Estatística · 7.ª–12.ª classe
Como construir um histograma?
Resposta curta
Para construir um histograma: calcule a amplitude total (máximo − mínimo), escolha o número e a amplitude das classes, conte as frequências de cada uma, desenhe um eixo horizontal numérico e retângulos encostados cuja altura é a frequência (com amplitudes iguais).
Quando se aplica
Use o histograma quando os dados são medidas contínuas (alturas, massas, tempos, idades) e há muitos valores diferentes. Se cada valor aparecer poucas vezes, agrupe-os em classes. Para categorias (cor, cidade), use o gráfico de barras.
Pré-requisitos
- Saber ordenar dados e calcular máximo, mínimo e amplitude total.
- Conhecer a notação de intervalos: [a, b[ inclui a e exclui b.
- Saber fazer uma tabela de frequências e usar uma escala.
Método passo a passo
- Calcule a amplitude total: máximo − mínimo.
- Escolha o número de classes. Uma regra prática é cerca da raiz quadrada de n, geralmente entre 5 e 10 classes.
- Defina a amplitude de cada classe de forma «redonda» (5, 10, 20...), de modo que as classes cubram do mínimo ao máximo.
- Escreva as classes com um critério único, como [a, b[, sem sobreposição nem falhas.
- Conte os dados de cada classe e escreva a frequência. A soma deve ser igual a n.
- Desenhe o eixo horizontal com a escala numérica dos limites das classes e o eixo vertical com a escala das frequências, a partir de zero.
- Desenhe os retângulos com base igual à amplitude da classe e altura igual à frequência. Estão encostados.
- Escreva título e unidades e verifique a soma das frequências.
Quando as amplitudes são diferentes
Calcule a altura = frequência ÷ (amplitude da classe em unidades-base). Por exemplo, se a unidade-base é 10, uma classe de amplitude 20 vale 2 unidades e a sua altura é a frequência ÷ 2. Assim, a área de cada retângulo continua proporcional à frequência.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Dos dados em bruto ao histograma
Enunciado: As alturas (cm) de 20 alunos são: 148, 152, 155, 157, 158, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 170, 171, 173, 175, 178, 181. Construa a tabela e descreva o histograma.
Resolução:
- Amplitude total: 181 − 148 = 33 cm.
- Com n = 20, bastam cerca de 5 classes; use amplitude 10 a partir de 140: [140, 150[, [150, 160[, [160, 170[, [170, 180[, [180, 190[.
- [140, 150[: 148, com 1 dado. [150, 160[: 152, 155, 157, 158, com 4. [160, 170[: 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, com 9. [170, 180[: 170, 171, 173, 175, 178, com 5. [180, 190[: 181, com 1.
- Soma: 1 + 4 + 9 + 5 + 1 = 20.
- Desenhe cinco retângulos encostados, com alturas 1, 4, 9, 5 e 1.
Resposta: frequências 1, 4, 9, 5 e 1; classe modal [160, 170[. Verificação: a soma das frequências é 20, o número de alunos.
Exemplo 2 — O que fazer com valores nos limites
Enunciado: Os tempos (min) de 12 pessoas são: 10, 20, 20, 25, 30, 30, 35, 40, 40, 45, 50, 60. Agrupe em classes de amplitude 20 a partir de 10.
Resolução:
- Classes com critério [a, b[: [10, 30[, [30, 50[ e [50, 70[.
- [10, 30[: 10, 20, 20, 25, ou seja, 4 dados. O valor 30 já não pertence a esta classe.
- [30, 50[: 30, 30, 35, 40, 40, 45, ou seja, 6 dados.
- [50, 70[: 50, 60, ou seja, 2 dados.
Resposta: frequências 4, 6 e 2. Verificação: 4 + 6 + 2 = 12. Cada valor entrou numa só classe, graças ao critério [a, b[.
Exemplo 3 — Nível de exame: classes de amplitudes diferentes
Enunciado: Construa o histograma de: [0, 10[ com 12; [10, 20[ com 18; [20, 40[ com 30; [40, 80[ com 40. Calcule as alturas usando 10 como unidade-base.
Resolução:
- Total: 12 + 18 + 30 + 40 = 100.
- Amplitudes em unidades-base: 1, 1, 2 e 4.
- Alturas (frequência ÷ unidades-base): 12 ÷ 1 = 12; 18 ÷ 1 = 18; 30 ÷ 2 = 15; 40 ÷ 4 = 10.
- Desenhe retângulos com bases 10, 10, 20 e 40 e alturas 12, 18, 15 e 10.
Resposta: alturas 12, 18, 15 e 10; o retângulo mais alto é o de [10, 20[. Verificação: áreas = altura × unidades-base = 12, 18, 30 e 40, iguais às frequências.
Exemplo 4 — Histograma de frequências relativas
Enunciado: Com os dados do Exemplo 1, calcule as frequências relativas e a altura dos retângulos se 1 cm representar 10%.
