Estatística · 8.ª–12.ª classe

Como comparar a dispersão de dois conjuntos de dados?

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Resposta curta

Para comparar a dispersão de dois conjuntos, calcule para ambos a mesma medida de dispersão (amplitude, amplitude interquartil ou desvio-padrão): o conjunto com o valor maior é o mais disperso. Se as médias ou as unidades forem muito diferentes, compare o coeficiente de variação, CV = desvio-padrão ÷ média.

Quando se aplica

Comparar dispersões responde a perguntas como: qual das duas turmas tem notas mais regulares? Qual loja tem preços mais constantes? Que equipa é mais consistente? Duas situações podem ter a mesma média e comportamentos muito diferentes, e só a dispersão o mostra.

Pré-requisitos

Saber calcular a média, a amplitude, a amplitude interquartil e o desvio-padrão (veja os artigos correspondentes) e interpretar um diagrama de extremos e quartis.

Que medida escolher

SituaçãoMedida adequada
Primeira ideia rápidaAmplitude (máximo − mínimo)
Dados com valores extremosAmplitude interquartil
Dados sem extremos, médias semelhantesDesvio-padrão
Médias muito diferentes ou unidades diferentesCoeficiente de variação

Coeficiente de variação

CV = (σ ÷ x̄) × 100%

O CV só faz sentido para dados positivos e com média longe de zero. Nem todos os programas o incluem; confirme no manual da sua classe.

Método passo a passo

  1. Verifique a comparabilidade: mesma unidade? Médias semelhantes? Se não, vá para o CV.
  2. Escolha a medida de dispersão (ver quadro).
  3. Calcule-a para cada conjunto com o mesmo método e o mesmo divisor (n ou n − 1).
  4. Compare os valores: maior valor, maior dispersão.
  5. Conclua em contexto: «A loja B tem preços mais dispersos do que a loja A» (e não só «20 < 60»).
  6. Verifique com um gráfico mental: os dados do conjunto mais disperso estão mais afastados da média?

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Duas lojas com a mesma média

Enunciado: O preço (em milhares de Kz) de um produto em cinco dias foi: Loja A: 90, 95, 100, 105, 110; Loja B: 70, 90, 100, 110, 130. Compare a dispersão.

Resolução:

  1. Médias: A = 500 ÷ 5 = 100; B = 500 ÷ 5 = 100. São iguais.
  2. Amplitudes: A = 110 − 90 = 20; B = 130 − 70 = 60.
  3. Desvios de A: −10, −5, 0, 5, 10; quadrados: 100, 25, 0, 25, 100; soma 250; variância 50; σ = √50 ≈ 7,07.
  4. Desvios de B: −30, −10, 0, 10, 30; quadrados: 900, 100, 0, 100, 900; soma 2 000; variância 400; σ = 20.

Resposta: a loja B é mais dispersa (amplitude 60 contra 20; σ = 20 contra ≈ 7,07). Os preços da loja A são mais estáveis. Verificação: os valores de B estão sempre mais longe de 100 do que os de A.

Exemplo 2 — Unidades diferentes: coeficiente de variação

Enunciado: Num estudo (valores hipotéticos), o peso de recém-nascidos tem média 3 kg e desvio-padrão 0,3 kg; a altura de adultos tem média 170 cm e desvio-padrão 8 cm. Qual das variáveis tem maior variação relativa?

Resolução:

  1. Não se pode comparar 0,3 kg com 8 cm: as unidades são diferentes.
  2. CV do peso = 0,3 ÷ 3 = 0,10 = 10%.
  3. CV da altura = 8 ÷ 170 ≈ 0,047 = 4,7%.

Resposta: o peso tem maior variação relativa (10% contra ≈ 4,7%). Verificação: 10% de 3 kg é 0,3 kg, e 4,7% de 170 cm é cerca de 8 cm.

Exemplo 3 — Com diagramas de extremos e quartis

Enunciado: As notas de duas turmas têm o resumo seguinte. Turma 1: mínimo 8, Q1 = 11, mediana 13, Q3 = 15, máximo 19. Turma 2: mínimo 5, Q1 = 9, mediana 13, Q3 = 17, máximo 20. Compare a dispersão.

Resolução:

  1. Amplitude total: turma 1 = 19 − 8 = 11; turma 2 = 20 − 5 = 15.
  2. AIQ: turma 1 = 15 − 11 = 4; turma 2 = 17 − 9 = 8.
  3. As medianas são iguais (13).

Resposta: a turma 2 é mais dispersa, com amplitude 15 e AIQ 8 (contra 11 e 4). As duas têm a mesma nota central, mas na turma 2 as notas centrais estão mais espalhadas.

Exemplo 4 — Nível de exame: o mesmo desvio-padrão, regularidade diferente

Enunciado: A turma P tem as notas 10, 12 e 14; a turma Q tem as notas 14, 16 e 18. Calcule o desvio-padrão (divisor n) e o CV de cada uma e comente.

