Estatística · 8.ª–12.ª classe

Como calcular a variância?

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

A variância é a média dos quadrados dos desvios em relação à média: calcule a média x̄, subtraia-a a cada valor, eleve cada diferença ao quadrado, some tudo e divida por n (ou por n − 1, na variância amostral). Em 2, 4, 6, 8, 10 a média é 6 e a variância populacional é 40 ÷ 5 = 8.

O que é e quando se aplica

A variância mede o quanto os dados se afastam da média. Se todos os valores forem iguais, a variância é zero; quanto mais espalhados, maior a variância. É a base do desvio-padrão (a sua raiz quadrada) e de grande parte da Estatística.

Aplica-se a dados quantitativos. Usa-se, por exemplo, para comparar a regularidade das notas de duas turmas, a estabilidade da produção de uma machamba ou a consistência de um atleta.

Fórmula e significado de cada termo

Variância (dados não agrupados)

σ2 = Σ (xi − x̄)2 ÷ n (populacional) s2 = Σ (xi − x̄)2 ÷ (n − 1) (amostral)

  • xi é cada valor; x̄ é a média; n é o número de dados.
  • xi − x̄ é o desvio de cada valor.
  • Σ indica soma de todos os termos.
  • Os desvios elevam-se ao quadrado porque a sua soma simples é sempre zero (positivos e negativos anulam-se).

Dois divisores: n ou n − 1

Se os dados forem toda a população, divide-se por n. Se forem uma amostra usada para estimar a população, divide-se por n − 1. Muitos programas escolares usam a divisão por n; outros, a divisão por n − 1. Confirme no manual da sua classe qual deve usar. Neste artigo, os exemplos usam n, salvo indicação em contrário.

Unidades

A variância vem em unidades ao quadrado: se os dados estão em kg, a variância está em kg2; se estão em Kz, em Kz2. Esta é a razão por que se calcula depois o desvio-padrão.

Método passo a passo

  1. Calcule a média x̄ = Σx ÷ n.
  2. Calcule o desvio de cada valor: xi − x̄. Confirme que a soma dos desvios dá 0.
  3. Eleve cada desvio ao quadrado.
  4. Some os quadrados.
  5. Divida pela quantidade indicada (n ou n − 1).
  6. Escreva a unidade ao quadrado.

Fórmula alternativa

Muitas vezes é mais rápido usar: variância = (média dos quadrados) − (quadrado da média), ou seja, σ2 = Σx2 ÷ n − x̄2. Dá o mesmo resultado que a definição (versão populacional).

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Cálculo básico (dois divisores)

Enunciado: Calcule a variância de 2, 4, 6, 8, 10: (a) populacional; (b) amostral.

Resolução:

  1. Média: (2 + 4 + 6 + 8 + 10) ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6.
  2. Desvios: −4, −2, 0, 2, 4 (soma 0).
  3. Quadrados: 16, 4, 0, 4, 16. Soma = 40.
  4. (a) 40 ÷ 5 = 8. (b) 40 ÷ 4 = 10.

Resposta: variância populacional 8; variância amostral 10. Verificação: a soma dos desvios é zero e a soma dos quadrados (40) é positiva.

Exemplo 2 — Valores repetidos

Enunciado: As idades de quatro amigos são 8, 10, 10 e 12 anos. Determine a variância (divisor n).

Resolução:

  1. Média: 40 ÷ 4 = 10.
  2. Desvios: −2, 0, 0, 2.
  3. Quadrados: 4, 0, 0, 4. Soma = 8.
  4. Variância = 8 ÷ 4 = 2.

Resposta: 2 anos2. Com divisor n − 1 seria 8 ÷ 3 ≈ 2,67.

Exemplo 3 — Fórmula alternativa

Enunciado: Calcule a variância de 3, 5, 7, 9 pela fórmula σ2 = Σx2 ÷ n − x̄2 e confirme pela definição.

Resolução:

  1. Média: (3 + 5 + 7 + 9) ÷ 4 = 24 ÷ 4 = 6.
  2. Quadrados dos valores: 9 + 25 + 49 + 81 = 164; 164 ÷ 4 = 41.
  3. Quadrado da média: 62 = 36.
  4. Variância = 41 − 36 = 5.
  5. Pela definição: desvios −3, −1, 1, 3; quadrados 9, 1, 1, 9; soma 20; 20 ÷ 4 = 5.

Resposta: 5. As duas vias coincidem.

Exemplo 4 — Nível de exame: tabela de frequências

Enunciado: Num teste de 10 perguntas, o número de respostas certas de 10 alunos foi: 1 (2 alunos), 2 (3 alunos), 3 (4 alunos), 4 (1 aluno). Calcule a variância (divisor n).