Resolução:
- Frequências relativas (f ÷ 20): 1 ÷ 20 = 5%; 4 ÷ 20 = 20%; 9 ÷ 20 = 45%; 5 ÷ 20 = 25%; 1 ÷ 20 = 5%.
- Soma: 5 + 20 + 45 + 25 + 5 = 100%.
- Alturas em cm (percentagem ÷ 10): 0,5; 2; 4,5; 2,5; 0,5.
Resposta: 5%, 20%, 45%, 25% e 5%, com alturas 0,5; 2; 4,5; 2,5 e 0,5 cm. Verificação: a forma do gráfico não muda; só a escala vertical.
Erros frequentes
- Deixar espaços entre os retângulos. No histograma, as classes são contíguas.
- Classes que se sobrepõem ([10, 20] e [20, 30]) ou que deixam buracos. Use sempre [a, b[.
- Contar mal e não verificar a soma. A soma das frequências tem de ser igual ao número de dados.
- Classes de amplitudes diferentes com altura igual à frequência. Exige o cálculo da densidade ou das alturas ajustadas.
- Escalas sem uniformidade no eixo horizontal. Os limites das classes devem estar à distância correta, em escala.
- Usar demasiadas ou poucas classes. Com uma só classe, perde-se toda a informação; com uma por valor, não há agrupamento.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Agrupe em classes de amplitude 10 a partir de 10 as massas (kg): 12, 15, 18, 21, 22, 25, 27, 28, 31, 33, 34, 36, 38, 42, 45.
Ver solução
[10, 20[: 12, 15, 18, logo 3. [20, 30[: 21, 22, 25, 27, 28, logo 5. [30, 40[: 31, 33, 34, 36, 38, logo 5. [40, 50[: 42, 45, logo 2. Soma: 3 + 5 + 5 + 2 = 15.
2Exercício 2
Tem 50 dados com mínimo 12 e máximo 87. Sugira classes de amplitude 10 e diga quantas são.
Ver dica
Calcule a amplitude total e veja onde deve começar a primeira classe.
Ver solução
Amplitude total: 87 − 12 = 75. A raiz quadrada de 50 é cerca de 7, por isso 7 a 8 classes servem. Com amplitude 10, comece em 10: [10, 20[, [20, 30[, ..., [80, 90[. São 8 classes, e a última contém o 87.
3Exercício 3
As classes [0, 5[, [5, 10[, [10, 20[ e [20, 40[ têm frequências 10, 15, 30 e 20. Use 5 como unidade-base e calcule as alturas.
Ver solução
Unidades-base: 1, 1, 2 e 4. Alturas: 10 ÷ 1 = 10; 15 ÷ 1 = 15; 30 ÷ 2 = 15; 20 ÷ 4 = 5. Total de dados: 10 + 15 + 30 + 20 = 75.
4Exercício 4
Um aluno escreveu as classes [0, 10], [10, 20] e [20, 30]. Que problema há? Em que classe deve ficar o valor 20?
Ver solução
O limite 10 (e o 20) aparece em duas classes ao mesmo tempo, o que causa ambiguidade. Adotando o critério [a, b[, as classes são [0, 10[, [10, 20[ e [20, 30[, e o valor 20 pertence a [20, 30[.
5Exercício 5
Num estudo com 50 alunos, as frequências relativas de quatro classes de igual amplitude são 10%, 30%, 40% e 20%. Calcule as frequências absolutas e as alturas se 1 cm representar 5 alunos.
Ver solução
Frequências absolutas: 10% de 50 = 5; 30% de 50 = 15; 40% de 50 = 20; 20% de 50 = 10. Soma: 50. Alturas: 5 ÷ 5 = 1 cm; 15 ÷ 5 = 3 cm; 20 ÷ 5 = 4 cm; 10 ÷ 5 = 2 cm.
Perguntas frequentes
Quando se usa este método?
Sempre que se tem uma variável contínua com muitos valores diferentes. O agrupamento em classes dá uma visão da distribuição que a lista de valores não dá.
Existe um método mais rápido?
Numa folha de cálculo ou calculadora gráfica, o programa constrói o histograma, mas confirme as classes e os limites, porque as opções automáticas nem sempre coincidem com as do seu exercício.
Quantas classes devo escolher?
Uma regra prática é usar cerca da raiz quadrada do número de dados, mas entre 5 e 10 classes costuma bastar em exercícios escolares. Siga o que o enunciado indicar.
Que erros são mais comuns?
Classes sobrepostas, retângulos separados, soma das frequências diferente de n e uso da frequência como altura quando as amplitudes são diferentes.
Resumo
- Calcule a amplitude total, escolha as classes (cerca de 5 a 10) e use o critério [a, b[.
- Conte as frequências e confirme que a soma é igual a n.
- Desenhe retângulos encostados, com base igual à amplitude da classe.
- Com amplitudes iguais, a altura é a frequência; com amplitudes diferentes, ajuste (frequência ÷ unidades-base).
- Dê título e unidades ao gráfico.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Statistics (em inglês), capítulo sobre histogramas.
- Publicações do Instituto Nacional de Estatística de Angola, para exemplos de dados agrupados em classes.
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