Estatística · 7.ª–12.ª classe
Como calcular a média de dados agrupados em classes?
Resposta curta
Para calcular a média de dados agrupados em classes, substitua cada classe pelo seu ponto médio, multiplique-o pela frequência, some os produtos e divida pelo total de dados: x̄ ≈ Σ(fᵢ × xᵢ) ÷ n. O resultado é uma aproximação da média dos dados originais.
Fórmula e significado de cada termo
Quando os dados vêm numa tabela de classes, já não se conhecem os valores individuais, só quantos há em cada intervalo. Admite-se então que os valores de cada classe estão centrados no ponto médio dessa classe.
Média de dados agrupados
x̄ ≈ (f₁x₁ + f₂x₂ + … + fₖxₖ) ÷ n ponto médio = (limite inferior + limite superior) ÷ 2
- fᵢ é a frequência absoluta da classe i (quantos dados tem).
- xᵢ é o ponto médio da classe i.
- n é o total de dados (soma das frequências).
- k é o número de classes.
Porque é só uma aproximação
Dentro de cada classe perde-se a informação sobre os valores exatos. Por exemplo, se na classe [10, 20[ estiverem os valores 11, 13 e 18, a média real é (11 + 13 + 18) ÷ 3 = 14, mas o ponto médio da classe é 15. As diferenças positivas e negativas costumam compensar-se em parte, e a aproximação é tanto melhor quanto mais dados e mais estreitas forem as classes.
Condições de aplicação
- A variável é quantitativa e os dados estão agrupados em classes.
- As classes não têm de ter a mesma amplitude, mas cada ponto médio tem de ser calculado com os seus próprios limites.
- Se tiver os dados em bruto, calcule a média exata; use o método das classes apenas quando só tem a tabela.
Passo a passo
- Escreva a tabela com as classes e as frequências, e calcule n (soma das frequências).
- Calcule o ponto médio de cada classe: (inferior + superior) ÷ 2.
- Multiplique cada ponto médio pela frequência da classe.
- Some os produtos.
- Divida a soma por n.
- Verifique: a média tem de ficar entre o limite inferior da primeira classe e o limite superior da última, e perto da classe com maior frequência.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Alturas de 20 alunos
Enunciado: As alturas (cm) de 20 alunos estão distribuídas por [150, 160[ com 4 alunos, [160, 170[ com 10 e [170, 180[ com 6. Calcule a média aproximada.
Resolução:
- n = 4 + 10 + 6 = 20.
- Pontos médios: 155, 165 e 175.
- Produtos: 4 × 155 = 620; 10 × 165 = 1 650; 6 × 175 = 1 050.
- Soma: 620 + 1 650 + 1 050 = 3 320.
- Média: 3 320 ÷ 20 = 166.
Resposta: a média é aproximadamente 166 cm. Verificação: 166 está entre 150 e 180 e perto da classe mais frequente, [160, 170[.
Exemplo 2 — Tempo de viagem
Enunciado: O tempo de viagem (minutos) de 50 pessoas é: [0, 10[ com 5; [10, 20[ com 15; [20, 30[ com 20; [30, 40[ com 10. Calcule o tempo médio.
Resolução:
- n = 5 + 15 + 20 + 10 = 50.
- Pontos médios: 5, 15, 25 e 35.
- Produtos: 5 × 5 = 25; 15 × 15 = 225; 20 × 25 = 500; 10 × 35 = 350.
- Soma: 25 + 225 + 500 + 350 = 1 100.
- Média: 1 100 ÷ 50 = 22.
Resposta: o tempo médio é de aproximadamente 22 minutos. Verificação: 22 está na classe [20, 30[, a mais frequente.
Exemplo 3 — Classes de amplitudes diferentes
Enunciado: Distribuição de idades: [0, 10[ com 10; [10, 20[ com 20; [20, 40[ com 30; [40, 60[ com 10. Calcule a idade média.
Resolução:
- n = 10 + 20 + 30 + 10 = 70.
- Pontos médios: (0 + 10) ÷ 2 = 5; (10 + 20) ÷ 2 = 15; (20 + 40) ÷ 2 = 30; (40 + 60) ÷ 2 = 50.
- Produtos: 10 × 5 = 50; 20 × 15 = 300; 30 × 30 = 900; 10 × 50 = 500.
- Soma: 50 + 300 + 900 + 500 = 1 750.
- Média: 1 750 ÷ 70 = 25.
Resposta: a idade média é de aproximadamente 25 anos. Verificação: 25 × 70 = 1 750.
Exemplo 4 — Nível de exame: frequência em falta
Enunciado: Numa tabela, [0, 20[ tem 6 dados, [20, 40[ tem x dados e [40, 60[ tem 4 dados. A média aproximada é 28. Determine x.
