Estatística · 8.ª–12.ª classe
Como calcular o desvio-padrão?
Resposta curta
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Calcula-se a média, os desvios de cada valor, a média dos seus quadrados (a variância) e extrai-se a raiz. Mede, na mesma unidade dos dados, o afastamento típico em relação à média. Em 2, 4, 6, 8, 10 a variância é 8 e o desvio-padrão é √8 ≈ 2,83.
O que é e quando se aplica
Enquanto a média diz onde os dados se concentram, o desvio-padrão diz com que largura se espalham à volta dela. Valor pequeno significa dados agrupados junto da média; valor grande significa dados muito dispersos.
Tem uma vantagem sobre a variância: vem na mesma unidade dos dados. Se as alturas estão em cm, o desvio-padrão também está em cm, e pode comparar-se diretamente com elas.
Fórmula e significado de cada termo
Desvio-padrão
σ = √[ Σ (xi − x̄)2 ÷ n ] (populacional) s = √[ Σ (xi − x̄)2 ÷ (n − 1) ] (amostral)
- σ (sigma) e s representam o desvio-padrão; x̄ é a média; n é o número de dados.
- Dentro da raiz está a variância.
- A diferença entre as versões está no divisor: n ou n − 1. Em calculadoras científicas, as duas funções costumam aparecer como σn (ou σx) e σn−1 (ou sx). Confirme no manual qual a versão adotada na sua classe.
Condições de aplicação
- Dados quantitativos.
- É sensível a valores extremos, tal como a média.
- O desvio-padrão nunca é negativo e só é zero se todos os dados forem iguais.
Método passo a passo
- Calcule a média.
- Subtraia a média a cada valor (desvios).
- Eleve os desvios ao quadrado e some.
- Divida por n (ou n − 1) para obter a variância.
- Extraia a raiz quadrada da variância.
- Escreva o resultado com a unidade dos dados e, se pedido, arredonde (em geral a duas casas decimais, salvo indicação diferente).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Cálculo básico
Enunciado: Calcule o desvio-padrão de 2, 4, 6, 8, 10: (a) populacional; (b) amostral.
Resolução:
- Média = 30 ÷ 5 = 6.
- Desvios: −4, −2, 0, 2, 4; quadrados: 16, 4, 0, 4, 16; soma = 40.
- (a) Variância = 40 ÷ 5 = 8; σ = √8 ≈ 2,83.
- (b) Variância = 40 ÷ 4 = 10; s = √10 ≈ 3,16.
Resposta: σ ≈ 2,83; s ≈ 3,16. Verificação: 2,832 ≈ 8 e 3,162 ≈ 10.
Exemplo 2 — Raiz que não é exata
Enunciado: As idades de quatro amigos são 8, 10, 10 e 12 anos. Calcule o desvio-padrão (divisor n).
Resolução:
- Média = 40 ÷ 4 = 10.
- Desvios: −2, 0, 0, 2; quadrados: 4, 0, 0, 4; soma = 8.
- Variância = 8 ÷ 4 = 2.
- σ = √2 ≈ 1,41.
Resposta: ≈ 1,41 anos. Verificação: 1,412 = 1,9881 ≈ 2.
Exemplo 3 — Raiz exata e interpretação
Enunciado: Calcule o desvio-padrão de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 e diga que percentagem dos dados está entre x̄ − σ e x̄ + σ.
Resolução:
- Média = (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) ÷ 8 = 40 ÷ 8 = 5.
- Desvios: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4.
- Quadrados: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16; soma = 32.
- Variância = 32 ÷ 8 = 4; σ = √4 = 2.
- Intervalo [x̄ − σ, x̄ + σ] = [3, 7]. Os valores dentro são 4, 4, 4, 5, 5 e 7: seis em oito.
- 6 ÷ 8 = 0,75, ou seja, 75%.
Resposta: σ = 2; 75% dos dados estão em [3, 7]. Verificação: σ2 = 4 = variância.
Exemplo 4 — Nível de exame: efeito de operações sobre os dados
Enunciado: Os dados do Exemplo 3 têm σ = 2. Qual é o desvio-padrão se (a) cada valor for multiplicado por 3? (b) se somar 10 a cada valor?
