Estatística · 7.ª–12.ª classe
O que é o histograma?
Resposta curta
O histograma é o gráfico usado para dados quantitativos contínuos agrupados em classes. É formado por retângulos encostados, cada um com a base igual à amplitude da classe e a altura proporcional à frequência (ou à densidade, se as classes tiverem amplitudes diferentes).
Definição e características
Quando os dados são medidas (alturas, massas, tempos), há muitos valores diferentes e não faz sentido uma barra para cada um. Agrupam-se então em classes e representa-se cada classe por um retângulo. O resultado é o histograma, que mostra a forma da distribuição: onde os dados se concentram, onde são raros e se há simetria.
Termos essenciais
- Classe: intervalo de valores, por exemplo [150, 160[ (inclui 150, exclui 160).
- Amplitude da classe: limite superior menos limite inferior (160 − 150 = 10).
- Frequência absoluta: número de dados da classe.
- Frequência relativa: frequência absoluta ÷ total, em fração ou percentagem.
- Classe modal: a de maior frequência (quando as amplitudes são iguais).
Como é o gráfico
- No eixo horizontal há uma escala numérica contínua, com os limites das classes.
- No eixo vertical está a frequência (absoluta ou relativa).
- Os retângulos estão encostados, porque o fim de uma classe é o início da seguinte.
- Com classes de amplitude igual, a altura é a frequência. Com classes de amplitudes diferentes, a área deve ser proporcional à frequência, e a altura é a densidade = frequência ÷ amplitude.
Histograma ou gráfico de barras?
| Gráfico de barras | Histograma | |
|---|---|---|
| Tipo de dados | categorias ou valores isolados | medidas contínuas agrupadas |
| Barras | separadas | encostadas |
| Eixo horizontal | categorias | escala numérica |
| Largura da barra | sem significado | amplitude da classe |
Como interpretar um histograma
- Identifique as classes e a respetiva amplitude.
- Leia a frequência de cada classe pela altura (se as amplitudes forem iguais).
- Some frequências para responder a perguntas do tipo «menos de» ou «pelo menos».
- Procure a classe modal e veja se o gráfico é simétrico ou se tem «cauda» para um dos lados.
- Para percentagens, divida cada frequência pelo total.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Ler um histograma
Enunciado: As alturas, em cm, de 40 alunos foram agrupadas em [150, 155[, [155, 160[, [160, 165[, [165, 170[ e [170, 175[, com frequências 4, 8, 16, 8 e 4. Indique a amplitude, a classe modal e a percentagem de alunos com menos de 165 cm.
Resolução:
- Amplitude: 155 − 150 = 5 cm.
- Total: 4 + 8 + 16 + 8 + 4 = 40.
- Classe modal: [160, 165[, que tem a maior frequência (16).
- Menos de 165 cm: 4 + 8 + 16 = 28 alunos; 28 ÷ 40 = 0,7 = 70%.
Resposta: amplitude 5 cm; classe modal [160, 165[; 70% têm menos de 165 cm. Verificação: 12 alunos (30%) têm 165 cm ou mais, e 70% + 30% = 100%.
Exemplo 2 — Tempo de viagem para a escola
Enunciado: Em 100 alunos, o tempo de viagem (minutos) deu: [0, 10[ com 25; [10, 20[ com 40; [20, 30[ com 20; [30, 40[ com 15. Que percentagem demora 20 minutos ou mais?
Resolução:
- Total: 25 + 40 + 20 + 15 = 100.
- Demoram 20 min ou mais: classes [20, 30[ e [30, 40[, isto é, 20 + 15 = 35 alunos.
- 35 ÷ 100 = 35%.
Resposta: 35% dos alunos. Verificação: os 65% restantes (25 + 40) demoram menos de 20 minutos.
Exemplo 3 — Nível de exame: amplitudes diferentes
Enunciado: Uma tabela tem as classes [0, 10[ com 20, [10, 20[ com 30 e [20, 40[ com 40. Calcule a densidade de cada classe (frequência por unidade) e indique qual terá o retângulo mais alto.
Resolução:
- Amplitudes: 10, 10 e 20.
- Densidades: 20 ÷ 10 = 2; 30 ÷ 10 = 3; 40 ÷ 20 = 2.
- O retângulo mais alto é o de [10, 20[ (densidade 3).
Resposta: densidades 2, 3 e 2; a classe [10, 20[ tem o retângulo mais alto. Verificação: áreas = densidade × amplitude = 20, 30 e 40, iguais às frequências. Se se desenhassem as frequências como alturas, a última classe pareceria a maior, o que seria enganador.
Exemplo 4 — Que gráfico escolher?
Enunciado: Indique o gráfico mais adequado: (a) cor dos olhos de 30 alunos; (b) massa, em kg, de 50 sacos de farinha; (c) número de irmãos de cada aluno.
Resolução:
- (a) A cor é uma categoria: gráfico de barras.