Resolução:
- Pontos médios: 10, 30 e 50.
- Soma dos produtos: 6 × 10 + x × 30 + 4 × 50 = 60 + 30x + 200 = 260 + 30x.
- n = 6 + x + 4 = 10 + x.
- Equação: (260 + 30x) ÷ (10 + x) = 28, logo 260 + 30x = 280 + 28x.
- 2x = 20, logo x = 10.
Resposta: x = 10. Verificação: n = 20; soma = 60 + 300 + 200 = 560; 560 ÷ 20 = 28.
Erros frequentes
- Usar o limite inferior ou superior em vez do ponto médio. Dá uma média sistematicamente baixa ou alta.
- Calcular mal o ponto médio. Some os dois limites e divida por 2; não subtraia.
- Dividir pelo número de classes. Divida pelo total de dados n (soma das frequências), não pelo número de classes.
- Esquecer a frequência. Os pontos médios sozinhos não dão a média; cada um pesa tanto quanto a sua frequência.
- Tratar o resultado como exato. É uma estimativa; escreva «aproximadamente» e a unidade.
- Usar o ponto médio errado em classes de amplitudes diferentes. Cada classe tem os seus próprios limites.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Classes [0, 5[, [5, 10[ e [10, 15[ com frequências 2, 6 e 2. Calcule a média aproximada.
Ver solução
n = 10. Pontos médios: 2,5; 7,5 e 12,5. Produtos: 2 × 2,5 = 5; 6 × 7,5 = 45; 2 × 12,5 = 25. Soma: 75. Média: 75 ÷ 10 = 7,5.
2Exercício 2
Classes [10, 20[, [20, 30[ e [30, 40[ com frequências 5, 10 e 5. Calcule a média aproximada.
Ver solução
n = 20. Pontos médios: 15, 25 e 35. Produtos: 75, 250 e 175. Soma: 500. Média: 500 ÷ 20 = 25.
3Exercício 3
As notas de 20 alunos estão em [8, 12[ com 4, [12, 16[ com 10 e [16, 20[ com 6. Calcule a nota média aproximada.
Ver dica
Os pontos médios são 10, 14 e 18.
Ver solução
Produtos: 4 × 10 = 40; 10 × 14 = 140; 6 × 18 = 108. Soma: 288. Média: 288 ÷ 20 = 14,4.
4Exercício 4
Classes [0, 10[ com 8, [10, 30[ com 12 e [30, 70[ com 20. Calcule a média aproximada.
Ver solução
n = 40. Pontos médios: 5, 20 e 50. Produtos: 8 × 5 = 40; 12 × 20 = 240; 20 × 50 = 1 000. Soma: 1 280. Média: 1 280 ÷ 40 = 32.
5Exercício 5
Classes [0, 10[ com 4, [10, 20[ com x e [20, 30[ com 6. A média aproximada é 16. Determine x.
Ver solução
Pontos médios: 5, 15 e 25. Soma dos produtos: 20 + 15x + 150 = 170 + 15x. Total: 10 + x. Equação: 170 + 15x = 16 × (10 + x) = 160 + 16x, logo x = 10. Verificação: n = 20; soma = 170 + 150 = 320; 320 ÷ 20 = 16.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular a média de dados agrupados em classes?
x̄ ≈ Σ(fᵢ × xᵢ) ÷ n, onde xᵢ é o ponto médio de cada classe, fᵢ a sua frequência e n o total de dados. O ponto médio é a média dos dois limites da classe.
Como verificar se o resultado está correto?
Veja se a média fica dentro do intervalo coberto pelas classes e perto da classe mais frequente. Confirme também que média × n é igual à soma dos produtos.
Porque é que a média dos dados agrupados não é igual à dos dados originais?
Porque, ao agrupar, perdem-se os valores exatos e cada dado é tratado como se estivesse no centro da sua classe. O erro costuma ser pequeno, mas existe.
Que erros se cometem ao calcular a média de dados agrupados em classes?
Usar um limite em vez do ponto médio, dividir pelo número de classes em vez do total de dados e esquecer de multiplicar pelas frequências.
Resumo
- Substitua cada classe pelo seu ponto médio (inferior + superior) ÷ 2.
- x̄ ≈ Σ(f × ponto médio) ÷ n, com n a soma das frequências.
- O resultado é uma aproximação da média dos dados originais.
- Divida sempre pelo total de dados, nunca pelo número de classes.
- Em classes de amplitudes diferentes, calcule cada ponto médio com os respetivos limites.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Statistics (em inglês), no capítulo sobre medidas do centro com dados agrupados.
- Publicações do Instituto Nacional de Estatística de Angola, onde os dados surgem muitas vezes agrupados.
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