Estatística · 7.ª–12.ª classe

Exercícios resolvidos de medidas de tendência central

  • 8 min de leitura
  • 4 exemplos resolvidos
  • 5 exercícios com solução
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Resposta curta

Para resolver exercícios de medidas de tendência central, identifique primeiro o que se pede (média, mediana ou moda) e como vêm os dados (lista, tabela de frequências ou classes). Depois aplique o método: soma ÷ n para a média, valor central dos dados ordenados para a mediana, maior frequência para a moda.

Resumo da teoria necessária

As três medidas

  • Média (x̄): soma de todos os valores dividida pelo número de dados, x̄ = (x1 + x2 + … + xn) ÷ n.
  • Mediana (Me): valor central dos dados ordenados; com n par, média dos dois centrais.
  • Moda (Mo): valor com maior frequência.

Com tabela de frequências

Média com frequências

x̄ = (x1·f1 + x2·f2 + … + xk·fk) ÷ n, com n = f1 + f2 + … + fk

Em dados agrupados em classes, usa-se a marca de classe (ponto médio) no lugar de xi, e o resultado é uma estimativa. Para explicações mais detalhadas, consulte os artigos do MeuGuia sobre mediana, moda e escolha da medida.

Estratégia de resolução

  1. Leia o enunciado e sublinhe a medida pedida.
  2. Verifique a forma dos dados e o valor de n.
  3. Ordene (se pedir mediana) ou construa a coluna de produtos x·f (se pedir média).
  4. Calcule, escreva a unidade e verifique com uma estimativa de bom senso: a média está entre o menor e o maior valor.

Exercícios resolvidos (nível básico)

Exemplo 1 — Média simples

Enunciado: Cinco alunos tiveram as notas 12, 15, 9, 14 e 10. Calcule a média.

Resolução:

  1. Soma: 12 + 15 + 9 + 14 + 10 = 60.
  2. n = 5.
  3. Média = 60 ÷ 5 = 12.

Resposta: a média é 12 valores. Verificação: 12 está entre 9 e 15; 5 × 12 = 60.

Exemplo 2 — Média, mediana e moda com tabela

Enunciado: Perguntou-se a 20 alunos quantos irmãos têm. Resultados: 0 irmãos, 4 alunos; 1 irmão, 8 alunos; 2 irmãos, 5 alunos; 3 irmãos, 2 alunos; 4 irmãos, 1 aluno. Calcule a média, a mediana e a moda.

Resolução:

  1. Total: 4 + 8 + 5 + 2 + 1 = 20.
  2. Produtos x·f: 0·4 = 0; 1·8 = 8; 2·5 = 10; 3·2 = 6; 4·1 = 4. Soma = 28.
  3. Média = 28 ÷ 20 = 1,4.
  4. Moda: a maior frequência é 8, no valor 1.
  5. Mediana: n = 20, valores centrais nas posições 10 e 11. Frequências acumuladas: 4, 12, 17, 19, 20. As posições 10 e 11 estão ambas no grupo de 1 irmão (posições 5 a 12). Logo Me = 1.

Resposta: média 1,4; mediana 1; moda 1. Verificação: a média (1,4) é maior do que a mediana porque há poucos alunos com muitos irmãos, a puxá-la para cima.

Exercícios resolvidos (nível intermédio)

Exemplo 3 — Dados agrupados em classes

Enunciado: Os gastos diários (em centenas de kwanzas) de 20 estudantes foram agrupados: [0, 10[ com 4; [10, 20[ com 5; [20, 30[ com 8; [30, 40[ com 3. Estime a média e indique a classe modal e a classe da mediana.

Resolução:

  1. Total: 4 + 5 + 8 + 3 = 20.
  2. Marcas de classe: 5, 15, 25 e 35.
  3. Produtos: 5·4 = 20; 15·5 = 75; 25·8 = 200; 35·3 = 105. Soma = 400.
  4. Média estimada = 400 ÷ 20 = 20.
  5. Classe modal: a de maior frequência (8), [20, 30[.
  6. Frequências acumuladas: 4, 9, 17, 20. As posições 10 e 11 estão em [20, 30[, que é a classe da mediana.

Resposta: média estimada 20 centenas de Kz; classe modal e classe da mediana: [20, 30[. Verificação: 20 está dentro da classe central, como esperado.

Exercícios de exame

Exemplo 4 — Calcular um valor em falta

Enunciado: A média de cinco notas é 13. Quatro das notas são 10, 12, 14 e 15. Determine a quinta nota.

Resolução:

  1. Soma total = média × n = 13 × 5 = 65.
  2. Soma das quatro conhecidas: 10 + 12 + 14 + 15 = 51.
  3. Quinta nota = 65 − 51 = 14.

