Estatística · 7.ª–12.ª classe
Como calcular a moda?
Resposta curta
A moda é o valor (ou categoria) que aparece mais vezes num conjunto de dados. Para a calcular, conte quantas vezes surge cada valor e escolha o de maior frequência. Em 38, 40, 39, 40, 41, 40, 38 a moda é 40, porque se repete três vezes. Um conjunto pode ter uma moda, várias ou nenhuma.
Quando se aplica
A moda é a única medida de tendência central que se pode usar com dados qualitativos, como a cor preferida, o meio de transporte ou a marca de um produto, onde não faz sentido somar nem ordenar. Também se usa com dados quantitativos quando interessa saber o valor mais comum: o número de calçado mais vendido, a nota que mais alunos tiveram, o preço mais frequente de um produto.
Fórmula e significado de cada termo
Não há fórmula algébrica; a moda define-se por comparação de frequências:
Definição de moda
Mo = valor xi com a maior frequência absoluta fi
- Mo é a moda.
- xi é cada valor (ou categoria) distinto.
- fi é o número de vezes que xi aparece.
Quantas modas pode haver
- Unimodal: um só valor com a frequência máxima.
- Bimodal: dois valores empatados na frequência máxima.
- Multimodal: três ou mais valores empatados.
- Amodal (sem moda): todos os valores têm a mesma frequência, por exemplo quando nenhum se repete. Nesse caso diz-se que não há moda.
Condições de aplicação
- Os dados devem ser contados com rigor, incluindo as repetições.
- Se todos os valores tiverem a mesma frequência (por exemplo, nenhum se repete), não se considera que haja moda.
- Em dados agrupados em classes, fala-se de classe modal, a classe com maior frequência (ou maior densidade, se as classes tiverem amplitudes diferentes; confirme no manual qual a convenção em uso).
Método passo a passo
- Liste os valores distintos que aparecem nos dados.
- Conte a frequência de cada um (use traços de contagem ou uma tabela).
- Identifique a frequência mais alta.
- Veja se há empate: se mais de um valor tem essa frequência, o conjunto é bimodal ou multimodal.
- Se todas as frequências forem iguais, conclua que não há moda.
- Escreva a resposta com o valor da moda e, se quiser, quantas vezes ocorre.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Uma só moda
Enunciado: Os números de calçado dos alunos de um grupo foram: 38, 40, 39, 40, 41, 40, 38. Determine a moda.
Resolução:
- Valores distintos: 38, 39, 40, 41.
- Frequências: 38 aparece 2 vezes; 39 aparece 1 vez; 40 aparece 3 vezes; 41 aparece 1 vez.
- A frequência mais alta é 3, do valor 40.
Resposta: a moda é 40. Verificação: 2 + 1 + 3 + 1 = 7, que é o total de dados.
Exemplo 2 — Duas modas
Enunciado: Determine a moda de 2, 3, 3, 5, 5, 7, 8.
Resolução:
- Frequências: 2 → 1; 3 → 2; 5 → 2; 7 → 1; 8 → 1.
- A frequência máxima é 2, que aparece em dois valores: 3 e 5.
Resposta: o conjunto é bimodal, com modas 3 e 5. Verificação: 1 + 2 + 2 + 1 + 1 = 7 dados.
Exemplo 3 — Dados qualitativos
Enunciado: Perguntou-se a 20 alunos como vão para a escola: candongueiro, 9; autocarro, 5; a pé, 4; carro, 2. Qual é a moda?
Resolução:
- Não se pode calcular média nem mediana, porque «candongueiro» não é um número.
- Compare as frequências: 9, 5, 4 e 2.
- A maior é 9, a categoria «candongueiro».
- Em percentagem: 9 ÷ 20 = 0,45, ou seja, 45%.
Resposta: a categoria modal é candongueiro, usada por 45% dos alunos. Verificação: 9 + 5 + 4 + 2 = 20.
Exemplo 4 — Nível de exame: classe modal
Enunciado: As alturas de 28 jovens, em centímetros, foram agrupadas assim: [150, 160[ com 6; [160, 170[ com 11; [170, 180[ com 8; [180, 190[ com 3. Indique a classe modal e um valor aproximado da moda.
Resolução:
- Verifique o total: 6 + 11 + 8 + 3 = 28.
- A maior frequência é 11, na classe [160, 170[. As classes têm todas a mesma amplitude (10 cm), por isso se pode comparar diretamente as frequências.
- Como valor aproximado da moda toma-se a marca da classe (o ponto médio): (160 + 170) ÷ 2 = 165.
Resposta: classe modal [160, 170[; moda aproximada 165 cm. Em dados agrupados a moda é só uma estimativa, pois já não se conhecem os valores originais.
