Estatística · 7.ª–12.ª classe
O que é o diagrama de extremos e quartis (caixa de bigodes)?
Resposta curta
O diagrama de extremos e quartis, ou caixa de bigodes, resume um conjunto de dados com cinco valores: mínimo, 1.º quartil (Q1), mediana (Q2), 3.º quartil (Q3) e máximo. A «caixa» vai de Q1 a Q3, com um traço na mediana, e os «bigodes» chegam aos extremos.
Definição e características
Este diagrama mostra, num só desenho, a posição central e a dispersão dos dados, e permite comparar vários conjuntos lado a lado. É muito usado porque não exige que se conheçam todos os valores, apenas o resumo de cinco números.
Os cinco valores
- Mínimo: o menor valor.
- Q1 (1.º quartil): deixa 25% dos dados abaixo de si.
- Q2 (mediana): deixa 50% abaixo e 50% acima.
- Q3 (3.º quartil): deixa 75% dos dados abaixo de si.
- Máximo: o maior valor.
O que se lê no desenho
- Caixa: contém cerca de 50% dos dados centrais.
- Traço dentro da caixa: a mediana. Se estiver a meio da caixa, a distribuição é aproximadamente simétrica.
- Bigodes: cada um corresponde a cerca de 25% dos dados.
- Amplitude total: máximo − mínimo.
- Amplitude interquartil (AIQ): Q3 − Q1, o comprimento da caixa. Mede a dispersão dos 50% centrais e não é afetada por valores extremos.
Valores discrepantes (outliers)
Uma regra muito usada considera discrepante qualquer valor abaixo de Q1 − 1,5 × AIQ ou acima de Q3 + 1,5 × AIQ. Nesse caso, o bigode acaba no maior (ou menor) valor que não é discrepante, e o discrepante marca-se à parte. Nem todos os programas escolares usam esta regra; confirme se o seu manual a inclui.
Como construir e calcular
- Ordene os dados do menor para o maior.
- Calcule a mediana (valor central, ou média dos dois centrais).
- Divida os dados em metade inferior e metade superior. Se n for ímpar, a mediana não entra em nenhuma das metades.
- Q1 é a mediana da metade inferior; Q3 é a mediana da metade superior.
- Identifique o mínimo e o máximo.
- Desenhe uma reta graduada, a caixa de Q1 a Q3, o traço em Q2 e os bigodes até aos extremos.
Atenção: há vários métodos para calcular quartis, e as calculadoras ou folhas de cálculo podem dar valores ligeiramente diferentes. Use o método do seu manual.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Cinco números com n ímpar
Enunciado: As notas (0 a 20) de 11 alunos, já ordenadas, são: 8, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19. Determine os cinco valores e a amplitude interquartil.
Resolução:
- n = 11; a mediana é o 6.º valor: 13.
- Metade inferior (sem a mediana): 8, 10, 11, 12, 12; a mediana é o 3.º valor, logo Q1 = 11.
- Metade superior: 14, 15, 16, 17, 19; a mediana é o 3.º valor, logo Q3 = 16.
- Mínimo = 8; máximo = 19.
- AIQ = 16 − 11 = 5.
Resposta: mínimo 8, Q1 = 11, mediana 13, Q3 = 16, máximo 19; AIQ = 5. Verificação: limites dos discrepantes: 11 − 7,5 = 3,5 e 16 + 7,5 = 23,5. Nenhum valor fica fora, por isso não há discrepantes.
Exemplo 2 — n par e um valor discrepante
Enunciado: Os tempos de espera (minutos) de 12 pessoas numa paragem foram: 5, 7, 8, 8, 10, 12, 14, 15, 15, 18, 20, 30. Calcule os quartis e verifique se há discrepantes.
Resolução:
- n = 12; a mediana é a média do 6.º e do 7.º valor: (12 + 14) ÷ 2 = 13.
- Metade inferior: 5, 7, 8, 8, 10, 12; Q1 = (8 + 8) ÷ 2 = 8.
- Metade superior: 14, 15, 15, 18, 20, 30; Q3 = (15 + 18) ÷ 2 = 16,5.
- AIQ = 16,5 − 8 = 8,5; 1,5 × 8,5 = 12,75.
- Limites: 8 − 12,75 = −4,75 e 16,5 + 12,75 = 29,25.
- O valor 30 é maior que 29,25, portanto é discrepante.
Resposta: Q1 = 8, mediana 13, Q3 = 16,5; o valor 30 é discrepante, e o bigode superior termina em 20. Verificação: o menor valor, 5, está acima de −4,75, logo não é discrepante.
Exemplo 3 — Comparar duas turmas
Enunciado: Turma A: mínimo 6, Q1 = 10, mediana 12, Q3 = 14, máximo 18. Turma B: mínimo 4, Q1 = 8, mediana 13, Q3 = 17, máximo 19. Que turma tem notas mais dispersas? Que turma tem melhor mediana?
Resolução:
- AIQ de A: 14 − 10 = 4. AIQ de B: 17 − 8 = 9.
- A caixa de B é mais comprida, logo as notas centrais de B são mais dispersas.
- Medianas: 12 (A) e 13 (B).
- Em B, 25% dos alunos tiveram mais de 17.
Resposta: B é mais dispersa (AIQ 9 contra 4) e tem a mediana mais alta (13 contra 12). Verificação: a amplitude total também é maior em B (15 contra 12).
