma matriz é aplicar operações elementares sobre as linhas (trocar, multiplicar por um número não nulo, somar um múltiplo de outra linha) até que cada pivô…

4 exemplos5 exercícios com solução

Ver tudo de Álgebra Linear · Capítulo: Matrizes