Resolução:

  1. Médias: P = 36 ÷ 3 = 12; Q = 48 ÷ 3 = 16.
  2. Desvios de P: −2, 0, 2; quadrados: 4, 0, 4; soma 8; variância = 8 ÷ 3; σP = √(8/3) ≈ 1,63. O mesmo para Q: desvios −2, 0, 2; σQ ≈ 1,63.
  3. CVP = 1,63 ÷ 12 ≈ 0,136 = 13,6%.
  4. CVQ = 1,63 ÷ 16 ≈ 0,102 = 10,2%.

Resposta: os desvios-padrão são iguais (≈ 1,63), mas o CV de P (≈ 13,6%) é maior do que o de Q (≈ 10,2%): em termos relativos, a turma P é mais dispersa. Verificação: Q é P deslocada 4 valores para cima, por isso o σ não muda, mas a média sobe e o CV diminui.

Erros frequentes

  • Comparar desvios-padrão de variáveis com unidades ou escalas diferentes. Use o CV.
  • Concluir pela média. Médias iguais não implicam dispersões iguais.
  • Misturar medidas: comparar a amplitude de um conjunto com o desvio-padrão do outro.
  • Usar a amplitude total com valores extremos e tirar conclusões sobre a maioria dos dados.
  • Usar divisores diferentes (n num conjunto e n − 1 noutro).
  • Concluir «mais disperso» sem dizer em que medida nem a que conjunto se refere.
  • Usar o CV com média próxima de zero ou com valores negativos, onde perde o sentido.

Exercícios propostos

Tente resolver primeiro no caderno; depois confira.

1Exercício 1

O grupo A tem média 10 e desvio-padrão 2; o grupo B tem média 10 e desvio-padrão 3. Qual é mais disperso?

Ver solução

Com médias iguais, compara-se diretamente o desvio-padrão: 3 > 2, logo o grupo B é mais disperso.

2Exercício 2

A variável X tem média 50 e σ = 5; a variável Y tem média 20 e σ = 4. Qual tem maior dispersão relativa?

Ver solução

CV de X = 5 ÷ 50 = 10%. CV de Y = 4 ÷ 20 = 20%. A variável Y é relativamente mais dispersa, embora o seu σ seja menor.

3Exercício 3

Compare a dispersão (divisor n) de A: 5, 5, 5, 5 e B: 3, 4, 6, 7.

Ver dica

Calcule as médias e o desvio-padrão de cada um.

Ver solução

A: média 5, desvios todos 0, σ = 0. B: média = 20 ÷ 4 = 5; desvios −2, −1, 1, 2; quadrados 4, 1, 1, 4; soma 10; variância 2,5; σ = √2,5 ≈ 1,58. Ambas têm média 5, mas B é mais dispersa (1,58 > 0).

4Exercício 4

Duas amostras têm Q1 e Q3 iguais a 20 e 30 (amostra I) e 18 e 34 (amostra II). Qual é a mais dispersa segundo a amplitude interquartil?

Ver solução

AIQ de I = 30 − 20 = 10. AIQ de II = 34 − 18 = 16. A amostra II é mais dispersa.

5Exercício 5

Porque não se deve comparar diretamente o desvio-padrão de alturas (em cm) com o de pesos (em kg)? Que medida se usa?

Ver solução

As unidades e as escalas são diferentes, por isso os números não são comparáveis (um desvio de 8 cm e um de 8 kg são coisas distintas). Usa-se o coeficiente de variação, que é um valor relativo (percentagem) e não depende da unidade.

Perguntas frequentes

Quando se usa este método?

Sempre que se pede para dizer qual de dois grupos é mais regular, estável ou homogéneo. É comum em exercícios que dão duas turmas, duas lojas, duas equipas ou duas máquinas com a mesma média.

Existe um método mais rápido?

A amplitude é a mais rápida, mas depende só dos extremos. Para uma comparação fiável, use o desvio-padrão (sem extremos) ou a amplitude interquartil (com extremos). Se tiver os diagramas de caixa, compare a largura das caixas.

Que erros são mais comuns?

Comparar medidas diferentes, esquecer que as médias podem diferir muito e não justificar a conclusão no contexto. Veja «Erros frequentes».

O que quer dizer «mais homogéneo»?

Que os dados estão mais próximos uns dos outros e da média, ou seja, têm menor dispersão. Mais dispersão significa maior heterogeneidade.

Resumo

  • Comparar dispersões exige usar a mesma medida nos dois conjuntos.
  • Maior valor da medida de dispersão significa maior dispersão.
  • Com extremos, prefira a amplitude interquartil; sem extremos, o desvio-padrão.
  • Com médias muito diferentes ou unidades diferentes, use o coeficiente de variação CV = σ ÷ x̄.
  • Médias iguais não garantem dispersões iguais.

Onde aprofundar

  • O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor e se o coeficiente de variação faz parte do programa.
  • O manual aberto OpenStax Introductory Statistics (em inglês), nas secções sobre medidas de variabilidade e diagramas de caixa.

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