Estatística · 8.ª–12.ª classe
Como calcular a amplitude interquartil?
Resposta curta
A amplitude interquartil (AIQ) é a diferença entre o 3.º e o 1.º quartil: AIQ = Q3 − Q1. Mede a largura do intervalo que contém os 50% de dados centrais e, por isso, ignora os extremos. Em 3, 5, 7, 8, 10, 12, 15, Q1 = 5 e Q3 = 12, logo a AIQ é 7.
O que é e quando se aplica
Os quartis dividem os dados ordenados em quatro partes com cerca de 25% cada: Q1 deixa 25% dos dados abaixo, Q2 é a mediana, e Q3 deixa 75% abaixo. A amplitude interquartil é o comprimento da «caixa» num diagrama de extremos e quartis.
Usa-se quando se quer medir a dispersão de forma resistente a valores extremos, ao contrário da amplitude total e do desvio-padrão. Costuma acompanhar a mediana, tal como o desvio-padrão acompanha a média.
Fórmula e significado de cada termo
Amplitude interquartil
AIQ = Q3 − Q1
- Q1 é o 1.º quartil (mediana da metade inferior dos dados).
- Q3 é o 3.º quartil (mediana da metade superior).
- AIQ tem a unidade dos dados.
Valores discrepantes
Uma regra muito difundida considera discrepante (outlier) todo o valor abaixo de Q1 − 1,5 × AIQ ou acima de Q3 + 1,5 × AIQ. Nem todos os programas a usam; confirme no manual.
Condições de aplicação
- Os dados têm de estar ordenados.
- Há vários métodos para calcular quartis, e as calculadoras ou folhas de cálculo podem dar valores ligeiramente diferentes. Neste artigo usa-se o método da mediana das metades; use o do seu manual.
Método passo a passo
- Ordene os dados.
- Encontre a mediana (Q2).
- Separe a metade inferior e a metade superior. Se n for ímpar, a mediana não entra em nenhuma das metades (método usado aqui).
- Q1 é a mediana da metade inferior; Q3 é a mediana da metade superior.
- Subtraia: AIQ = Q3 − Q1.
- (Opcional) Calcule os limites Q1 − 1,5·AIQ e Q3 + 1,5·AIQ para detetar discrepantes.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — n ímpar
Enunciado: Calcule a AIQ de 3, 5, 7, 8, 10, 12, 15.
Resolução:
- Os dados já estão ordenados; n = 7.
- Mediana: 4.º valor = 8.
- Metade inferior (sem a mediana): 3, 5, 7; Q1 = 5.
- Metade superior: 10, 12, 15; Q3 = 12.
- AIQ = 12 − 5 = 7.
Resposta: 7. Verificação: entre 5 e 12 estão 5, 7, 8, 10 e 12, a parte central dos dados.
Exemplo 2 — n par
Enunciado: Calcule a AIQ de 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13.
Resolução:
- n = 8; a mediana é (7 + 8) ÷ 2 = 7,5.
- Metade inferior: 2, 4, 5, 7; Q1 = (4 + 5) ÷ 2 = 4,5.
- Metade superior: 8, 10, 11, 13; Q3 = (10 + 11) ÷ 2 = 10,5.
- AIQ = 10,5 − 4,5 = 6.
Resposta: 6.
Exemplo 3 — Deteção de um valor discrepante
Enunciado: Os tempos (em minutos) que oito estudantes demoraram a chegar à escola foram: 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 45. Calcule a AIQ e indique se há discrepantes.
Resolução:
- n = 8; a metade inferior é 10, 12, 13, 14, e Q1 = (12 + 13) ÷ 2 = 12,5.
- A metade superior é 15, 16, 18, 45, e Q3 = (16 + 18) ÷ 2 = 17.
- AIQ = 17 − 12,5 = 4,5.
- 1,5 × 4,5 = 6,75. Limite inferior: 12,5 − 6,75 = 5,75. Limite superior: 17 + 6,75 = 23,75.
- O valor 45 é maior do que 23,75, é discrepante. Os restantes ficam dentro dos limites.
Resposta: AIQ = 4,5 min; 45 min é valor discrepante. Repare que a amplitude total é 45 − 10 = 35, muito maior do que a AIQ, porque depende do extremo.
Exemplo 4 — Nível de exame: comparar duas turmas
Enunciado: A turma A tem as notas 6, 9, 12, 14, 17, 19 e a turma B tem 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Calcule a AIQ de cada uma e comente.
Resolução:
- Turma A (n = 6): metade inferior 6, 9, 12 → Q1 = 9; metade superior 14, 17, 19 → Q3 = 17; AIQ = 17 − 9 = 8.