Resolução:
- (a) Multiplicar por 3 multiplica todos os desvios por 3. O desvio-padrão fica σ = 2 × 3 = 6. (A variância fica 4 × 9 = 36, e √36 = 6.)
- (b) Somar 10 desloca todos os valores e a média na mesma medida; os desvios não mudam. σ continua 2.
Resposta: (a) 6; (b) 2. Verificação: em (a), a nova média é 15 e os desvios são −9, −3, −3, −3, 0, 0, 6, 12, que são 3 vezes os anteriores.
Erros frequentes
- Esquecer a raiz quadrada e apresentar a variância como se fosse o desvio-padrão.
- Extrair a raiz parcela a parcela. A raiz aplica-se à soma já dividida, não a cada quadrado.
- Usar o divisor errado (n ou n − 1) sem confirmar o que o manual ou o enunciado pedem.
- Arredondar demasiado cedo, por exemplo a variância a uma casa antes da raiz.
- Confundir desvio-padrão com amplitude. A amplitude usa só dois valores; o desvio-padrão usa todos.
- Dar um desvio-padrão negativo. A raiz considerada é a não negativa.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Calcule o desvio-padrão (divisor n) de 1, 3, 5, 7.
Ver solução
Média = 16 ÷ 4 = 4. Desvios: −3, −1, 1, 3; quadrados: 9, 1, 1, 9; soma 20. Variância = 20 ÷ 4 = 5. σ = √5 ≈ 2,24.
2Exercício 2
Uma variância é 25. Qual é o desvio-padrão?
Ver solução
σ = √25 = 5.
3Exercício 3
Um conjunto de dados tem σ = 3. Qual é o desvio-padrão se todos os valores forem multiplicados por 4?
Ver solução
Multiplicar por 4 multiplica o desvio-padrão por 4: σ = 3 × 4 = 12.
4Exercício 4
Calcule o desvio-padrão de 6, 6, 6. O que significa o resultado?
Ver solução
Média 6; desvios 0, 0, 0; variância 0; σ = 0. Significa que não há dispersão: todos os valores são iguais.
5Exercício 5
Calcule o desvio-padrão (divisor n) de 2, 2, 6, 6 e indique que valores ficam dentro do intervalo [x̄ − σ, x̄ + σ].
Ver dica
Calcule a média primeiro. Os desvios são todos iguais em valor absoluto.
Ver solução
Média = 16 ÷ 4 = 4. Desvios: −2, −2, 2, 2; quadrados: 4 cada, soma 16. Variância = 16 ÷ 4 = 4; σ = 2. O intervalo é [2, 6], onde estão os quatro valores (os extremos 2 e 6 incluídos).
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular o desvio-padrão?
É a raiz quadrada da variância: σ = √[Σ(xi − x̄)2 ÷ n] para uma população, ou s = √[Σ(xi − x̄)2 ÷ (n − 1)] para uma amostra. Confirme no manual qual a versão adotada na sua classe.
Como verificar se o resultado está correto?
Eleve o desvio-padrão ao quadrado e deve obter a variância. Confirme também que o resultado não é negativo e que é compatível com os dados: tem de ser menor ou igual à amplitude e da mesma ordem de grandeza dos afastamentos em relação à média.
O que significa um desvio-padrão grande ou pequeno?
Pequeno indica dados próximos da média; grande indica dados espalhados. Só tem sentido comparar valores de desvio-padrão se a unidade e a ordem de grandeza dos dados forem semelhantes (caso contrário, veja o artigo sobre comparar a dispersão).
Que erros se cometem ao calcular o desvio-padrão?
Esquecer a raiz quadrada, usar o divisor errado e arredondar cedo. Consulte «Erros frequentes».
Resumo
- Desvio-padrão = √variância, na mesma unidade dos dados.
- Divisor n (população) ou n − 1 (amostra); confirme no manual.
- Mede o afastamento típico em relação à média; é zero só se os dados forem todos iguais.
- Somar uma constante não o altera; multiplicar por k multiplica-o por |k|.
- É sensível a valores extremos.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Introductory Statistics (em inglês), nas secções sobre desvio-padrão.
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