Estatística · 7.ª–12.ª classe
Como calcular a mediana de dados não agrupados?
Resposta curta
Para calcular a mediana de dados não agrupados, ordene os valores do menor para o maior e tome o valor que fica no meio. Se o número de dados for ímpar, é o valor central; se for par, é a média dos dois valores centrais. Exemplo: em 5, 7, 9, 12, 15 a mediana é 9.
Quando se aplica
A mediana é uma medida de tendência central: indica o valor que divide o conjunto ordenado em duas metades, com cerca de 50% dos dados de cada lado. Aplica-se a variáveis quantitativas (e também a variáveis qualitativas ordinais, quando se podem ordenar). Chamam-se «dados não agrupados» os valores listados um a um, sem estarem arrumados em classes.
Usa-se sobretudo quando existem valores muito grandes ou muito pequenos que distorceriam a média, como acontece com salários, preços de imóveis ou tempos de espera.
Fórmula e significado de cada termo
Seja n o número de dados, já ordenados: x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn.
Posição da mediana
n ímpar: Me = x(n+1)/2 n par: Me = (xn/2 + x(n/2 + 1)) ÷ 2
- Me é a mediana.
- n é a quantidade de dados.
- xk é o k-ésimo valor depois de ordenar.
Condições de aplicação
- Os dados têm de estar ordenados (crescente ou decrescente). Sem isto o resultado não tem sentido.
- Tem de ser possível comparar os valores entre si (maior, menor).
- Conte todos os valores, incluindo os repetidos: cada repetição ocupa uma posição.
Método passo a passo
- Conte os dados e registe n.
- Ordene os valores do menor para o maior, mantendo as repetições.
- Decida pelo tipo de n: ímpar ou par.
- Se n é ímpar, calcule a posição (n + 1) ÷ 2 e leia o valor nessa posição.
- Se n é par, localize as posições n ÷ 2 e n ÷ 2 + 1, e calcule a média desses dois valores.
- Escreva a unidade no resultado e verifique que há tantos valores abaixo como acima da mediana.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Número ímpar de dados
Enunciado: Cinco clientes esperaram, numa agência bancária de Luanda, os seguintes tempos (em minutos): 12, 5, 9, 7, 15. Determine a mediana.
Resolução:
- n = 5, que é ímpar.
- Ordenação: 5, 7, 9, 12, 15.
- Posição central: (5 + 1) ÷ 2 = 3.
- O 3.º valor é 9.
Resposta: a mediana é 9 minutos. Verificação: dois valores (5 e 7) ficam abaixo de 9 e dois (12 e 15) ficam acima.
Exemplo 2 — Número par de dados
Enunciado: As idades de 8 alunos de uma turma são: 15, 14, 16, 15, 17, 14, 15, 18. Calcule a mediana.
Resolução:
- n = 8, que é par.
- Ordenação: 14, 14, 15, 15, 15, 16, 17, 18.
- Posições centrais: 8 ÷ 2 = 4 e 4 + 1 = 5.
- O 4.º valor é 15 e o 5.º valor também é 15.
- Me = (15 + 15) ÷ 2 = 15.
Resposta: a mediana é 15 anos. Verificação: quatro valores ficam do lado esquerdo das posições centrais e quatro do lado direito.
Exemplo 3 — Porque a mediana resiste aos extremos
Enunciado: Os salários mensais (em milhares de kwanzas) de 7 trabalhadores de uma pequena oficina são: 80, 95, 70, 85, 90, 75 e 600 (este último é o do proprietário). Compare a média com a mediana.
Resolução:
- Ordenação: 70, 75, 80, 85, 90, 95, 600.
- n = 7; posição central: (7 + 1) ÷ 2 = 4, logo Me = 85.
- Soma: 70 + 75 + 80 + 85 + 90 + 95 + 600 = 1 095.
- Média = 1 095 ÷ 7 ≈ 156,4.
Resposta: mediana = 85 mil Kz; média ≈ 156,4 mil Kz. A média é puxada pelo valor 600 e fica acima de seis dos sete salários; a mediana descreve melhor o salário típico.
Exemplo 4 — Nível de exame: o efeito de acrescentar um dado
Enunciado: Oito alunos obtiveram, num teste, as pontuações 18, 7, 12, 9, 15, 11, 20 e 13. (a) Determine a mediana. (b) Um nono aluno, que faltou, fez o teste e obteve 14. Qual é a nova mediana?
Resolução:
- Ordenação: 7, 9, 11, 12, 13, 15, 18, 20.
- (a) n = 8 (par): 4.º valor = 12 e 5.º valor = 13; Me = (12 + 13) ÷ 2 = 12,5.