Resolução:

  1. n = 2 + 3 + 4 + 1 = 10.
  2. Média: (1·2 + 2·3 + 3·4 + 4·1) ÷ 10 = (2 + 6 + 12 + 4) ÷ 10 = 24 ÷ 10 = 2,4.
  3. Desvios: 1 − 2,4 = −1,4; 2 − 2,4 = −0,4; 3 − 2,4 = 0,6; 4 − 2,4 = 1,6.
  4. Quadrados × frequência: 1,96 · 2 = 3,92; 0,16 · 3 = 0,48; 0,36 · 4 = 1,44; 2,56 · 1 = 2,56.
  5. Soma = 3,92 + 0,48 + 1,44 + 2,56 = 8,4.
  6. Variância = 8,4 ÷ 10 = 0,84.

Resposta: 0,84. Verificação: pela fórmula alternativa, Σx2f = 2 + 12 + 36 + 16 = 66; 66 ÷ 10 = 6,6; 6,6 − 2,42 = 6,6 − 5,76 = 0,84.

Erros frequentes

  • Não elevar ao quadrado os desvios (a soma simples dá sempre 0).
  • Calcular o quadrado da soma em vez da soma dos quadrados. (Σd)2 e Σd2 são coisas diferentes.
  • Esquecer de dividir ou dividir pelo número de linhas da tabela em vez de n.
  • Misturar n e n − 1 sem saber qual o manual pede.
  • Dar a variância sem unidade ao quadrado, ou compará-la diretamente com os dados originais.
  • Arredondar a média cedo demais, o que se propaga por todos os desvios. Guarde as casas decimais até ao fim.
  • Em tabelas, esquecer de multiplicar o quadrado do desvio pela frequência.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule a variância (divisor n) de 1, 2, 3, 4, 5.

Ver solução

Média = 15 ÷ 5 = 3. Desvios: −2, −1, 0, 1, 2. Quadrados: 4, 1, 0, 1, 4; soma 10. Variância = 10 ÷ 5 = 2.

2Exercício 2

Qual é a variância de 5, 5, 5, 5?

Ver solução

Média 5; todos os desvios são 0; variância = 0. Não há dispersão.

3Exercício 3

Calcule a variância (divisor n) de 7 e 9.

Ver solução

Média 8; desvios −1 e 1; quadrados 1 e 1; soma 2; variância = 2 ÷ 2 = 1.

4Exercício 4

A variância de 1, 2, 3, 4, 5 é 2. Qual será a variância se se somar 10 a cada valor? E se cada valor for multiplicado por 3?

Ver dica

Somar uma constante desloca todos os valores, incluindo a média. Multiplicar muda a escala dos desvios.

Ver solução

Somar 10 desloca a média, mas os desvios não mudam: a variância continua 2. Multiplicar por 3 triplica os desvios, e os quadrados ficam multiplicados por 32 = 9: variância = 2 × 9 = 18.

5Exercício 5

Calcule a variância (divisor n) de 6, 8, 10, 12, 14 e compare com a do Exercício 1. Que relação observa?

Ver solução

Média = 50 ÷ 5 = 10. Desvios: −4, −2, 0, 2, 4. Quadrados: 16, 4, 0, 4, 16; soma 40; variância = 40 ÷ 5 = 8. Os dados novos obtêm-se de 1, 2, 3, 4, 5 multiplicando por 2 e somando 4; a variância ficou multiplicada por 22 = 4 (2 × 4 = 8), como previsto.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula para calcular a variância?

σ2 = Σ(xi − x̄)2 ÷ n para toda a população, ou s2 = Σ(xi − x̄)2 ÷ (n − 1) para uma amostra. Confirme no manual da sua classe qual a versão adotada.

Como verificar se o resultado está correto?

Verifique que a soma dos desvios é zero antes de elevar ao quadrado, que a variância não é negativa e que a obtém também pela fórmula alternativa (média dos quadrados menos o quadrado da média). Se todos os dados forem iguais, deve dar 0.

Porque se eleva ao quadrado e não se usa o valor absoluto?

Os quadrados eliminam os sinais e dão mais peso aos afastamentos grandes, e a variância tem boas propriedades matemáticas. Existe o desvio médio absoluto, mas é menos usado.

Que erros se cometem ao calcular a variância?

Esquecer o quadrado, dividir pelo número errado e arredondar a média cedo. Consulte «Erros frequentes».

Resumo

  • Variância = média dos quadrados dos desvios em relação à média.
  • Divisor n (população) ou n − 1 (amostra); confirme no manual.
  • A soma dos desvios é sempre zero, por isso eles elevam-se ao quadrado.
  • A unidade da variância é a unidade dos dados ao quadrado.
  • Somar uma constante não altera a variância; multiplicar por k multiplica-a por k2.
  • Fórmula alternativa: média dos quadrados − quadrado da média.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e se usa n ou n − 1.
  • O manual aberto OpenStax Introductory Statistics (em inglês), no capítulo sobre medidas de dispersão.

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