Exemplo 4 — Nível de exame: interpretar percentagens
Enunciado: Um diagrama de 80 valores tem mínimo 20, Q1 = 35, mediana 50, Q3 = 60 e máximo 90. (a) Quantos valores estão, aproximadamente, abaixo de 35? (b) Que percentagem está entre 35 e 60? (c) Há discrepantes?
Resolução:
- (a) Abaixo de Q1 há cerca de 25%: 0,25 × 80 = 20 valores.
- (b) Entre Q1 e Q3 está a caixa, ou seja, cerca de 50%.
- (c) AIQ = 60 − 35 = 25; 1,5 × 25 = 37,5. Limites: 35 − 37,5 = −2,5 e 60 + 37,5 = 97,5.
- Mínimo (20) e máximo (90) estão dentro desses limites.
Resposta: (a) cerca de 20 valores; (b) cerca de 50%; (c) não há discrepantes. Verificação: os quatro quartos têm cerca de 20 valores cada, e 4 × 20 = 80.
Erros frequentes
- Não ordenar os dados antes de calcular. Os quartis só fazem sentido numa lista ordenada.
- Incluir a mediana nas duas metades quando n é ímpar. Em geral, a mediana fica de fora (confirme o método do manual).
- Pensar que a caixa contém todos os dados. Contém cerca de 50%; os outros 50% estão nos bigodes.
- Confundir a amplitude total com a amplitude interquartil. A primeira é máximo − mínimo; a segunda é Q3 − Q1.
- Achar que um bigode curto significa poucos dados. Cada bigode tem cerca de 25% dos dados, quer seja curto, quer seja comprido; o comprimento indica quão concentrados ou espalhados eles estão.
- Ignorar discrepantes. Um único valor extremo pode alterar o máximo e a amplitude, mas pouco altera a mediana e a AIQ.
Exercícios propostos
1Exercício 1
Determine os cinco valores de: 2, 4, 6, 8, 10.
Ver solução
n = 5; mediana = 6. Metade inferior: 2, 4, logo Q1 = (2 + 4) ÷ 2 = 3. Metade superior: 8, 10, logo Q3 = 9. Mínimo 2, máximo 10. AIQ = 9 − 3 = 6.
2Exercício 2
Determine Q1, mediana e Q3 de: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.
Ver solução
n = 8; mediana = (9 + 11) ÷ 2 = 10. Metade inferior: 3, 5, 7, 9, logo Q1 = (5 + 7) ÷ 2 = 6. Metade superior: 11, 13, 15, 17, logo Q3 = (13 + 15) ÷ 2 = 14. AIQ = 8.
3Exercício 3
Para os dados 4, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 30, calcule os quartis e indique se há discrepantes.
Ver dica
n = 11: a mediana é o 6.º valor e fica fora das metades.
Ver solução
Mediana = 9. Metade inferior: 4, 6, 7, 7, 8, logo Q1 = 7. Metade superior: 10, 11, 12, 13, 30, logo Q3 = 12. AIQ = 5 e 1,5 × 5 = 7,5. Limites: 7 − 7,5 = −0,5 e 12 + 7,5 = 19,5. O valor 30 é discrepante.
4Exercício 4
Tempos de espera (min) em dois pontos. Ponto A: 40, 45, 50, 55, 60 (mínimo, Q1, mediana, Q3, máximo). Ponto B: 35, 42, 50, 62, 70. Compare as medianas e a dispersão.
Ver solução
As medianas são iguais (50). AIQ de A: 55 − 45 = 10; AIQ de B: 62 − 42 = 20. Logo B é mais disperso, com tempos mais imprevisíveis, enquanto A é mais regular.
5Exercício 5
Um conjunto tem Q1 = 20 e Q3 = 32. O valor 48 é discrepante? E o valor 1?
Ver solução
AIQ = 32 − 20 = 12; 1,5 × 12 = 18. Limites: 20 − 18 = 2 e 32 + 18 = 50. O valor 48 está abaixo de 50, logo não é discrepante. O valor 1 é inferior a 2, logo é discrepante.
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre a caixa de bigodes e o histograma?
O histograma mostra a forma completa da distribuição a partir das classes. A caixa de bigodes mostra apenas o resumo de cinco números, mas permite comparar vários grupos com facilidade e destaca valores discrepantes.
Porque é que os quartis da calculadora podem não coincidir com os do manual?
Existem vários métodos para calcular quartis (por exemplo, incluir ou não a mediana nas metades). Para uma pergunta de exame, use o método ensinado na sua escola e indique-o se houver dúvida.
O que significa uma caixa muito pequena?
Significa que os 50% centrais dos dados estão concentrados num intervalo estreito, ou seja, há pouca dispersão no centro. Pode haver, mesmo assim, valores extremos nos bigodes.
Resumo
- O diagrama de extremos e quartis resume os dados em cinco valores: mínimo, Q1, mediana, Q3 e máximo.
- A caixa vai de Q1 a Q3 e contém cerca de 50% dos dados; cada bigode tem cerca de 25%.
- A amplitude interquartil (Q3 − Q1) mede a dispersão do centro dos dados.
- Valores abaixo de Q1 − 1,5 × AIQ ou acima de Q3 + 1,5 × AIQ são discrepantes.
- Ordene sempre os dados e use o método de quartis do seu manual.
Onde aprofundar
- O manual de Matemática da sua classe e o programa oficial (INIDE / Ministério da Educação de Angola) — confirme a edição em vigor.
- O manual aberto OpenStax Statistics (em inglês), capítulo sobre diagramas de caixa e quartis.
- Publicações do Instituto Nacional de Estatística de Angola, para exemplos de dados que se resumem com quartis.
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