Estatística · 8.ª–12.ª classe

Como calcular o desvio-padrão passo a passo?

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  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Passos: (1) calcule a média; (2) subtraia-a a cada valor; (3) eleve cada diferença ao quadrado; (4) some os quadrados; (5) divida por n (ou n − 1 numa amostra); (6) extraia a raiz quadrada. Organizar tudo numa tabela de três colunas evita falhas. Em 6, 7, 9, 10, 13 a média é 9, a variância 6 e o desvio-padrão √6 ≈ 2,45.

Quando se aplica

Este método serve sempre que lhe pedem o desvio-padrão de dados quantitativos, quer venham numa lista simples, numa tabela de frequências ou agrupados em classes. A diferença está apenas em como se faz a soma dos quadrados dos desvios.

Pré-requisitos

  • Saber calcular a média, incluindo a média com frequências.
  • Saber elevar ao quadrado números negativos e decimais, e extrair raízes quadradas (com calculadora, se permitido).
  • Distinguir o divisor n (população) do divisor n − 1 (amostra); confirme no manual qual a versão em uso na sua classe.

Esquema geral

Tabela de trabalho

Colunas: x | x − x̄ | (x − x̄)2 Com frequências: x | f | x − x̄ | f·(x − x̄)2 σ = √( soma dos quadrados ÷ n )

Método passo a passo

  1. Escreva os dados na primeira coluna e conte n (a soma das frequências, se houver).
  2. Calcule a média x̄ e guarde-a sem arredondar demasiado.
  3. Preencha a coluna dos desvios x − x̄ e confirme que a sua soma é zero (com frequências: a soma dos f·(x − x̄) é zero). É o melhor teste de erro.
  4. Eleve ao quadrado cada desvio (e multiplique pela frequência, se houver).
  5. Some a coluna dos quadrados.
  6. Divida por n para obter a variância; extraia a raiz para obter o desvio-padrão.
  7. Escreva a unidade dos dados.

Em classes

Substitua x pela marca de classe (ponto médio) e trabalhe como numa tabela de frequências. O resultado é uma estimativa.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Lista simples, com tabela de trabalho

Enunciado: Cinco tempos de espera numa paragem de candongueiro, em minutos, são 6, 7, 9, 10 e 13. Calcule o desvio-padrão (divisor n).

Resolução:

  1. Média = (6 + 7 + 9 + 10 + 13) ÷ 5 = 45 ÷ 5 = 9.
  2. Desvios: −3, −2, 0, 1, 4. A soma é −3 − 2 + 0 + 1 + 4 = 0, o que confirma a média.
  3. Quadrados: 9, 4, 0, 1, 16. Soma = 30.
  4. Variância = 30 ÷ 5 = 6.
  5. σ = √6 ≈ 2,45.

Resposta: ≈ 2,45 min. Verificação: 2,452 ≈ 6,0.

Exemplo 2 — Tabela de frequências

Enunciado: Dez sacos de farinha têm as massas (em kg): 10 (1 saco), 20 (3 sacos), 30 (4 sacos) e 40 (2 sacos). Determine o desvio-padrão (divisor n).

Resolução:

  1. n = 1 + 3 + 4 + 2 = 10.
  2. Média = (10·1 + 20·3 + 30·4 + 40·2) ÷ 10 = (10 + 60 + 120 + 80) ÷ 10 = 270 ÷ 10 = 27.
  3. Desvios: 10 − 27 = −17; 20 − 27 = −7; 30 − 27 = 3; 40 − 27 = 13.
  4. Quadrados: 289; 49; 9; 169.
  5. Multiplicar pelas frequências: 289·1 = 289; 49·3 = 147; 9·4 = 36; 169·2 = 338. Soma = 810.
  6. Variância = 810 ÷ 10 = 81; σ = √81 = 9.

Resposta: 9 kg. Verificação: a soma f·(x − x̄) = −17 − 21 + 12 + 26 = 0.

Exemplo 3 — Dados agrupados em classes

Enunciado: As idades de 20 pessoas num centro de formação estão agrupadas: [0, 10[ com 2; [10, 20[ com 5; [20, 30[ com 10; [30, 40[ com 3. Estime o desvio-padrão (divisor n).

Resolução:

  1. Total: 2 + 5 + 10 + 3 = 20. Marcas de classe: 5, 15, 25 e 35.
  2. Média = (5·2 + 15·5 + 25·10 + 35·3) ÷ 20 = (10 + 75 + 250 + 105) ÷ 20 = 440 ÷ 20 = 22.
  3. Desvios: −17, −7, 3, 13; quadrados: 289, 49, 9, 169.
  4. Ponderados: 289·2 = 578; 49·5 = 245; 9·10 = 90; 169·3 = 507. Soma = 1 420.
  5. Variância = 1 420 ÷ 20 = 71; σ = √71 ≈ 8,43.