- (b) A massa é contínua e tem muitos valores: agrupar em classes e fazer um histograma.
- (c) O número de irmãos é discreto, com poucos valores: gráfico de barras.
Resposta: (a) barras; (b) histograma; (c) barras. Verificação: o histograma só se justifica quando há uma escala contínua agrupada em classes.
Erros frequentes
- Deixar espaços entre os retângulos. Isso sugere categorias separadas. No histograma, os retângulos tocam-se.
- Misturar os limites das classes. Por exemplo, [10, 20] e [20, 30], com o 20 em ambas. Use sempre o mesmo critério, como [a, b[.
- Usar a frequência como altura quando as amplitudes são diferentes. Isso distorce a leitura; use a densidade.
- Escolher classes demais ou de menos. Muitas classes dão um gráfico irregular; poucas escondem a forma.
- Chamar «modal» à classe mais larga. Só compare alturas se as amplitudes forem iguais; caso contrário, compare densidades.
- Esquecer a unidade (cm, kg, min) no eixo horizontal.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Um histograma tem as classes [10, 20[, [20, 30[, [30, 40[ e [40, 50[, com frequências 5, 9, 11 e 5. Indique a amplitude, o total, a classe modal e quantos dados são inferiores a 30.
Ver solução
Amplitude: 10. Total: 5 + 9 + 11 + 5 = 30. Classe modal: [30, 40[ (11). Inferiores a 30: 5 + 9 = 14.
2Exercício 2
Agrupe em classes de amplitude 20, começando em 20, as idades: 21, 25, 33, 38, 41, 44, 47, 52, 55, 58, 61, 67.
Ver dica
As classes são [20, 40[, [40, 60[ e [60, 80[.
Ver solução
[20, 40[: 21, 25, 33, 38, logo 4. [40, 60[: 41, 44, 47, 52, 55, 58, logo 6. [60, 80[: 61, 67, logo 2. Total: 4 + 6 + 2 = 12.
3Exercício 3
As classes [0, 5[, [5, 10[, [10, 20[ e [20, 40[ têm frequências 10, 20, 30 e 40. Calcule as densidades e indique qual classe tem o retângulo mais alto.
Ver solução
Densidades: 10 ÷ 5 = 2; 20 ÷ 5 = 4; 30 ÷ 10 = 3; 40 ÷ 20 = 2. O retângulo mais alto é o de [5, 10[ (densidade 4), embora a classe [20, 40[ tenha a maior frequência.
4Exercício 4
A classe [20, 30[ tem 12 dados. Admitindo que estão distribuídos uniformemente, quantos se esperam em [20, 25[?
Ver solução
[20, 25[ é metade da classe (5 em 10 de amplitude). Admitindo distribuição uniforme, esperam-se 12 ÷ 2 = 6 dados. É uma estimativa, porque não se conhecem os valores exatos.
5Exercício 5
Num histograma com 4 classes de igual amplitude, as frequências são 6, 14, 20 e 10. Calcule a frequência relativa de cada classe em percentagem e a percentagem de dados nas duas primeiras classes.
Ver solução
Total: 6 + 14 + 20 + 10 = 50. Frequências relativas: 6 ÷ 50 = 12%; 14 ÷ 50 = 28%; 20 ÷ 50 = 40%; 10 ÷ 50 = 20%. Duas primeiras classes: 12% + 28% = 40% (ou 20 ÷ 50 = 40%).
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre histograma e gráfico de barras?
O gráfico de barras compara categorias, com barras separadas. O histograma mostra a distribuição de uma variável contínua agrupada em classes, com retângulos encostados e uma escala numérica no eixo horizontal.
Quantas classes devo usar?
Não há regra única. Em exercícios escolares, usam-se geralmente entre 5 e 10 classes, de amplitude igual, escolhidas de modo a cobrir o menor e o maior valor. Siga o que o enunciado ou o manual indicar.
O histograma permite ler os valores exatos?
Não. Mostra quantos dados há em cada classe, mas não os valores individuais. Por isso, ao agrupar, perde-se informação em troca de uma visão geral da distribuição.
Onde se usa o histograma na prática?
Em estudos de saúde, escolas, indústria e censos, sempre que se quer ver como se distribuem medidas como idades, alturas, rendimentos ou tempos de espera.
Resumo
- O histograma representa dados contínuos agrupados em classes, com retângulos encostados.
- A base de cada retângulo é a amplitude da classe; a altura é a frequência (amplitudes iguais).
- Com amplitudes diferentes, usa-se a densidade = frequência ÷ amplitude, e a área mede a frequência.
- A classe modal é a de maior frequência (ou de maior densidade, se as amplitudes diferirem).
- O gráfico mostra a forma da distribuição, mas não os valores individuais.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Statistics (em inglês), capítulo sobre histogramas e distribuições.
- Publicações do Instituto Nacional de Estatística de Angola, com tabelas de dados agrupados.
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