Resposta: a quinta nota é 14. Verificação: (10 + 12 + 14 + 15 + 14) ÷ 5 = 65 ÷ 5 = 13.

Exercícios propostos com soluções

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

Um estudante tem três testes com pesos diferentes: 10 valores (peso 30%), 14 valores (peso 30%) e 16 valores (peso 40%). Calcule a média ponderada.

Ver dica

Multiplique cada nota pelo seu peso em forma decimal (0,3; 0,3; 0,4).

Ver solução

0,3 × 10 = 3; 0,3 × 14 = 4,2; 0,4 × 16 = 6,4. Soma = 3 + 4,2 + 6,4 = 13,6 valores. Os pesos somam 100%, por isso não é preciso dividir.

2Exercício 2

Determine a mediana de 2, 8, 5, 5, 10, 6.

Ver solução

Ordenados: 2, 5, 5, 6, 8, 10. n = 6, valores centrais 5 e 6. Me = (5 + 6) ÷ 2 = 5,5.

3Exercício 3

Os dados 3, 4, 5, 6, 7 têm média 5 e mediana 5. Se o valor 7 for substituído por 27, qual é a nova média e a nova mediana? O que conclui?

Ver solução

Nova lista: 3, 4, 5, 6, 27. Soma = 45, média = 45 ÷ 5 = 9. A mediana continua a ser o 3.º valor: 5. Conclusão: a média é sensível a valores extremos; a mediana não.

4Exercício 4

Numa loja venderam-se pares de sapatos de vários números: 37 (2 pares), 38 (5), 39 (8), 40 (3) e 41 (2). Calcule a moda, a mediana e a média.

Ver dica

Total: 20 pares. A mediana está nas posições 10 e 11.

Ver solução

Moda: 39 (frequência 8). Frequências acumuladas: 2, 7, 15, 18, 20; as posições 10 e 11 estão no grupo de 39, logo Me = 39. Média: 37·2 + 38·5 + 39·8 + 40·3 + 41·2 = 74 + 190 + 312 + 120 + 82 = 778; 778 ÷ 20 = 38,9.

5Exercício 5

Cinco números inteiros ordenados têm média 8, mediana 7 e moda 6 (única). Indique um conjunto que cumpra as três condições.

Ver dica

A mediana é o 3.º número. Para 6 ser a única moda, tem de aparecer duas vezes e os restantes só uma.

Ver solução

O 3.º número é 7. Para a moda 6, os dois primeiros são 6 e 6. A soma total é 8 × 5 = 40, logo os dois últimos somam 40 − 6 − 6 − 7 = 21. Uma possibilidade: 9 e 12. Conjunto: 6, 6, 7, 9, 12. Verificação: soma 40, média 8, mediana 7, moda 6. Há outras soluções, como 10 e 11.

Erros frequentes

  • Não ordenar antes de calcular a mediana, ou ordenar e perder valores.
  • Somar as frequências em vez de multiplicar x·f no cálculo da média com tabela.
  • Dividir pela quantidade de linhas da tabela em vez de dividir por n (a soma das frequências).
  • Usar os limites da classe em vez da marca de classe em dados agrupados.
  • Responder com a frequência da moda em vez do valor.
  • Não verificar a plausibilidade: uma média fora do intervalo [menor valor, maior valor] está sempre errada.

Perguntas frequentes

Como estudar este tema com exercícios?

Resolva primeiro os exercícios com a teoria à vista. Depois tape a solução e tente de novo sem consultar, e só então compare. Registe os erros num caderno e refaça os exercícios onde falhou, passados dois ou três dias.

Que tipo de exercícios saem nos exames?

Costumam pedir média, mediana e moda a partir de uma tabela de frequências, a determinação de um valor em falta quando se conhece a média, e a escolha justificada da medida mais adequada. O formato exato depende do programa e da escola; confirme com o seu professor e com os exames de anos anteriores.

Onde posso rever a teoria?

Nos artigos do MeuGuia sobre cálculo da mediana, cálculo da moda e escolha entre média, mediana e moda, e no manual da sua classe.

Resumo

  • Identifique sempre a medida pedida e a forma dos dados antes de calcular.
  • Com tabelas, a média usa x·f ÷ n; a mediana procura-se pelas frequências acumuladas.
  • Em classes, use a marca de classe; o resultado é uma estimativa.
  • Um valor em falta obtém-se de soma total = média × n.
  • A média é sensível a extremos; a mediana e a moda não.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
  • O manual aberto OpenStax Introductory Statistics (em inglês), com exercícios de fim de capítulo sobre medidas do centro.

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