Resposta: ≈ 8,43 anos (estimativa). Verificação: a soma f·(x − x̄) = −34 − 35 + 30 + 39 = 0.

Exemplo 4 — Nível de exame: versão amostral e verificação alternativa

Enunciado: Com os dados do Exemplo 1, trate-os como amostra. (a) Calcule s. (b) Confirme a soma dos quadrados pela fórmula alternativa.

Resolução:

  1. (a) Soma dos quadrados dos desvios = 30; divisor n − 1 = 4. Variância amostral = 30 ÷ 4 = 7,5; s = √7,5 ≈ 2,74.
  2. (b) Soma dos quadrados dos valores: 36 + 49 + 81 + 100 + 169 = 435. Fórmula: Σ(x − x̄)2 = Σx2 − n·x̄2 = 435 − 5 × 81 = 435 − 405 = 30. Coincide.

Resposta: s ≈ 2,74 min; a soma 30 está confirmada. Verificação: s é um pouco maior do que σ (2,45), como é normal com divisor n − 1.

Erros frequentes

  • Não conferir que a soma dos desvios é zero. Se não der zero (ou muito perto, com arredondamentos), a média está errada.
  • Esquecer de multiplicar pela frequência o quadrado do desvio numa tabela.
  • Usar o limite da classe em vez da marca de classe em dados agrupados.
  • Parar na variância. O desvio-padrão exige ainda a raiz quadrada.
  • Dividir por n quando o enunciado pede a versão amostral (ou o contrário). Leia o enunciado e o manual.
  • Erros de sinal ao elevar ao quadrado: (−3)2 = +9, nunca −9.
  • Dividir pelo número de linhas da tabela em vez de n.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Calcule o desvio-padrão (divisor n) de 1, 1, 5, 5.

Ver solução

Média = 12 ÷ 4 = 3. Desvios: −2, −2, 2, 2; quadrados: 4, 4, 4, 4; soma 16. Variância = 4; σ = 2.

2Exercício 2

Calcule o desvio-padrão de 10, 10, 10.

Ver solução

Média 10, desvios 0, soma dos quadrados 0, σ = 0. Todos os valores são iguais.

3Exercício 3

Calcule o desvio-padrão (divisor n) de 3 e 9.

Ver solução

Média = 6. Desvios: −3 e 3; quadrados: 9 e 9; soma 18. Variância = 18 ÷ 2 = 9; σ = 3.

4Exercício 4

Numa tabela, o valor 2 aparece uma vez, o 4 duas vezes e o 6 uma vez. Calcule o desvio-padrão (divisor n).

Ver dica

Calcule n = 4 e a média com as frequências.

Ver solução

n = 4. Média = (2 + 4·2 + 6) ÷ 4 = 16 ÷ 4 = 4. Desvios: −2, 0, 2. Quadrados × frequência: 4·1 = 4; 0·2 = 0; 4·1 = 4. Soma = 8. Variância = 8 ÷ 4 = 2; σ = √2 ≈ 1,41.

5Exercício 5

Verifique que a soma dos desvios dos dados 7, 9, 11, 13 é zero e calcule o desvio-padrão (divisor n).

Ver solução

Média = 40 ÷ 4 = 10. Desvios: −3, −1, 1, 3; soma = 0. Quadrados: 9, 1, 1, 9; soma 20. Variância = 5; σ = √5 ≈ 2,24.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Sempre que o enunciado pedir o desvio-padrão e os dados vierem como lista, tabela de frequências ou classes. O raciocínio é o mesmo; muda apenas o modo de somar os quadrados dos desvios.

Existe um método mais rápido?

Sim, a fórmula alternativa: σ2 = Σx2 ÷ n − x̄2, seguida da raiz. Também pode usar o modo estatístico da calculadora, mas em exames o enunciado costuma exigir a apresentação dos passos. Verifique sempre pela definição se o professor o pedir.

Que erros são mais comuns?

Não verificar a soma dos desvios, esquecer as frequências e parar na variância. Veja «Erros frequentes».

Devo usar n ou n − 1?

Depende do enunciado e do manual. Se os dados forem toda a população, n; se forem uma amostra para estimar a população, n − 1. Confirme na sua escola qual a convenção adotada.

Resumo

  • Organize o trabalho numa tabela: x, x − x̄, (x − x̄)2.
  • A soma dos desvios deve dar zero; é o melhor teste de erro.
  • Com frequências, multiplique cada quadrado por f; em classes, use a marca de classe.
  • A variância divide por n (ou n − 1); o desvio-padrão é a raiz desse resultado.
  • A fórmula alternativa Σx2 − n·x̄2 serve para confirmar a soma dos quadrados.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Introductory Statistics (em inglês), nas secções sobre desvio-padrão e dados agrupados.

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