- Turma B (n = 7): mediana = 13; metade inferior 10, 11, 12 → Q1 = 11; metade superior 14, 15, 16 → Q3 = 15; AIQ = 15 − 11 = 4.
Resposta: AIQ de A = 8; AIQ de B = 4. As notas centrais da turma A estão mais espalhadas do que as da turma B. Verificação: a caixa de A cobre de 9 a 17 e a de B de 11 a 15.
Erros frequentes
- Incluir a mediana nas metades quando se usa um método que a exclui (ou o contrário), sem saber qual o manual adota.
- Calcular Q1 e Q3 como 25% e 75% do valor máximo. Os quartis são posições nos dados ordenados, não percentagens dos valores.
- Esquecer de ordenar.
- Confundir AIQ com amplitude total. A AIQ usa Q3 e Q1, não o máximo e o mínimo.
- Aplicar a regra dos 1,5 × AIQ ao contrário, por exemplo somando ao Q1 em vez de o subtrair.
- Comparar resultados de métodos diferentes (calculadora e manual) sem notar que podem variar ligeiramente.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule a AIQ de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Ver solução
Metade inferior 1, 2, 3, 4 → Q1 = 2,5; metade superior 5, 6, 7, 8 → Q3 = 6,5. AIQ = 6,5 − 2,5 = 4.
2Exercício 2
Calcule a AIQ de 5, 9, 11, 13, 20.
Ver solução
n = 5; mediana = 11 (excluída das metades). Inferior: 5, 9 → Q1 = 7. Superior: 13, 20 → Q3 = 16,5. AIQ = 16,5 − 7 = 9,5.
3Exercício 3
Num conjunto, Q1 = 22 e Q3 = 31. Calcule a AIQ e os limites para valores discrepantes.
Ver dica
Os limites são Q1 − 1,5·AIQ e Q3 + 1,5·AIQ.
Ver solução
AIQ = 31 − 22 = 9. 1,5 × 9 = 13,5. Limite inferior = 22 − 13,5 = 8,5; limite superior = 31 + 13,5 = 44,5.
4Exercício 4
Para 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 30: determine a AIQ e identifique valores discrepantes.
Ver solução
n = 8. Inferior: 4, 6, 7, 9 → Q1 = 6,5. Superior: 10, 12, 13, 30 → Q3 = 12,5. AIQ = 6. 1,5 × 6 = 9; limites: 6,5 − 9 = −2,5 e 12,5 + 9 = 21,5. O valor 30 é discrepante.
5Exercício 5
Para os dados do exercício anterior, compare a amplitude total com a AIQ e explique porque a AIQ é mais fiável.
Ver solução
Amplitude total = 30 − 4 = 26; AIQ = 6. O valor 30 faz a amplitude total subir muito, enquanto a AIQ, que descreve os 50% centrais, quase não é afetada: se 30 fosse substituído por 14, a amplitude total desceria para 14 − 4 = 10, mas a AIQ continuaria igual a 6 (Q1 = 6,5 e Q3 = (12 + 13) ÷ 2 = 12,5). Por isso a AIQ é mais fiável quando há extremos.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular a amplitude interquartil?
AIQ = Q3 − Q1. Antes é preciso obter os quartis, a partir dos dados ordenados e usando o método indicado no manual.
Como verificar se o resultado está correto?
Confirme que Q1 ≤ mediana ≤ Q3 e que cerca de metade dos dados fica entre Q1 e Q3. A AIQ nunca deve ser maior do que a amplitude total.
Porque é que diferentes calculadoras dão quartis diferentes?
Existem várias definições de quartil (com ou sem inclusão da mediana, com interpolação, etc.). Em tarefas de exame, siga o método do seu manual e do professor, e não os valores de um programa.
Que erros se cometem ao calcular a AIQ?
Não ordenar, tratar a mediana de forma inconsistente e confundir AIQ com amplitude total. Consulte «Erros frequentes».
Resumo
- AIQ = Q3 − Q1: a largura dos 50% de dados centrais.
- Os quartis obtêm-se de dados ordenados; o método da mediana das metades é um dos usados.
- É resistente a extremos, ao contrário da amplitude total.
- Permite detetar discrepantes com a regra de 1,5 × AIQ, se o manual a incluir.
- É a medida de dispersão natural que acompanha a mediana.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e o método de cálculo dos quartis.
- O manual aberto OpenStax Introductory Statistics (em inglês), nas secções sobre quartis e diagramas de caixa.
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