Erros frequentes
- Dar a frequência como se fosse a moda. Na pergunta do Exemplo 1 a resposta é 40 (o valor), não 3 (quantas vezes aparece).
- Dizer que há moda quando nenhum valor se repete. Em 1, 2, 3, 4, 5 não há moda.
- Ignorar o empate. Se dois valores têm a frequência máxima, ambos são modas.
- Não contar todos os dados. Ao riscar valores já contados é fácil esquecer algum; confirme que a soma das frequências é igual a n.
- Aplicar a média ou a mediana a dados qualitativos. Para categorias, só a moda faz sentido.
- Em dados agrupados, apresentar a classe como se fosse um número ou comparar classes de amplitudes diferentes pela frequência bruta.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Determine a moda de 4, 7, 4, 9, 4, 7.
Ver solução
Frequências: 4 → 3; 7 → 2; 9 → 1. A moda é 4.
2Exercício 2
Qual é a moda de 1, 2, 3, 4, 5?
Ver solução
Cada valor aparece uma só vez, todas as frequências são iguais. Não há moda (conjunto amodal).
3Exercício 3
Numa turma, a nota 10 teve 4 alunos, a nota 11 teve 7, a nota 12 teve 7 e a nota 13 teve 2. Qual é a moda?
Ver dica
Compare as frequências na tabela.
Ver solução
A frequência máxima é 7, partilhada por 11 e 12. O conjunto é bimodal, com modas 11 e 12.
4Exercício 4
No conjunto 5, 8, x, 8, 5, 9 a moda é única e igual a 5. Determine x.
Ver dica
Neste momento 5 e 8 aparecem duas vezes cada.
Ver solução
Sem x, os valores 5 e 8 empatam com duas ocorrências, logo seria bimodal. Para o 5 ser a única moda tem de aparecer mais vezes do que o 8: x = 5. Fica 5 três vezes, 8 duas vezes e 9 uma vez.
5Exercício 5
Os tempos de viagem de 30 pessoas foram agrupados em minutos: [0, 10[ com 5; [10, 20[ com 12; [20, 30[ com 9; [30, 40[ com 4. Indique a classe modal e a moda aproximada.
Ver solução
Total: 5 + 12 + 9 + 4 = 30. A maior frequência é 12, logo a classe modal é [10, 20[. A moda aproximada é a marca da classe, (10 + 20) ÷ 2 = 15 minutos.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula para calcular a moda?
Para dados não agrupados não há fórmula: a moda é o valor com maior frequência absoluta. Só em dados agrupados em classes alguns manuais apresentam uma fórmula de interpolação para estimar a moda; confirme no manual se o seu programa a inclui.
Como verificar se o resultado está correto?
Some as frequências de todos os valores: tem de dar o número total de dados. Depois confirme que nenhum outro valor tem uma frequência igual ou superior à da moda que indicou.
Um conjunto pode ter mais de uma moda?
Sim. Com dois valores empatados na frequência máxima é bimodal, e com mais de dois é multimodal. Também pode não ter nenhuma, se todos os valores tiverem a mesma frequência.
Que erros se cometem ao calcular a moda?
Responder com a frequência em vez do valor, ignorar empates e inventar uma moda onde nenhum valor se repete. Consulte a secção «Erros frequentes».
Resumo
- A moda é o valor (ou a categoria) com maior frequência absoluta.
- Pode haver uma moda, duas (bimodal), várias (multimodal) ou nenhuma (amodal).
- É a única medida de tendência central aplicável a dados qualitativos.
- Responde-se com o valor, não com a frequência.
- Em dados agrupados, fala-se de classe modal, e a moda é apenas uma estimativa.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Introductory Statistics (em inglês), nas secções sobre medidas do centro dos dados.
Continue a estudar
Exercícios resolvidos de medidas de tendência central
Para resolver exercícios de medidas de tendência central, identifique primeiro o que se pede (média, mediana ou moda) e como vêm os dados (lista, tabela de frequências…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como calcular a média aritmética de um conjunto de dados?
A média aritmética obtém-se somando todos os valores e dividindo a soma pelo número de valores. Em símbolos, x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n. Por exemplo, a média de 12…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como calcular a média de dados agrupados em classes?
Para calcular a média de dados agrupados em classes, substitua cada classe pelo seu ponto médio, multiplique-o pela frequência, some os produtos e divida pelo total de…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Como calcular a mediana de dados não agrupados?
Para calcular a mediana de dados não agrupados, ordene os valores do menor para o maior e tome o valor que fica no meio. Se o número de dados for ímpar, é o valor…
4 exemplos5 exercícios com solução✓ Estudado
Ver tudo de Estatística · Capítulo: Medidas de tendência central