- (b) Inserir 14 na posição certa: 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20. Agora n = 9 (ímpar).
- Posição central: (9 + 1) ÷ 2 = 5; o 5.º valor é 13.
Resposta: (a) 12,5; (b) 13. Verificação: em (b) há quatro valores abaixo de 13 (7, 9, 11, 12) e quatro acima (14, 15, 18, 20).
Erros frequentes
- Esquecer de ordenar. Tomar o valor do meio da lista tal como foi dada é o erro mais comum. Escreva sempre a lista ordenada antes de procurar a posição.
- Confundir posição com valor. Em n = 7, a posição central é 4, mas a mediana é o valor que está nessa posição, não o número 4.
- Eliminar repetições. Se um valor aparece três vezes, ocupa três posições. Retirar duplicados altera o n e, por vezes, o resultado.
- Em n par, escolher só um dos valores centrais em vez de calcular a média dos dois.
- Dividir n por 2 e dar esse número como mediana. O n ÷ 2 só indica uma posição.
- Perder valores ao ordenar à mão. Confirme que a lista ordenada tem o mesmo n da original.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Determine a mediana de 3, 8, 5, 1, 9.
Ver dica
Ordene primeiro. Há 5 valores.
Ver solução
Ordenados: 1, 3, 5, 8, 9. Como n = 5, a posição central é 3 e o 3.º valor é 5.
2Exercício 2
Determine a mediana de 6, 2, 10, 4.
Ver solução
Ordenados: 2, 4, 6, 10. n = 4 (par): os valores centrais são 4 e 6. Me = (4 + 6) ÷ 2 = 5.
3Exercício 3
Numa banca do mercado, as vendas diárias de sete dias foram (em unidades): 20, 17, 25, 22, 19, 30, 21. Qual é a mediana?
Ver solução
Ordenados: 17, 19, 20, 21, 22, 25, 30. n = 7, posição central (7 + 1) ÷ 2 = 4, e o 4.º valor é 21 unidades.
4Exercício 4
Os dados 2, 5, x e 11 estão ordenados e têm mediana 7. Determine x.
Ver dica
Com quatro dados, a mediana é a média do 2.º e do 3.º valor.
Ver solução
Me = (5 + x) ÷ 2 = 7, logo 5 + x = 14 e x = 9. Verificação: 2, 5, 9, 11 está ordenado e (5 + 9) ÷ 2 = 7.
5Exercício 5
Uma turma de 14 alunos teve estas notas: 10 (3 alunos), 12 (5 alunos), 14 (4 alunos) e 16 (2 alunos). Determine a mediana sem escrever os 14 valores um a um.
Ver dica
Com 14 dados, procure as posições 7 e 8 contando as frequências acumuladas.
Ver solução
As frequências acumuladas são 3, 8, 12 e 14. As posições 7 e 8 caem ambas no grupo da nota 12 (posições 4 a 8). Logo Me = (12 + 12) ÷ 2 = 12.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular a mediana de dados não agrupados?
Não há uma única fórmula: depende de n. Com n ímpar, a mediana é o valor na posição (n + 1) ÷ 2. Com n par, é a média dos valores nas posições n ÷ 2 e n ÷ 2 + 1. Em ambos os casos, os dados têm de estar ordenados.
Como verificar se o resultado está correto?
Conte os valores à esquerda e à direita da mediana na lista ordenada: devem ser iguais (cada lado com metade dos dados). Se o resultado for a média de dois valores centrais, confirme que fica entre eles.
A mediana tem de ser um dos valores do conjunto?
Não necessariamente. Com n ímpar é sempre um dos dados, mas com n par pode ser um valor intermédio, como 12,5 no Exemplo 4, que não existe na lista original.
Que erros se cometem ao calcular a mediana?
Os mais comuns são não ordenar os dados, ignorar valores repetidos e, com n par, escolher apenas um dos valores centrais. Veja a secção «Erros frequentes».
Resumo
- A mediana é o valor central dos dados depois de ordenados.
- Com n ímpar, ocupa a posição (n + 1) ÷ 2; com n par, é a média das posições n ÷ 2 e n ÷ 2 + 1.
- As repetições contam: cada valor repetido ocupa uma posição.
- A mediana não é afetada por valores extremos, ao contrário da média.
- Em tabelas de frequências, as frequências acumuladas permitem encontrar as posições centrais sem listar todos os dados.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e em que classe o tema é lecionado.
- O manual aberto OpenStax Introductory Statistics (em inglês), no capítulo sobre medidas do centro dos dados.
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